Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 15.01.09, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 11 Aufgabe 1. Berechnen Sie:

a) ∫_{0}^{∞} dx \frac{cos mx}{x^{2} + a^{2}} mit a > 0, m > 0.

b) ∫_{0}^{∞} dx \frac{x sin mx}{(x^{2} + a^{2})^{2}} mit a > 0, m > 0.

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

∫_{−∞}^{+∞} \frac{dx}{(x^{2} + 1)^{n}} mit n ∈ ℕ \ \{0\}

Aufgabe 3. Berechnen Sie:

∫_{0}^{2π} dx \frac{sin^{2} x}{1 − 2a cos x + a^{2}} mit a ∈ ℝ.

Aufgabe 4. Sei Log der Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Zeigen Sie:

a) ∫_{−∞}^{+∞} \frac{Log (x + i)}{x^{2} + 1} dx = π ln 2 + i\frac{π^{2}}{2}

b) Log (x + i) + Log (i − x) = ln(x^{2} + 1) + πi , x ∈ ℝ

c) ∫_{0}^{∞} \frac{ln(x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} dx = π ln 2

d) ∫_{0}^{π/2} ln cos x dx = −\frac{π}{2} ln 2