Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 29.11.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1.

a) Das Polynom f(z) = z^{4} + 3z^{3} − 9z^{2} − 25z − 6 hat die Nullstellen z_{1} = −2, z_{2} = 3. Man bestimme die beiden anderen Nullstellen z_{3}, z_{4} ∈ ℂ.

b) Man dividiere mit Rest das Polynom f(x) = x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 durch das Polynom g(x) = x^{2} + 2x + 3.

Aufgabe 2.

a) Für α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ und ν_{1}, …, ν_{n} ∈ ℕ \ {0} sei f(x) = (x − α_{1})^{ν_{1}} ⋯ (x − α_{n})^{ν_{n}} ein Polynom vom Grad ν_{1} + ⋯ + ν_{n}. Man zeige: Es gibt eindeutig bestimmte Koeffizienten b_{k,j_{k}} ∈ ℂ mit k = 1, …, n und j_{k} = 1, … ν_{k}, so daß für alle x ∉ {α_{1}, …, α_{n}} gilt

\frac{1}{f(x)} = ∑_{k=1}^{n} ∑_{j_{k}=1}^{ν_{k}} \frac{b_{k,j_{k}}}{(x − α_{k})^{j_{k}}} = ∑_{k=1}^{n} (\frac{b_{k,1}}{(x − α_{k})^{1}} + \frac{b_{k,2}}{(x − α_{k})^{2}} + ⋯ + \frac{b_{k,ν_{k}}}{(x − α_{k})^{ν_{k}}} ) .

(Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung.)

b) Man berechne ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{4n^{2} + 8n + 3}

Aufgabe 3. Für welche z ∈ ℂ konvergieren die folgenden Reihen:

∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{n^{3}} , ∑_{n=1}^{∞} n!z^{n} , ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{1 + z^{2n}} .

Aufgabe 4. Es sei (a_{n})_{n≥1} Folge mit Werten in ℝ. Es gebe ein M ∈ ℝ mit |a_{n}| ≤ M ∀ n ≥ 1. Zeige:

a) ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n} konvergiert für |x| < 1.

b) Ist a_{1} ≠ 0, so hat f(x) = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}x^{n} auf ]− \frac{|a_{1}|}{2M}, \frac{|a_{1}|}{2M}[ keine nichttriviale Nullstelle.