Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 07/08 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 13.12.07, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Untersuchen Sie, ob folgende Funktionslimites existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls:

a)  lim_{x→∞} \sqrt{1 + x}(\sqrt{x + a} − \sqrt{x + 1}) ,  a ≥ 1 ,
b)  lim_{x→∞} x(\frac{1}{\sqrt{x + 1}} − \frac{1}{\sqrt{x}}) ,
c)  lim_{x→∞} (x − \sqrt{(x − 1)(x − 2)}) ,  x ≥ 2 ,
d)  lim_{x↘a} \frac{\sqrt{x} − \sqrt{a}}{\sqrt{x − a}} ,  a > 0

Aufgabe 2. a) Es seien a, b ∈ ℝ, a ≤ b und f : [a, b] → [a, b] stetig. Zeigen Sie: Es gibt ein x_{0} ∈ [a, b] mit f(x_{0}) = x_{0}.

b) Es seien a, b ∈ ℝ, a ≤ b und f, g : [a, b] → ℝ stetig. Es gelte f(a) ≤ g(a) und f(b) ≥ g(b). Zeigen Sie: Es gibt ein x_{0} ∈ [a, b] mit f(x_{0}) = g(x_{0}).

Aufgabe 3. Es seien a, b ∈ ℝ, a < b. Eine Funktion f : [a, b] → ℝ nehme jeden Wert genau zweimal an. Zeigen Sie: f ist nicht stetig.

Aufgabe 4. Für beschränkte Funktionen g : D → ℂ heißt ∥g∥ := sup{|g(x)| : x ∈ D} die Supremumsnorm von g. Sei (f_{n})_{n∈ℕ} eine Folge beschränkter Funktionen f_{n} : D → ℂ. Zeigen Sie:

a) Gilt ∑_{n=0}^{∞} ∥f_{n}∥ < ∞, so ist die Reihe ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) absolut konvergent in jedem Punkt x ∈ D.

b) Gilt ∑_{n=0}^{∞} ∥f_{n}∥ < ∞ und sind außerdem alle f_{n} stetig, dann ist auch die durch f(x) :=

∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) definierte Funktion f : D → ℂ stetig.