Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 18.12.08, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Für stetige Funktionen a_{ij} : I → ℝ sei folgendes System von Differentialgleichungen gegeben:

\binom{y_{1}}{y_{2}}′(x) = (\begin{matrix}a_{11}(x) & a_{12}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) \end{matrix}) \binom{y_{1}(x)}{y_{2}(x)} ,  x ∈ I ⊂ ℝ  (1)

Eine Lösung \binom{φ_{1}(x)}{φ_{2}(x)} von (1) sei bekannt, und es gelte φ_{1}(x) ≠ 0 für alle x ∈ I. Um eine weitere Lösung von (1) zu finden, wähle man eine skalare nichtkonstante Funktion ϕ : I → ℝ und setze \binom{y_{1}(x)}{y_{2}(x)} = ϕ(x) · \binom{φ_{1}(x)}{φ_{2}(x)} + z(x) mit z = \binom{0}{z_{2}}. Zeigen Sie:

(a) Diese Funktion y = \binom{y_{1}}{y_{2}} ist genau dann Lösung von (1), wenn

y′ = ϕ′ · \binom{φ_{1}}{φ_{2}} + ϕ · \binom{φ_{1}}{φ_{2}}′ + z′ = ϕ · (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \binom{φ_{1}}{φ_{2}} + (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) \binom{0}{z_{2}} ⟺
z′ = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) z − ϕ′\binom{φ_{1}}{φ_{2}}

(b) y ist genau dann Lösung von (1), wenn

a_{12}z_{2} − ϕ′φ_{1} = 0 und z′_{2} = (a_{22} − a_{12} \frac{φ_{2}}{φ_{1}} )z_{2} .  (2)

(c) Ist (z_{2}, ϕ) eine Lösung von (2), so ist ϕ · \binom{φ_{1}}{φ_{2}} + \binom{0}{z_{2}} eine Lösung von (1) und

(\binom{φ_{1}}{φ_{2}}, ϕ · \binom{φ_{1}}{φ_{2}} + \binom{0}{z_{2}}) ist ein Lösungsfundamentalsystem.

Aufgabe 2. Finde ein Lösungsfundamentalystem für

\binom{y_{1}}{y_{2}}′(x) = ( \frac{1}{x} −1_{\frac{1}{x^{2}} \frac{2}{x}}) \binom{y_{1}(x)}{y_{2}(x)} , x ∈ ℝ_{+}^{∗} .

Tip: Eine Lösung ist \binom{φ_{1}(x)}{φ_{2}(x)} = \binom{x^{2}}{−x}.

Aufgabe 3. Lösen Sie:

\binom{y_{1}}{y_{2}}′ = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \binom{y_{1}}{y_{2}} .

Aufgabe 4. Löse y′′(x) + 2y′(x) + y(x) = e^{2x} + sin(2x).