Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 13.11.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. a) Eine Abbildung P : ℝ_{+} × ℝ → ℝ^{2} sei durch P (r, φ) := (r cos φ, r sin φ) erklärt, und eine Funktion f : ℝ^{2} → ℝ sei zweimal stetig differenzierbar. Zeige:

(△f) ∘ P = ∂_{r}^{2}(f ∘ P) + \frac{1}{r}∂_{r}(f ∘ P) + \frac{1}{r^{2}} ∂_{φ}^{2}(f ∘ P) .

b) Man berechne die Jacobi-Matrix der Abbildung

P : ℝ^{3} → ℝ^{3} , P (r, ϑ, φ) := (r sin ϑ cos φ, r sin ϑ sin φ, r cos ϑ) .

Aufgabe 2. Es sei B_{1}(0) = {x ∈ ℝ^{m} : ∥x∥ ≤ 1}. Eine Abbildung f : B_{1}(0) → ℝ^{n} sei stetig differenzierbar, und es gebe ein K > 0 mit ∥Df(x)∥_{op} ≤ K ∀x ∈ B_{1}(0). Zeigen Sie: f ist auf B_{1}(0) gleichmäßig stetig.

Aufgabe 3. Man bestimme die Taylorentwicklung der Funktion f : ℝ_{+} × ℝ_{+} → ℝ, mit f(x, y) := \frac{x−y}{x+y}, im Punkt (1, 1) bis zur Ordnung |α| ≤ 2.

Aufgabe 4. Es sei G ⊂ ℝ^{n} offen und zusammenhängend, und für eine stetig differenzierbare Funktion f : G → ℝ gelte Df = 0. Zeigen Sie: f ist konstant.