Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 15.11.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Berechne (n ∈ ℕ, n ≥ 1)

a) lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n}

b) lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n})^{n}

c) lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}

Aufgabe 2. Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine gegen a konvergente Folge. Zeige:

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} a_{k} = a .

Aufgabe 3. Für a, b > 0 werden zwei Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} rekursiv definiert durch a_{0} = a, b_{0} = b und a_{n+1} = \frac{2a_{n}b_{n}}{a_{n}+b_{n}}, b_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2} . Zeige: [a_{n}, b_{n}] ist Intervallschachtelung für \sqrt{ab}.

Aufgabe 4. Seien a, b > 0, a_{0} = a, b_{0} = b und a_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2} , b_{n+1} = \sqrt{a_{n}b_{n}}. Zeige: [b_{n}, a_{n}], n ∈ ℕ, n > 1 ist eine Intervallschachtelung.