Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 11.12.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Man bestimme alle Lösungen der folgenden DGL:

(a) y′ = x^{3} + cos x

(b) y′ = (1 + x^{2})(1 + y^{2})

(c) y′ = \frac{1}{y} \sqrt{1 − y^{2}} für 0 < y < 1

Aufgabe 2. Löse y′ + \frac{y}{1+x} + (1 + x)y^{4} = 0 mit Anfangsbedingung y(0) = −1. Hinweis: Setze z(x) = \frac{1}{y^{3}(x)}.

Aufgabe 3. Man löse die DGL y′′ − y = 0 , y(0) = 1 , y′(0) = 0 mit dem Picard– Lindelöfschen Iterationsverfahren.

Aufgabe 4. Man betrachte die DGL y′ = f(x, y) mit y(0) = 0 und f(x, y) = y^{2} + x^{2}. Zeigen Sie:

a) Setzt man |y′(x)| ≤ 1 voraus, so liegt die Lösung der DGL mit y(0) = 0 im Dreieck mit den Ecken (0, 0) , (\frac{1}{2} \sqrt{2}, 0), (\frac{1}{2} \sqrt{2}, \frac{1}{2} \sqrt{2}).

b) Bestimme y_{3}(x), wenn y_{k+1}(x) := ∫_{0}^{x}(t^{2} + y_{k}^{2}(t)) dt gesetzt ist.