Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 06.12.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 3. Bestimmen Sie zu ε = 10^{−3} ein δ > 0, so daß für |x − 1| < δ gilt:

|\frac{1}{x^{2} + 2x − 2} − 1| < ε .

Aufgabe 2. Man untersuche, in welchen Punkten die folgenden Funktionen f : ℝ → ℝ stetig sind:

(a) x ⟼ \{ \begin{matrix}x für & x ∈ ℚ \\ 1 − x für & x ∉ ℚ \end{matrix}

(b) x ⟼ \{ \begin{matrix}−x & für x < 0 oder x > 1 \\ x^{2} & sonst \end{matrix}

(c) x ⟼ [x] + (x − [x])^{2} Dabei ist [x] ∈ ℤ der ganze Teil einer reellen Zahl x, d.h. die größte ganze Zahl, die ≤ x ist.

Aufgabe 3. Überprüfen Sie, ob folgende Funktionsgrenzwerte existieren, und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:

a) lim_{x→1} \frac{x^{n} − 1}{x^{m} − 1} , m, n ∈ ℕ \ \{0\}

b) lim_{x→1} \frac{\sqrt{x + 3} − 2}{x − 1}

c) lim_{{x→0 \atop x>0}} \frac{\sqrt{1 + 1/x} − \sqrt{1/x}}{\sqrt{x}}

d) lim_{x→1} \frac{1}{x − 1} (\frac{3}{x^{2} + 5} − \frac{1}{x^{2} + 1})

Aufgabe 4. Eine Teilmenge M ⊂ ℝ heißt offen, falls es zu jedem Punkt m ∈ M auch ein m enthaltendes offenes Intervall gibt, das ebenfalls in M liegt, d.h.

∀m ∈ M ∃ε_{m} > 0 , so daß {x ∈ ℝ : |x − m| < ε_{m}} ⊂ M .

Zeigen Sie: Eine Funktion f : ]0, 1[→ ℝ ist auf dem Intervall ]0, 1[ genau dann stetig, wenn gilt: B ⊂ ℝ offen ⇒ f^{−1}(B) ⊂ ]0, 1[ offen.