Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 04.12.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Sei v : ℝ^{n} → ℝ^{n} ein stetig differenzierbares Vektorfeld, und es gelte \frac{∂v_{i}}{∂x_{j}} = \frac{∂v_{j}}{∂x_{i}} für alle 1 ≤ i, j ≤ n. Zeigen Sie:

Für f : ℝ^{n} → ℝ^{1} gegeben durch f(x) := ∑_{i=1}^{n} x_{i} ∫_{0}^{1} dt v_{i}(tx) gilt: grad f = v.

Aufgabe 2. Es seien I, J ⊂ ℝ Intervalle und f : I × J → ℝ eine stetige, nach der zweiten Variablen sogar stetig differenzierbare Funktion. Die Funktionen g, h : J → I seien differenzierbar. Zeige:

F : J → ℝ mit F (y) := ∫_{g(y)}^{h(y)} dx f(x, y) ist im Inneren von J differenzierbar, und es gilt

F′(y) = f(h(y), y)h′(y) − f(g(y), y)g′(y) + ∫_{g(y)}^{h(y)} dx \frac{∂f}{∂y} (x, y) .

Aufgabe 3 . Für α > 0 sei I(α) := ∫_{0}^{α} dx \frac{ln(1 + αx)}{1 + x^{2}}. Zeige:

a) I(0) = 0 ; I(1) = ∫_{0}^{1} dx \frac{ln(1 + x)}{1 + x^{2}} =: I_{1} ,

(\frac{d}{dα}I)(α) = ∫_{0}^{α} \frac{x dx}{(1 + αx)(1 + x^{2})} + \frac{ln(1 + α^{2})}{1 + α^{2}}.

b) (\frac{d}{dα}I)(α) = \frac{ln(1 + α^{2})}{2(1 + α^{2})} + \frac{α arctan α}{1 + α^{2}}

c) I(α) = \frac{1}{2} arctan α ln(1 + α^{2})

d) I_{1} = \frac{π}{8} ln 2

Aufgabe 4. Für

g(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{xy^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0 & sonst \end{matrix}

berechne

∫_{0}^{1} dy ∫_{0}^{1} dx g(x, y) und ∫_{0}^{1} dx ∫_{0}^{1} dy g(x, y) .