Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 22.11.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 6 Aufgabe 1. Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz

\begin{matrix}a) ∑_{n=5}^{∞} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{3} + 1}} & b) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}} & c) ∑_{n=6}^{∞} \frac{1}{n(n − 1)} \\ d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{n!3^{n}} & e) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}} \end{matrix}

Aufgabe 2. a) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende Nullfolge. Zeige:

∑_{n=0}^{∞} a_{n} < ∞ ⟺ ∑_{n=0}^{∞} 2^{n}a_{2^{n}} < ∞ .

b) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge positiver reeller Zahlen. Zeige:

∑_{n=0}^{∞} a_{n} < ∞ ⟺ ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{1 + a_{n}} < ∞ .

Aufgabe 3. Es seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen komplexer Zahlen. Zeige:

∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2} < ∞ , ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}|^{2} < ∞ ⇒ ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}b_{n}| < ∞ .

Aufgabe 4. Für s > 1 sei ζ(s) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}. Zeige:

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n^{s}} = (1 − 2^{1−s})ζ(s)

b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{s}} = (1 − 2^{−s})ζ(s).