Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 08/09 Dr. R. Brüske

Probeklausur zur Mathematik für Physiker III

Einziges zugelassenes Hilfsmittel zu den Klausuren: ein A4-Blatt mit Notizen.

Aufgabe 1. Zeigen Sie, daß durch sin x + sin y + e^{xy} = 1 in einer Umgebung von (0, 0) eine Funktion y = y(x) erklärt ist, so daß dort sin x + sin y + e^{xy} = 1 genau dann gilt, wenn y = y(x) ist. Berechnen Sie y′′(0).

Aufgabe 2. Man bestimme alle Extrema von ∏_{i=1}^{n} x_{i}^{2} auf ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{4} = 1.

Aufgabe 3. Löse die Differentialgleichung y − x + (y + x)y′ = 0 mit Anfangsbedingung y(0) = 1.

Aufgabe 4. Löse y′′ − 3y′ + 2y = cos 2x .

Aufgabe 5. Berechne ∫_{0}^{∞} dx \frac{x^{2}}{1 + x^{4}} .

Aufgabe 6. Berechne ∫_{−∞}^{∞} dx \frac{cos x}{1 + x^{2}} .

Aufgabe 7. Berechne das Trägheitsmoment eines geraden homogenen Kreiskegels der Dichte 1 mit Grundkreisradius 1 und Höhe 1 bezüglich eines Grundkreisdurchmessers als Drehachse.

Aufgabe 8. Sei f : ℝ^{n} → ℝ^{n} Lipschitz-stetig und A ⊂ ℝ^{n} eine Nullmenge. Zeigen Sie: f(A) ist Nullmenge.