Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 06.11.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Für die differenzierbare Funktion f : ℝ^{n} \ {0} → ℝ gebe es ein s > 0, so daß f(tx) = t^{s}f(x) ∀x ∈ ℝ^{n} \ {0} und t > 0. Zeigen Sie: sf(x) = ∑_{j=1}^{n} x_{j}(∂_{j}f)(x).

Aufgabe 2. Sei

f : ℝ → ℝ^{3}  gegeben durch  f(t) := (t, t^{2} + 1, sin t) ,
g : ℝ^{3} → ℝ  gegeben durch  g(x, y, z) := e^{xy} + z .

Bestimme D(g ∘ f)(0).

Aufgabe 3. Für die zweimal stetig differenzierbare Funktion z = g(x, y) gelte y^{2} + xz + z^{2} − e^{xz} − 1 = 0. Man bestimme alle partiellen Ableitungen bis zur Ordnung 2 an der Stelle (0, −1), falls g(0, −1) = 1 gilt.

Aufgabe 4. a) Bestimme die Richtungsableitung von f(x, y) = e^{xy} − x^{2} + xy^{2} in (0, 0) in Richtung (1, 1).

b) Es sei f : ℝ^{2} → ℝ gegeben durch f(x, y) = \{ \begin{matrix}1 & falls x ≠ 0 und y = x^{2} \\ 0 & sonst \end{matrix}

Zeigen Sie: In (0, 0) existieren alle Richtungsableitungen, aber f ist nicht differenzierbar in (0, 0).