Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Donnerstag, 22.01.09, bis 14h00 in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. Berechnen Sie folgende Integrale:

a) ∫_{Q} d(x, y, z) \frac{sin x}{(1 + y^{2})(2 − z)} mit Q = [0, 1]^{3}

b) ∫_{M} d(x, y) (x^{2} + xy) mit M = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 6, x^{2} ≤ 3y}.

Aufgabe 2. Berechnen Sie:

a) ∫_{M} d(x, y) e^{xy}x^{\frac{3}{2}} mit M := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : y ≥ 0, y^{2} ≤ x ≤ 4\}

b) ∫_{E} d(x, y) x(y + 1) mit E := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} ≤ 1\}.

Aufgabe 3. Der Schwerpunkt eines homogenen Körpers K ⊂ ℝ^{3} mit dem Volumen V_{K} ist das Integraltupel

\frac{1}{V_{K}} ( ∫_{K} d(x, y, z) x, ∫_{K} d(x, y, z) y, ∫_{K} d(x, y, z) z)

Berechnen Sie den Schwerpunkt von

K := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} .

Aufgabe 4. Das Trägheitsmoment eines homogenen Körpers K der Dichte 1 bezüglich

der Geraden L als Drehachse ist das Integral Θ = ∫_{K} d(x, y, z) (d((x, y, z), L))^{2}, wobei

d((x, y, z), L) den Abstand des Punktes (x, y, z) von der Drehachse L bezeichnet.

Berechnen Sie das Trägheitsmoment von

K = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : |x| ≤ 1, y^{2} + z^{2} ≤ 25}

bezüglich der x-Achse.