Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 20.11.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Man zeige, daß die durch F (x, y) := (e^{x+y}, xe^{y}) definierte Abbilding F : ℝ^{2} → ℝ^{2} lokal in einer Umgebung von (0, 0) ein Diffeomorphismus ist und bestimme die Taylorentwicklung der Umkehrabbildung G = F^{−1} in (1, 0) bis zur Ordnung |α| ≤ 2.

Aufgabe 2. Man bestimme alle lokalen Extrema der Funktion f : ℝ^{2} → ℝ, mit f(x, y) := x + xy + y^{2}, und untersuche, ob es sich auch um globale Extrema handelt.

Aufgabe 3. Sei U := {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ < 1} und f : U → ℝ gegeben durch f(x) := ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{2}. Zeige: f besitzt in U kein lokales Maximum.

Aufgabe 4. Es seien U, V ⊂ ℝ^{n} offen und f : U → V bijektiv und stetig differenzierbar mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung f^{−1} : V → U.

Zeige: Ist f eine k-mal stetig differenzierbare Abbildung, so ist f^{−1} ebenfalls k-mal stetig differenzierbar.

Hinweis: Man betrachte

D(f^{−1}) = (Df)^{−1} ∘ f^{−1} : V → Hom(ℝ^{n}, ℝ^{n})

und beweise: Ist f^{−1} eine l-mal stetig differenzierbare Abbildung mit 1 ≤ l < k, so ist f^{−1} auch (l + 1)-mal stetig differenzierbar.