Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 01.11.07 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Man bestimme Real- und Imaginärteil, den Betrag und die konjugiert komplexe Zahl zu

\frac{1}{1 + i} ; \frac{3 + 4i}{1 + 2i} ; (2 + i)^{n}, n ∈ ℤ , (\frac{1 − i}{1 + i})^{n} , n ∈ ℤ .

Aufgabe 2. a) Sei z = a + bi ; a, b ∈ ℝ. Sei ε := \frac{b}{|b|} für b ≠ 0 und ε := 1 für b = 0 sowie

w := \frac{1}{\sqrt{2}}(ε\sqrt{|z| + a} + i\sqrt{|z| − a}) .

Zeige: w^{2} = (−w)^{2} = z.

b) Die quadratische Gleichung x^{2} + px + q = 0, mit p, q ∈ ℂ, hat in ℂ die Lösung

x_{1,2} = −\frac{p}{2} ± \frac{1}{2}\sqrt{p^{2} − 4q} .

Aufgabe 3. Bestimme alle z ∈ ℂ mit

a) z^{2} = i

b) z^{4} = 1

c) z^{6} = −1

Aufgabe 4. Man skizziere folgende Punktmengen:

a) {z ∈ ℂ : |z + 1| ≤ |z − 1|}

b) {z ∈ ℂ : 1 < |z − 2i| < 3}.