Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 08.01.09, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Eine Funktion f sei auf ℂ definiert, holomorph und reellwertig. Zeigen Sie: f ist konstant.

Aufgabe 2. Berechnen Sie mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel

a) ∫_{|z−1|=1} \frac{dz}{(z + 1)(z − 1)^{3}}

b) ∫_{|z|=2} dz \frac{sin z}{z + 1}

Aufgabe 3. Entwickle die folgenden Funktionen f in eine Potenzreihe um z_{0} und bestimme deren Konvergenzradius:

a) f(z) = e^{z} um z_{0} = πi

b) f(z) = \frac{1}{(z − i)^{3}} um z_{0} = −i

Aufgabe 4. Sei U ⊂ ℂ offen und f : U → ℂ holomorph. Es sei \overline{U} := \{z ∈ ℂ : z̄ ∈ U\}. Zeige: g : \overline{U} → ℂ definiert durch g(z) = \overline{f(z̄)} ist holomorph.