Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 23.10.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Für n ∈ ℕ \ {0, 1} sei f_{n} : [0, 1] → ℝ definiert durch

f_{n}(x) := \{ \begin{matrix}0  für & 0 ≤ x ≤ \frac{1}{2} − \frac{1}{n} \\ nx − \frac{n}{2} + 1 für & \frac{1}{2} − \frac{1}{n} ≤ x ≤ \frac{1}{2} \\ 1  für & \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1 \end{matrix}

Zeige: a) {f_{n}}_{n≥2} ist Cauchy-Folge auf (C([0, 1]), ∥ ∥) mit ∥f∥ := ∫_{0}^{1} dt |f(t)|. b) {f_{n}}_{n≥2} ist bezüglich dieser Norm nicht konvergent.

Aufgabe 2 Es sei (X, d) ein metrischer Raum und ∅ ≠ A ⊂ X eine Teilmenge. Für x ∈ X sei d(x, A) := inf_{y∈A} d(x, y). Zeige:

a) Es gilt d(x, A) = 0 ⇔ x ∈ A ∪ ∂A.

b) Für x, y ∈ X gilt |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).

Aufgabe 3. Sei (X, ∥ ∥) ein Banach-Raum. Zeige:

a) Ist {x_{n}}_{n∈ℕ} Folge von Elementen in X mit ∑_{n=0}^{∞} ∥x_{n}∥ < ∞, so existiert y := lim_{k→∞} ∑_{n=0}^{k} x_{n} ∈

X, und es gilt ∥ ∑_{n=0}^{∞} x_{n}∥ ≤ ∑_{n=0}^{∞} ∥x_{n}∥.

b) Ist f : X → X linear mit ∥f∥_{op} < 1, so existiert (id − f)^{−1} : X → X, ist stetig und erfüllt ∥(id − f)^{−1}∥_{op} ≤ \frac{1}{1−∥f∥_{op}}.

Aufgabe 4. Für eine Matrix A ∈ M(m × n, ℝ) sei

∥A∥_{op} := max_{x∈ℝ^{n}, ∥x∥≤1}∥Ax∥ ,

wobei ∥ ∥ die jeweiligen euklidische Norm auf ℝ^{m} bzw. ℝ^{n} bezeichnet, und

∥A∥_{max} := max{|a_{ij}| : 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n} .

Zeige: ∥A∥_{max} ≤ ∥A∥_{op} ≤ \sqrt{mn}∥A∥_{max}.