Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 30.10.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 2 Aufgabe 1. a) Sei f : ℝ^{2} → ℝ erklärt durch

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & sonst \end{matrix}

Zeigen Sie: f ist stetig.

b) Sei f : ℝ^{2} → ℝ erklärt durch

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & sonst \end{matrix}

Wo ist f stetig? Aufgabe 2. Man untersuche, ob die folgenden Mengen X im ℝ^{2} offen (abgeschlossen) sind

(a) \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ∈ ℝ \ \{0\}, y = sin \frac{1}{x}\} ∪ \{(0, 0)\}

(b) {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} < |y|}. Aufgabe 3. Es sei (X, d) ein metrischer Raum und f, g : X → ℝ stetig. Zeige:

(a) {x ∈ X : f(x) = g(x)} ist abgeschlossen.

(b) {x ∈ X : f(x) ≠ g(x)} ist offen. Aufgabe 4. Es seien X, Y metrische Räume, K ⊂ X eine kompakte Teilmenge und y ∈ Y. Sei W ⊂ X × Y offen mit K × {y} ⊂ W. Zeige: Es gibt offene Mengen U ⊂ X und V ⊂ Y mit K × {y} ⊂ U × V ⊂ W.