Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 08.11.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Man untersuche die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihre Grenzwerte:

a) \frac{n + 1}{n^{2} + 1}

b) \frac{1}{n^{2}} + (−1)^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + 1}

c) \frac{4^{n} + 1}{5^{n}}

Aufgabe 2. Bestimme:

a) lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n})

b) lim_{n→∞} \sqrt{n}(\sqrt{n + a} − \sqrt{n}) , a ∈ ℝ, n ≥ |a|

c) lim_{n→∞} n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} − 1).

Aufgabe 3. Zeige:

a) lim_{n→∞} \frac{\binom{n}{k}}{2^{n}} = 0 ∀ k ∈ ℕ

b) Für a_{1}, …, a_{m} ∈ ℝ_{+} gilt lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + … + a_{m}^{n}} = max(a_{1}, …, a_{m}).

Aufgabe 4. Zeigen Sie: Für a_{0} = 0, a_{n} := \sqrt{2 + a_{n−1}} gilt: (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert. Man bestimme lim_{n→∞} a_{n}.