Spektrale Tripel

Inhalt

I Einleitung  1
1 Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Serre-Swan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
II Kommutative spektrale Tripel  9
4 Diskussion der Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.1 Unbeschränkte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Kompakte Operatoren und nichtkommutatives Integral . 12
4.3 Hochschild-Homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Konstruktion der Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1 Charakterisierung der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2 Exponentierbare Derivationen . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.3 Kandidaten für lokale Karten . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4 Verbleibende Beweisschritte . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1 Spektrale Tripel zu gegebener Mannigfaltigkeit . . . . . 29
6.2 Spin^{c}-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III Nichtkommutative Spektrale Tripel: I. Standardmodell  33
7 Reelle Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 Matrix-Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.1 Das 2-Punkt-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.2 Historische Formulierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Matrixwertige spektrale Tripel in KO-Dimension 6 . . . . . . . 39
9.1 Klassifikation von (A, H, J) . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.2 Ordnung-Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.3 Dirac-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.4 Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrizen . . . . . . . . . . 45
10 Die Spektralwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.1 Fluktuierter Dirac-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10.2 Spektralwirkungsprinzip und Wärmeleitungskern …. 48
10.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV Isospektrale Deformationen  53
11 Der nichtkommutative Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.1 Die Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.2 Hilbert-Raum und Derivationen . . . . . . . . . . . . . . 55
11.3 Spektralwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

i

Preliminary version – 9. Februar 2009

11.4 Projektive Moduln über dem nichtkommutativen 2-Torus 58
12 Die Connes-Landi-Sphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
13 Der Moyal-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13.1 Die Oszillatorbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
13.2 Der Moyal-Raum als nichtkompaktes spektrales Tripel . 64
13.3 Quantenfeldtheorie auf dem Moyal-Raum . . . . . . . . 65

ii

Preliminary version – 9. Februar 2009

Teil I

Einleitung

1 Programm

Spektrale Tripel sind der Rahmen für nichtkommutative Differentialgeometrie. Historischer Ausgangspunkt sind die Theoreme von Gelfand-Naimark und Serre-Swan. Sie besagen, daß sämtliche topologische Information eines kompakten Hausdorff-Raums X bzw. eines Vektorbündels über X aus der kommutative Algebra der stetigen Funktionen C(X) bzw. aus einem endlich erzeugten projektiven Modul E über C(X) rekonstruiert werden kann.

Die Verallgemeinerung dieser Strukturaussagen auf nichtkommutative Algebren A und projektive Moduln E über A und deren Untersuchung ist Gegenstand der Nichtkommutativen Geometrie. In der Vorlesung wird es um einen Teilaspekt gehen, nämlich die Charakterisierung differenzierbarer und metrischer Räume und ihre nichtkommutative Verallgemeinerung. Alain Connes hat erkannt, daß Differenzierbarkeit und Metrik gemeinsam durch einen weiteren Operator D in einem Hilbert-Raum H kodiert werden. Spektrale Tripel sind gegeben durch (A, H, D) und Bedingungen zwischen ihnen. Diese Bedingungen sind flexibel je nach interessierender Beispielklasse.

i) Wir starten mit den Bedingungen, die nach A. Connes im Fall einer kommutativen Algebra A die Rekonstruktion einer orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeit aus (A, H, D) erlauben, und stellen wesentliche Ideen dieser Rekonstruktion vor.

ii) Anschließend geht es um fast-kommutative Geometrien, das sind Tensorprodukte aus kommutativen spektralen Tripeln mit Matrizen. Wir zeigen, daß Äquivalenzklassen solcher fast-kommutativen Geometrien Yang-Mills-Modelle der Physik beschreiben, und diskutieren im Detail das Spektralwirkungsprinzip: Jede Funktion des Spektrums von D enthält in asymptotischer Entwicklung die Wirkungsfunktionale der Gravitationsund Teilchenphysik.

iii) Im letzten Teil behandeln wir isospektrale Deformationen, in denen der Operator D und der Hilbert-Raum H unverändert aus einem kommutativen spektralen Tripel übernommen werden, die Algebra jedoch nichtkommutativ deformiert wird. Standardbeispiel ist der nichtkommutative Torus.

2 Gelfand-Naimark

Das Gelfand-Naimark-Theorem stellt eine 1:1-Korrespondenz her zwischen kompakten Hausdorff-Räumen und kommutativen unitalen C^{∗}-Algebren. (Genauer gesagt ist es ein kontravarianter Funktor zwischen entsprechenden Kategorien.) Hausdorff-Räume sind topologische Räume, in denen die Punkte durch offene Umgebungen getrennt werden können, Gegenbeispiele sind pathologisch. Wir erinnern im folgenden an Definition und grundlegende Eigenschaften von C^{∗}- Algebren.

Wir betrachten ausschließlich Algebren A über ℂ und nehmen die Existenz eines Einselements 1 ∈ A an, 1a = a1 = a ∀a ∈ A (A heißt dann unital). Die Algebra heißt kommutativ, wenn ab = ba ∀a, b ∈ A.

Eine normierte Algebra ist eine Algebra A zusammen mit einer Abbildung ∥ ∥ : A → ℝ, die die drei Normaxiome für Vektorräume erfüllt und zusätzlich ∥ab∥ ≤ ∥a∥ ∥b∥ und ∥1∥ = 1. Eine bezüglich der Norm vollständige normierte Algebra heißt Banach-Algebra.

Eine ∗-Operation (Involution) auf A ist eine Abbildung ∗ : A → A, für die gilt:

(a + b)^{∗} = a^{∗} + b^{∗} , (λa)^{∗} = \overline{λ}a^{∗} , (ab)^{∗} = b^{∗}a^{∗} , (a^{∗})^{∗} = a .

Dann heißt A eine ∗-Algebra oder involutive Algebra.

Eine Banach-∗-Algebra ist eine involutive Banach-Algebra (A, ∥ ∥), für die ∥a^{∗}∥ = ∥a∥ gilt. Daraus folgt ∥a^{∗}a∥ ≤ ∥a∥^{2}. Gilt sogar die Gleichheit, so liegt eine C^{∗}-Algebra vor:

Definition 2.1 Eine C^{∗}-Algebra ist eine involutive Banach-Algebra (A, ∥ ∥, ∗) mit der C^{∗}-Eigenschaft ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} für alle a ∈ A.

Die C^{∗}-Eigenschaft ist sehr einschränkend: Man kann zeigen, daß die C^{∗}-Norm eindeutig ist, und Isomorphismen zwischen C^{∗}-Algebren sind automatisch isometrisch.

Beispiel 2.2 Das Standardbeispiel einer C^{∗}-Algebra ist die Algebra C(X) ∋ f der stetigen (komplexwertigen) Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum X (das Urbild f^{−1}(V) offener Mengen V ⊂ ℂ ist offen in X), zusammen mit der Supremumsnorm ∥f∥ = sup_{x∈X} |f(x)| und der Involution f^{∗}(x) = \overline{f(x)}. Bekanntlich ist (C(X), ∥ ∥) ein vollständiger normierter Vektorraum (stetige Funktionen auf kompakten Räumen sind gleichmäßig stetig, so daß Cauchy-Folgen (f_{k}) stetiger Funktionen gegen eine stetige Funktion konvergieren). Es gilt

∥fg∥ = sup_{x∈X}(|f(x)| |g(x)|) ≤ ( sup_{x∈X} |f(x)|)( sup_{x∈X} |g(x)|) = ∥f∥ ∥g∥

und ∥f∥ = ∥f^{∗}∥, also ist C(X) Banach-∗-Algebra. Schließlich nehmen stetige reellwertige Funktionen auf kompakten Räumen ihr Supremum an, d.h. es gibt ein p ∈ X mit ∥f∥ = |f(p)| und deshalb

∥f^{∗}f∥ = sup_{x∈X} |f(x)|^{2} = |f(p)|^{2} = ∥f∥^{2} ,

d.h. C(X) ist C^{∗}-Algebra.

Beispiel 2.3 Es sei (H, ⟨ , ⟩) ein komplexer Hilbert-Raum (d.h. vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt definierten Norm). Es sei L(H) der Vektorraum der linearen und beschränkten Operatoren auf H zusammen mit der Operator-Norm ∥T ∥ := sup_{x∈H,∥x∥≤1} ∥Ax∥. Wegen der Vollständigkeit von H ist L(H) ein Banach-Raum, sogar eine Banach-Algebra wegen ∥T x∥ ≤ ∥T ∥∥x∥ und deshalb ∥T Sx∥ ≤ ∥T ∥∥Sx∥ ≤ ∥T ∥∥S∥∥x∥. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz definiert ⟨x, T y⟩ = ⟨T^{∗}x, y⟩ eindeutig den zu T ∈ L(H) adjungierten Operator T^{∗} ∈ L(H), und es gilt ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥. Schließlich gilt nach Cauchy-Schwarz

∥T x∥^{2} = ⟨T x, T x⟩ = ⟨T^{∗}T x, x⟩ ≤ ∥T^{∗}T x∥∥x∥ ≤ ∥T^{∗}T ∥∥x∥^{2} ,

also nach Supremumsbildung ∥T ∥^{2} ≤ ∥T^{∗}T ∥ ≤ ∥T ∥^{2}. Damit ist L(H) eine C^{∗}- Algebra.

Ein zweites Theorem von Gelfand-Naimark besagt, daß jede C^{∗}-Algebra isomorph zu einer C^{∗}-Unteralgebra von L(H) ist. Ein entscheidender Schritt im Beweis ist die GNS-Konstruktion.

Definition 2.4 Es sei A eine komplexe unitale Banach-Algebra und a ∈ A. Das Spektrum von a ist die Teilmenge der komplexen Zahlen

sp(a) = {z ∈ ℂ : (a − z1) ist nicht invertierbar in A} ,

und r(a) := sup{|λ| : λ ∈ sp(a)} heißt Spektralradius. Das Komplement des Spektrums ℂ \ sp(a) ist die Resolventenmenge von a.

Die geometrische Reihe − ∑_{n=0}^{∞} \frac{a^{n}}{z^{n+1}} konvergiert für ∥a∥ < |z| gegen (a−z1)^{−1}, so daß r(a) ≤ ∥a∥. Die Resolventenmenge ist offen, denn mit T ist für ∥T − T′∥ < ∥T^{−1}∥^{−1} auch T′ = T (1 − T^{−1}(T − T′)) invertierbar. Das Spektrum ist also abgeschlossen und wegen r(a) ≤ ∥a∥ kompakt. Ebenso ergibt sich aus der geometrischen Reihe, daß die Resolventenfunktion z ↦ (a − z1)^{−1} holomorph auf der Resolventenmenge ist. Damit ist das Spektrum nichtleer, denn sonst würde die Resolventenfunktion eine auf ganz ℂ holomorphe, beschränkte und nichtkonstante Funktion sein, im Widerspruch zum Satz von Liouville. Mittels Holomorphie und Funktionalkalkül kann man die Spektralradiusformel

r(a) = lim_{n→∞} ∥a^{n}∥^{\frac{1}{n}}

beweisen. Für normale Elemente (aa^{∗} = a^{∗}a) einer C^{∗}-Algebra zeigt man daraus, daß r(a) = ∥a∥ gilt. Uns genügt später ein Spezialfall: r(a^{∗}a) = lim_{n→∞} ∥(a^{∗}a)^{2^{n}}∥^{\frac{1}{2^{n}}} = ∥a^{∗}a∥. Insbesondere gilt r(a) = ∥a∥ in jeder kommutativen C^{∗}-Algebra.

Beispiel 2.5 Für die Algebra A = C(X) der stetigen Funktionen ist sp(f) = {f(x) : x ∈ X} der Wertebereich der Funktion.

Definition 2.6 Ein Charakter auf einer unitalen normierten Algebra A ist ein von 0 verschiedener Algebrenhomomorphismus χ : A → ℂ.

Es gilt χ(1) = 1 und ∥χ∥ = 1, denn sei χ(a) = λ, dann ist χ(a − λ1) = 0, also λ ∈ sp(a) und somit |χ(a)| = |λ| ≤ r(a) ≤ ∥a∥. Also ∥χ∥ ≤ 1 und ∥χ∥ ≥ 1 aus χ(1) = 1.

Sei A nun kommutativ und X = Spec(A) der Raum der Charaktere auf A. Offenbar ist Spec(A) Teilmenge der Einheitsvollkugel A′_{1} des Dualraums A′ von A. Das Banach-Alaoglu-Theorem besagt, daß A′_{1} kompakt in der schwach-∗- Topologie von A′ ist. Außerdem ist A′ ein Hausdorff-Raum bezüglich der schwach- ∗-Topologie. Man zeigt, daß Spec(A) abgeschlossen ist (Das Komplement, also die Menge der linearen stetigen Funktionale, die keine Algebrenhomomorphismen sind, ist schwach-∗-offen). Somit ist X ein kompakter Hausdorff-Raum (mit der Relativtopologie aus A′).

Definition 2.7 Sei A kommutative Banach-Algebra und a ∈ A. Die (nach Definition der schwach-∗-Topologie stetige) Abbildung â : Spec(A) → ℂ, mit â(χ) := χ(a), heißt Gelfand-Transformierte zu a. Die Abbildung ρ : A → C(Spec(A)), mit ρ(a) := â, heißt Gelfand-Transformation.

Offenbar ist C(X) wieder eine kommutative C^{∗}-Algebra.

Theorem 2.8 (Gelfand-Naimark) Es sei A eine kommutative C^{∗}-Algebra. Die Gelfand-Transformation ist ein isometrischer Isomorphismus ρ : A → C(Spec(A)).

Beweis. Wir verwenden (mit anderen Bezeichnungen) [26].

Klar ist, daß ρ ein Algebrenhomomorphismus zwischen normierten Algebren ist. Zu zeigen ist i) ∥ρ(a)∥ = ∥a∥ für alle a ∈ A, was die Injektivität liefert, und ii) die Surjektivität.

i) Es gilt |ρ(a)(χ)| = ∥χ(a)∥ ≤ ∥χ∥∥a∥ = ∥a∥ für alle χ ∈ Spec(A), also nach Supremumsbildung ∥â∥ ≤ ∥a∥. Insbesondere ist ρ stetig.

Man zeigt für C^{∗}-Algebren mittels Polarisationsformeln oder Funktionalkalkül, daß ρ ein ∗-Homomorphismus ist, χ(a^{∗}) = \overline{χ(a)}. Das Spektrum selbstadjungierter positiver Elemente von A ist reell und positiv. Das Spektrum ist abgeschlossen, also ist r(a^{∗}a) ∈ sp(a^{∗}a). Wenn man beweisen kann, daß es zu jedem Spektralwert λ ∈ sp(a) einen Charakter χ gibt mit χ(a) = λ, so folgt

χ(a^{∗}a) = χ(a^{∗})χ(a) = |â(χ)|^{2} = r(a^{∗}a) = ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} .

Also folgt ∥â∥ = sup_{χ∈Spec(A)} |â(χ)| ≥ ∥a∥, zusammen mit der anderen Ungleichung also ∥â∥ = ∥a∥ für alle a ∈ A.

Es bleibt χ(a) = λ zu zeigen. Dazu ist eine Verbindung zwischen Charakteren und maximalen Idealen zu verwenden. Ein (echtes) Ideal 1 ∉ I ∋ b einer Algebra A ∋ a ist ein linearer Teilraum mit ab, ba ∈ I. Zunächst ist ker χ ein Ideal in A. Dieses ist maximal (nicht enthalten in einem echten Ideal I), denn für a ∈ I \ker χ ist χ(a) invertierbar. Wähle b ∈ A mit χ(a)χ(b) = 1 (χ ist surjektiv!), dann ist ab ∈ I und ab − 1 ∈ ker χ ⊂ I, also 1 ∈ I, Widerspruch. Sei umgekehrt I ein maximales Ideal von A, dann zeigt man unter Verwendung des Lemmas von Zorn, daß A/I ein Körper ist. Nach dem Satz von Gelfand-Mazur ist dann A/I ≃ ℂ: Denn sei A/I ∋ b ≠ 0 und λ ∈ sp(b) (nichtleer), dann ist b − λ1 nicht invertierbar, also b = λ1. Damit definiert jedes maximale Ideal I einen Charakter χ_{I} : A → A/I → ℂ, mit I = ker χ_{I}.

Daraus folgt nun, daß es zu jedem λ ∈ sp(a) ein χ ∈ Spec(A) gibt mit χ(a) = λ. Denn A(a − λ1) ∌ 1 ist echtes Ideal, und dieses ist in einem maximalen Ideal ker χ_{I} enthalten. Wegen 1 ∈ A folgt also a − λ1 ∈ ker χ_{I}, d.h χ_{I}(a) = λ.

ii) Surjektivität folgt aus dem Satz von Stone-Weierstraß: Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum und B Unteralgebra von C(X). Wenn B i) die Punkte von X trennt, d.h. für alle x, y ∈ X gibt es f ∈ B mit f(x) ≠ f(y), ii) nicht identisch verschwindet, d.h. für alle x ∈ X gibt es f ∈ B mit f(x) ≠ 0, iii) abgeschlossen unter komplexer Konjugation ist, dann liegt B dicht in C(X) bezüglich der Norm-Topologie.

Sei B = ρ(A) ⊂ C(Spec(A)). Seien χ_{1} ≠ χ_{2} Charaktere. Dann gibt es ein a ∈ A mit χ_{1}(a) ≠ χ_{2}(a), also â(χ_{1}) ≠ â(χ_{2}), und â ∈ B trennt die Punkte. Wegen ˆ1(χ) = 1 verschwindet B nicht identisch. Mit ρ(a) liegt auch ρ(a)^{∗} = ρ(a^{∗}) in B. Also liegt B dicht in C(Spec(A)) Wegen ∥ρ(a)∥ = ∥a∥ ist B vollständig in der Norm-Topologie (ist (â_{k})-Cauchy-Folge, so auch (a_{k}), die gegen a ∈ A konvergiert), also abgeschlossen und gleich C(Spec(A)). □

Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum. Es verbleibt zu zeigen, daß Y = Spec(C(X)) wieder homöomorph zu X ist. Nach Definition der schwach-*- Topologie genügt es zu zeigen, daß es eine Bijektion zwischen X und Spec(C(X)) als Mengen gibt.

Sei ϵ_{x} : C(X) → ℂ die Auswertung in x ∈ X, d.h. ϵ_{x}(f) = f(x). Damit ist ϵ_{x} ein Charakter, und

ker ϵ_{x} = {f ∈ C(X) : f(x) = 0}

ist maximales Ideal von C(X). Somit liefert die Auswertung eine Abbildung ϵ : X → Spec(C(X), die in der schwach-*-Topologie von Spec(C(X) stetig ist.

Sei umgekehrt χ ∈ Spec(C(X)), dann ist ker χ ein maximales Ideal in C(X). Angenommen, I = ker χ wäre verschieden von allen ker ϵ_{x}. Insbesondere wäre I in keinem ker ϵ_{x} enthalten, d.h. zu jedem x ∈ X gibt es ein g_{x} ∈ I mit g_{x}(x) ≠ 0. Wegen der Stetigkeit ist dann auch g_{x}(y) ≠ 0 für alle y aus einer Umgebung U_{x} von X. Da X kompakt ist, gibt es endlich viele x_{1}, …, x_{n} mit f = ∑_{i=1}^{n} |g_{x_{i}}|^{2} ∈ I überall verschieden von 0. Also ist f invertierbar und 1 = f^{−1} · f ∈ I, Widerspruch. Also ist ϵ bijektiv.

3 Serre-Swan

Definition 3.1 Es sei X ein kompakter Hausdorff-Raum. Ein (komplexes) lokaltriviales Vektorbündel über X ist gegeben durch einen topologischen Raum E und eine stetige surjektive Abbildung p : E → X, so daß gilt:

• Für jeden Punkt x ∈ X ist die Faser E_{x} := p^{−1}(x) ⊂ E ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum.

• Zu jedem x ∈ X existiert eine Umgebung U und eine Zahl m ∈ ℕ, so daß p^{−1}(U) homöomorph zu ℂ^{m} × U ist.

Ein (globaler) Schnitt von E →^{p} X ist eine stetige Abbildung s : X → E mit p∘s = id_{X}. Mit Γ(E, S) werde der Vektorraum der Schnitte von E →^{p} X bezeichnet.

Dabei ist (λ_{1}s_{1} + λ_{2}s_{2})(x) := λ_{1}s_{1}(x) + λ_{2}s_{2}(x). Durch (sf)(x) := s(x)f(x) für f ∈ C(X) wird Γ(E, S) zu einem Modul über C(X). Das bedeutet, daß in den Vektorraum-Axiomen ℂ durch C(X) ersetzt werden kann. Es übertragen sich alle Strukturen, die nicht die Division erfordern. Lineare Unabhängigkeit über C(X) ist nicht sinnvoll, im Gegensatz zum Begriff des Erzeugendensystems: Ein C(X)- Modul E heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Familie η_{1}, …, η_{k} gibt, so daß jedes η ∈ E (nicht notwendig eindeutig) darstellbar ist als η = ∑_{i=1}^{k} η_{i}f_{i} für f_{i} ∈ C(X).

Ein C(X)-Modul E heißt frei, wenn E homöomorph zu ℂ^{m}⊗C(X) ist. Offenbar ist der Vektorraum der Schnitte des global trivialen Vektorbündels E = ℂ^{m} × X ein freier C(X)-Modul. Ein Erzeugendensystem ist (e_{i} ⊗1)_{i=1,...,m}, wobei (e_{i}) eine Basis von ℂ^{m} ist und 1 ∈ C(X) die konstante Funktion.

Für Vektorräume und C(X)-Moduln läßt sich eine direkte Summe erklären. Sind E_{1}, E_{2} Vektorbündel über X, dann ist die Whitney-Summe E_{1} ⊕ E_{2} erklärt als die Teilmenge von E_{1} × E_{2} ∋ (e_{1}, e_{2}) mit p_{1}(e_{1}) = p_{2}(e_{2}). Sind E_{1}, E_{2} Moduln über C(X), dann ist auch die direkte Summe E_{1} ⊕ E_{2} ∋ (η_{1}, η_{2}) ein C(X)-Modul mit (η_{1}, η_{2})f := (η_{1}f, η_{2}f). Ein C(X)-Modul E heißt projektiv, wenn es einen C(X)-Modul E′ gibt, so daß E ⊕ E′ ein freier Modul ist.

Theorem 3.2 (Swan, 1962 [48]) Sei X ein kompakter Hausdorff-Raum. Ein C(X)-Modul E ist genau dann isomorph zu einem Modul der Form Γ(E, X) für ein lokal-triviales Vektorbündel E →^{p} X, wenn E endlich erzeugt und projektiv ist.

Beweis. Die Originalarbeit von Swan [48] und die Arbeit von Landi [34] sind gute Referenzen.

i) Sei E →^{p} X beliebiges lokal-triviales Vektorbündel über X. Wir zeigen zunächst, daß E = Γ(E, X) ein endlich erzeugter projektiver C(X)-Modul ist. Wegen der lokalen Trivialität existiert zu jedem x ∈ X eine Familie s_{x,1}, …, s_{x,m} ∈ Γ(E, X), die eine lokale Basis von p^{−1}(U_{x}) ≃ ℂ^{m} × U über einer Umgebung U_{x} ⊂ X von x bildet. (Zunächst kann s_{x,1}(x), …, s_{x,m}(x) ∈ E_{x} ≃ ℂ^{m} linear unabhängig gewählt werden. Wegen der Stetigkeit sind aber auch s_{x,1}(y), …, s_{x,m}(y) linear unabhängig für alle y ∈ U_{x}.)

Da X kompakt ist, gibt es endlich viele s_{1}, …, s_{n} ∈ E, so daß für jeden Punkt x ∈ X die Faser p^{−1}(x) von s_{1}(x), …, s_{n}(x) aufgespannt wird. Also ist E endlich erzeugt durch s_{1}, …, s_{n}. Sei F = ℂ^{n} ⊗ C(X) = Γ(ℂ^{n} × X, X) der freie C(X)-Modul mit n Erzeugern e_{1}, …, e_{n}. Die Abbildung π : F → E definiert durch π(e_{i}) = s_{i} und Fortsetzung über die Modulstruktur ist surjektiv und stetig. Da die Dimension des Bildes von π lokal konstant ist, ist mit im(π) = E auch ker(π) =: E′ ein C(X)-Modul (siehe [48, Proposition 1]), und es gilt F = E ⊕ E′. Damit ist E projektiv.

ii) Sei E ein endlich erzeuger projektiver C(X)-Modul, d.h. E ⊕ E′ = F und F = ℂ^{n} ⊗ C(X). Sei F ∋ ξ = (η, η′) die entsprechende Zerlegung, mit ξf = (ηf, η′f). Sei e : F → F gegeben durch eξ = (η, 0), dann gilt e^{2} = e und (eξ)f = e(ξf) sowie E ≃ im(e) und E′ ≃ ker(e).

Sei x ∈ X und I_{x} = {f ∈ C(X) : f(x) = 0} das entsprechende maximale Ideal in C(X). Dann besteht FI_{x} aus den in x verschwindenden Elementen aus F, und F/FI_{x} besteht aus den Äquivalenzklassen von Elementen aus F mit gleichem Wert in x. Damit liefert die Auswertung ξ ↦ ξ(x) einen Isomorphismus F/FI_{x} ≃ F_{x} ≃ ℂ^{n}. Wegen (eξ)f = e(ξf) erhält e den Untermodul eFI_{x}, so daß die Auswertung eξ ↦ (eξ)(x) einen Isomorphismus eF/eFI_{x} ≃ E_{x} zu einem Untervektorraum E_{x} ⊂ ℂ^{m} liefert. Wenn wir zeigen können, daß die Dimension von E_{x} lokal konstant ist, dann definieren diese Fasern E_{x} ein lokal-triviales Vektorbündel.

Sei dim(E_{x}) = m. Dann existieren m linear unabhängige stetige Schnitte s_{1}, …, s_{m} von ℂ^{n} × X derart, daß (es_{i})(x) = s_{i}(x). Dann sind die es_{i} auch in einer Umgebung U von x linear unabhängig (wie oben), also ist dim(E_{y}) ≥ m für alle y ∈ U. Wiederholung der Argumentation für die Idempotente 1 − e führt auf den komplementären Faserraum E′_{x} der Dimension n − m. Folglich ist dim(E′_{y}) ≥ n − m. Da die Gesamtdimension konstant ist, folgt dim(E_{x}) = m lokal konstant. Das Vektorbündel ist nun E = ⋃_{x∈X} E_{x} × {x} mit p^{−1}(U) = span(es_{1}, …, es_{m}) ×_{x} U. □

Es sei bemerkt, daß sich die Konstruktion auch für andere Funktionsklassen durchführen läßt wie z.B. Vektorbündel über differenzierbaren Mannigfaltigkeiten mit C^{∞}(X)-Modulstruktur der Schnitte (z.B. [34]). In Connes’ Rekonstruktionstheorem wird eine Verallgemeinerung auf L^{∞}(X) benötigt.

In der nichtkommutativen Geometrie läßt man die Forderung der Kommutativität weg und betrachtet endlich erzeugte projektive Moduln über (weitgehend) beliebigen Algebren. Die Klassifikation dieser Moduln ist Gegenstand der K-Theorie.

Beispiel 3.3 (z.B. [31]) Für X = S^{2} und n_{1}, n_{2}, n_{3} ∈ C(X) werde e ∈ M_{2}(C(X)) definiert als

e = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 + n_{3} & n_{1} − in_{2} \\ n_{1} + in_{2} & 1 − n_{3} \end{matrix} )

Dann ist

e = e^{∗} ⇔ n_{i} = \overline{n_{i}} , e^{2} = e ⇔ ∑_{i=1}^{3} n_{i}^{2} = 1 , n_{i}n_{j} = n_{j}n_{i} für i ≠ j .

Mit anderen Worten, e ist genau dann ein Projektor, wenn n = (n_{1}, n_{2}, n_{3}) eine stetige Abbildung n : S^{2} → S^{2} ist. Es gilt rang(e) = tr(e) = 1. Damit definiert E = e(ℂ^{2} ⊗ C(S^{2})) ein komplexes Linienbündel über der S^{2}. Es steht in Verbindung zum komplexen Hopf-Bündel U(1) → S^{3} → S^{2}.

Interessant ist, daß wenn A die von den Einträgen e_{ij} von e erzeugte Operatoralgebra ist, die Bedingung e = e^{2} = e^{∗} erzwingt, daß A = C(S^{2}) ist [11]. Für den vierdimensionalen Fall ergibt sich nicht nur die S^{4} als Lösung, sondern auch die Connes-Landi-Sphären [12].

Teil II

Kommutative spektrale Tripel

4 Diskussion der Definition

Zunächst werde die Algebra A als kommutativ vorausgesetzt. Dadurch läßt sich der Anschluß an die übliche Differentialgeometrie realisieren. Jedoch werden die Strukturen so formuliert, daß sie sich leicht ins Nichtkommutative verallgemeinern lassen. Wir geben zunächst die Originaldefinition aus [15].

Definition 4.1 Ein kommutatives spektrales Tripel (A, H, D) der Dimension p ∈ ℕ besteht aus einer kommutativen involutiven unitalen Algebra A, dargestellt in einem Hilbert-Raum H, und einem selbstadjungierten Operator D in H, eingeschränkt durch 5 Bedingungen:

1) Dimension. Die Resolvente von D ist ein kompakter Operator, und ihr n-ter charakteristischer Wert ist von Ordnung O(n^{− \frac{1}{p}}).

2) Ordnung-Eins. [[D, f], g] = 0 für alle f, g ∈ A.

3) Regularität. Für beliebiges f ∈ A und m ∈ ℕ liegen f und [D, f] im Definitionsbereich des Operators δ^{m}, wobei δT := [|D|, T] für T ∈ L(H).

4) Orientierbarkeit. Sei π_{D} : A^{⊗(p+1)} die Abbildung π_{D}(f_{0} ⊗ f_{1} ⊗ ⋯ ⊗ f_{p}) := f_{0}[D, f_{1}] ⋯ [D, f_{p}]. Es existiert ein Hochschild-p-Zykel c ∈ Z_{p}(A, A), so daß für γ := π_{D}(c) gilt γ = 1 für p ungerade und γ = γ^{∗}, γ^{2} = 1 sowie Dγ = −γD für p gerade.

5) Endlichkeit und absolute Stetigkeit. Der Raum H_{∞} = ⋂_{m=0}^{∞} dom(D^{m}) ⊂ H ist ein endlich erzeugter projektiver A-Modul, H_{∞} = eA^{n}. Für die dadurch definierte hermitesche Struktur

( | ) : H_{∞} × H_{∞} → A , (ξ|η) = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i}^{∗}η_{i} ∈ A für ξ, η ∈ eA^{n}

gilt ⟨ξ, η⟩ = ∫−(ξ|η)|D|^{−p} für alle ξ, η ∈ H_{∞}, wobei ∫ −T der Koeffizient der

logarithmischen Divergenz von Tr(T) ist.

Die Definition enthält sehr viel Information, die wir zumindest zum Teil diskutieren werden. Zunächst jedoch das Rekonstruktionstheorem, welches die Definition motiviert.

Theorem 4.2 (Connes, 2008 [15]) Es sei (A, D, H) ein kommutatives spektrales Tripel, und die Bedingungen 1) bis 5) seien in stärkerer Form realisiert:

• Alle Endomorphismen T ∈ End_{A}(H_{∞}) sind regulär.

• Der Hochschild-Zykel ist antisymmetrisch, d.h. c = ∑_{α} ∑_{β∈S_{p}} ϵ(β)a_{α}^{0} ⊗

a_{α}^{β(1)} ⊗ … a_{α}^{β(p)}, wobei ϵ(β) das Vorzeichen der Permutation β ist.

Dann existiert eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit X, und A = C^{∞}(X) ist die Algebra der glatten Funktionen auf X. Umgekehrt definiert jede kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit ein spektrales Tripel mit diesen Bedingungen.

Es gibt ein weiteres Theorem [15], welches unter anderen Zusatzbedingungen sicherstellt, daß X eine Spin^{c}-Mannigfaltigkeit ist, und D ist dann ein Dirac-Operator. Eine (zusätzliche) Realitätsbedingung liefert sogar eine Spinstruktur [23], und die sogenannte Spektralwirkung wählt den Levi-Civita-Zusammenhang aus.

4.1 Unbeschränkte Operatoren

Zunächst folgt aus 1), daß D unbeschränkt ist für p > 0. Wir stellen Eigenschaften unbeschränkter Operatoren bereit (z.B. [43, 52]).

Mit dom(T) ⊂ H werde der Definitionsbereich eines linearen (unbeschränkten) Operators T bezeichnet. Der Graph von T ist die Menge Γ(T) der Paare (ϕ, T ϕ) ∈ H × H mit ϕ ∈ dom(T). Ein Operator T heißt abgeschlossen, wenn Γ(T) ⊂ H × H abgeschlossen ist. Das bedeutet, daß dom(T) vollständig ist bezüglich der Graphennorm ∥(ϕ, T ϕ)∥ = ∥ϕ∥ + ∥T ϕ∥. Äquivalent: Ist (ϕ_{n}) eine Folge in dom(T) mit ϕ_{n} → ϕ ∈ H und T ϕ_{n} → ψ ∈ H, dann gilt ϕ ∈ dom(T) und ψ = T ϕ. Der Satz vom abgeschlossenen Graphen besagt: Es sei T : H_{1} → H_{2} abgeschlossener Operator zwischen Hilbert-Räumen. dom(T) ist genau dann abgeschlossen, wenn T stetig ist. Dieser Satz steht in Verbindung zum Satz von der offenen Abbildung: Jede stetige lineare surjektive Abbildung zwischen Hilbert-Räumen ist offen, d.h. bildet offene Mengen auf offene Mengen ab. In diesen Sätzen kann Hilbert-Raum durch Banach-Raum ersetzt werden.

Eine Erweiterung von T ist ein Operator T_{1} mit dom(T_{1}) ⊃ dom(T) und T_{1}ϕ = T ϕ für alle ϕ ∈ dom(T). Ein Operator T heißt abschließbar, wenn eine abgeschlossene Erweiterung T_{1} existiert. In diesem Fall gibt es eine kleinste abgeschlossene Erweiterung T̄, der Abschluß von T.

Für einen linearen dicht definierten Operator T : dom(T) → H ist der lineare Teilraum dom(T^{∗}) definiert als die Menge aller ϕ ∈ H, für die es ein η ∈ H gibt mit ⟨T ψ, ϕ⟩ = ⟨ψ, η⟩ für alle ψ ∈ dom(T). Dann ist der adjungierte Operator T^{∗} erklärt durch T^{∗}ϕ = η. T^{∗} ist immer abgeschlossen, und T ist abschließbar, wenn dom(T^{∗}) ⊂ H dicht ist. In diesem Fall ist T̄ = T^{∗∗}.

Ein linearer dicht definierter Operator T heißt

• symmetrisch, wenn dom(T) ⊂ dom(T^{∗}) und T ϕ = T^{∗}ϕ für alle ϕ ∈

dom(T).

• selbstadjungiert, wenn T = T^{∗}, d.h. dom(T) = dom(T^{∗}) und T symmetrisch.

• wesentlich selbstadjungiert, wenn T symmetrisch ist und T̄ selbstadjungiert ist.

Damit sind selbstadjungierte Operatoren automatisch abgeschlossen.

Für abgeschlossene Operatoren T kann man eine Spektraltheorie einführen. Eine komplexe Zahl λ gehört zur Resolventenmenge R(T), wenn λid_{H} − T : dom(T) → H bijektiv ist und die Resolvente R_{λ}(T) := (λid_{H} − T)^{−1} beschränkt ist. Die Resolventenmenge ist offen in ℂ, und die Resolventenfunktion λ ↦ (λid_{H} − T)^{−1} ist holomorph auf R(T). Das Komplement sp(T) = ℂ \ R(T) ist das Spektrum von T, es ist abgeschlossen, im allgemeinen nicht kompakt und kann sogar leer sein. Selbstadjungierte Operatoren haben reelles Spektrum. Über die Cayley-Transformation T ↦ U_{T} := (i id_{H} − T)(−i id_{H} − T)^{−1} werden selbstadjungierte Operatoren auf unitäre Operatoren abgebildet mit id − U_{T} injektiv. Aus dem Spektralmaß für unitäre Operatoren kann dann ein Spektralsatz für

selbstadjungierte Operatoren bewiesen werden: T = ∫_{ℝ} λdE_{λ}.

Für abgeschlossene Operatoren gibt es eine eindeutige Polarzerlegung T = F |T |. Dabei ist |T | ein positiver selbstadjungierter Operator mit dom(|T |) = dom(T) und ker T = ker |T |, und F ist eine partielle Isometrie von (ker T)^{⊥} nach \overline{im(T)}. Ist T normal, dann kommutiert F mit |T | und damit mit T. Ist T selbstadjungiert (insbesondere normal), dann ist F^{2} = 1 auf (ker T)^{⊥}. Für

0 ∉ sp(T) kann |T | charakterisiert werden durch |T | = \frac{2}{π} ∫_{0}^{∞} \frac{dλ}{\sqrt{λ}} \frac{T^{∗}T}{T^{∗}T + λ}.

Zurück zur Definition. Die Endlichkeit charakterisiert H_{∞} = ⋂_{m=0}^{∞} dom(D^{m}). Aus der Selbstadjungiertheit von D folgt, daß H_{∞} dicht in H ist (Reed-Simon 2: X.6): Für einen dicht definierten abgeschlossenen Operator T auf H ist T^{∗}T selbstadjungiert, insbesondere dicht definiert. Somit ist mit D auch D^{2} und induktiv D^{2^{m}} selbstadjungiert auf H, folglich ist dom(D^{2^{m}}) dicht in H. Die Behauptung folgt nun aus dom(D^{m}) ⊂ dom(D^{k}) für k ≥ m. Bezeichne D_{∞} die Einschränkung von D auf den Definitionsbereich H_{∞}, dann ist D_{∞} wesentlich selbstadjungiert, da symmetrisch und \overline{D_{∞}} = D. Damit ist H_{∞} determinierender Bereich (core) für D, d.h. (D_{∞}, H_{∞}) mit dem Skalarprodukt aus 5) beinhalten schon die gesamte Information über (D, H).

Die Regularität 3) beinhaltet zunächst, daß für T = δ^{m−1}f oder T = δ^{m−1}[D, f] gilt: T ist beschränkt mit T dom(|D|) ⊂ dom(|D|) und δ(T) beschränkt. Da man sich aber auf den dichten Teilraum H_{∞} einschränken kann, genügt es zu fordern (Lemma 13.1 von [Connes, 2008]), daß T und [|D|, T] auf H_{∞} beschränkt sind. Die Stetigkeit liefert dann eine eindeutige Fortsetzung zu beschränkten Operatoren auf H. Insbesondere ist f, [D, f] ∈ L(H), was in manchen Definitionen spektraler Tripel gefordert wird.

4.2 Kompakte Operatoren und nichtkommutatives Integral

Wir verwenden [23, 7.C und 7.5].

Sei K ⊂ L(H) das Ideal der kompakten linearen Operatoren auf H. Für T ∈ K ist |T | = (T^{∗}T)^{\frac{1}{2}} selbstadjungiert, positiv und kompakt. Nach dem Spektralsatz gibt es eine Nullfolge von Eigenwerten μ_{i} > 0 von |T |, der entsprechende Eigenraum E_{i} = ker(|T | − μ_{i}1) ist endlich-dimensional, und es gilt sp(|T |) = {μ_{i} : i ∈ ℕ} ∪ {0}. Als singulären Wert oder charakteristischen Wert s_{k}(T) von T bezeichnet man den k-ten Eigenwert μ_{k}(|T |), fallend und mit Vielfachheit angeordnet. Es gilt s_{0}(T) = ∥|T |∥. Ähnlich zur Definition der ℓ^{p}-Folgenräume definieren die singulären Werte die Schatten-Ideale in K (und L(H)):

L^{p} := \{T ∈ K : ∥T ∥_{p} := ( ∑_{k=0}^{∞}(s_{k}(T))^{p})^{\frac{1}{p}} < ∞\} .

Speziell ist L^{2} die Hilbert-Schmidt-Klasse, L^{1} die Spur-Klasse, und man identifiziert L^{∞} = K mit ∥ ∥_{∞} = ∥ ∥ (Operator-Norm). Für jedes 1 ≤ p ≤ ∞ ist (L^{p}, ∥ ∥_{p}) ein Banach-Raum.

Für T ∈ L^{1} gilt Tr(T) = ∑_{i=1}^{n}⟨ψ_{i}, T ψ_{i}⟩ für eine beliebige Orthonormalbasis {ψ_{i}} von H, und Tr(T) ≤ Tr(|T |) = ∥T ∥_{1}. Es gilt Tr(T S) = Tr(ST) falls T S, ST ∈ L^{1}. Für s_{0}(T) = ∥|T |∥ = 1 ist L^{p} ⊂ L^{r} für p < r. Es gilt die Höldersche Ungleichung Tr(|T S|) ≤ ∥T ∥_{p}∥S∥_{q} mit T ∈ L^{p}, S ∈ L^{q} und \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Sie verallgemeinert sich zu Tr(|T S|) ≤ ∥T ∥_{1}∥S∥ für T ∈ L^{1}, S ∈ L(H).

Es zeigt sich, daß die Spurklasse-Operatoren ungeeignet für eine nichtkommutative Verallgemeinerung des Integrals sind und man stattdessen zum Dixmier-Ideal L^{1+} übergehen muß, mit L^{1} ⊂ L^{1+} ⊂ L^{p} für alle p > 1. Sei σ_{n}(T) = ∑_{k=0}^{n−1} s_{k}(T) die Partialsumme. Die Dixmier-Klasse kompakter Operatoren T ist durch σ_{n}(T) = O(log n) charakterisiert. Man zeigt, daß jede Partialsumme T ↦ σ_{n}(T) eine Norm auf K ist, genauer

σ_{n}(T) = sup{∥T P_{E}∥_{1} : P_{E} Projektor auf n-dimensionalen Teilraum E ⊂ H } .

Für positive T kann ∥T P_{E}∥_{1} durch Tr(P_{E}T P_{E}) ersetzt werden. Zunächst ist s_{k}(T) = inf{∥T |_{E^{⊥}}∥ : dim(E) = k} [23, Lemma 7.32]. Also ist s_{k}(T) ≥ s_{k}(S) für T^{∗}T ≥ S^{∗}S. Wähle S = T P_{E}, dann ist σ_{n}(T) ≥ ∑_{k=0}^{n−1} s_{k}(T P_{E}) = ∥T P_{E}∥_{1}. Andererseits folgt Gleichheit für den von den ersten n Eigenvektoren aufgespannten Unterraum. Wegen ∥(T + S)P_{E}∥_{1} ≤ ∥T P_{E}∥_{1} + ∥SP_{E}∥_{1} gilt die Dreiecksungleichung, wegen s_{k}(T) ≤ s_{0}(T) = ∥T ∥ gilt σ_{n}(T) ≤ n∥T ∥.

Wichtig ist eine umgekehrte Einschachtelung für positive Elemente 0 ≤ T, S ∈ K:

σ_{n}(T + S) ≤ σ_{n}(T) + σ_{n}(S) ≤ σ_{2n}(T + S) ,

da Tr(P_{E}T P_{E}) + Tr(P_{F} SP_{F}) ≤ Tr(P_{E+F} T P_{E+F}) + Tr(P_{E+F} SP_{E+F}) = Tr(P_{E+F} (T + S)P_{E+F}). Damit wird T ↦ \frac{1}{log n}σ_{n}(T) im Limes n → ∞ zu einer additiven Abbildung auf einem geeigneten Kegel positiver Elemente von K und nach linearer Forsetzung auf einem Teilraum von K. Wegen σ_{n}(UT U^{∗}) = σ_{n}(T) wird T ↦ lim_{n→∞} \frac{1}{log n}σ_{n}(T) sogar zu einer Spur (jedes S ∈ L(H) ist Linearkombination von 4 unitären Operatoren). Dazu ist jedoch die Existenz des Limes n → ∞ zu garantieren.

Man definiert das Dixmier-Ideal L^{1+} ⊂ K als

L^{1+} := \{T ∈ K : ∥T ∥_{1+} := sup_{n≥2} \frac{σ_{n}(T)}{log n} < ∞\} .

Ein positiver kompakter Operator T ∈ L^{1+} heißt meßbar, wenn der Limes

∫− T := lim_{n→∞} \frac{σ_{n}(T)}{log n}

existiert (wird noch etwas verallgemeinert). Durch lineare Fortsetzung wird das nichtkommutative Integral ∫ − zu einer Spur auf der Menge der meßbaren L^{1+}- Operatoren. Offenbar gilt ∫ −T = 0 für T ∈ L^{1}.

Jedoch gibt auch nicht-meßbare T ∈ L^{1+}. Man kann auch für diese eine Spur erklären, die Dixmier-Spur. Zunächst ist \frac{σ_{n}(T)}{log n} zu glätten. Man kann σ_{n}(T) linear auf σ_{λ}(T) fortsetzen für λ ∈ ℝ. Diese kann man Cesàro-mitteln,

τ_{λ}(T) = \frac{1}{log λ} ∫_{3}^{λ} \frac{du}{u} \frac{σ_{u}(T)}{log u} .

Für positive T, S ∈ L^{1+} läßt sich zeigen, daß τ_{λ}(T +S)−τ_{λ}(T)−τ_{λ}(S) = O(\frac{log log λ}{log λ}) für λ → ∞. Das sichert die Linearität, folglich die Spur-Eigenschaft. Für festes T liegt die Funktion (λ ↦ τ_{λ}(T)) in der kommutativen C^{∗}-Algebra C_{b}([3, ∞[). Jeder Zustand ω auf C_{b}([3, ∞[), der auf der Algebra C_{0}([3, ∞[) der in ∞ verschwindenden Funktionen Null ist, definiert dann durch Tr_{ω}(T) := ω(τ(\frac{σ_{n}(T)}{log n})) und lineare Fortsetzung eine Spur auf L^{1+}, die auf L^{1} verschwindet.

Beispiel 4.3 Es sei T = Δ^{−s/2} für den Laplace-Operator auf dem p-Torus 𝕋^{p} = S^{1}×⋯×S^{1}. Die Eigenfunktionen des Laplace-Operators Δ = \frac{∂^{2}}{∂x_{1}^{2}} +⋯+ \frac{∂^{2}}{∂x_{p}^{2}} sind e^{i(k_{1}x_{1}+···+k_{p}x_{p})} mit k_{i} ∈ ℤ, das Spektrum ist also sp(Δ) = {∥k∥^{2} : k ∈ ℤ^{p}}. Der Lapace-Operator hat einen endlich-dimensionalen Kern, die konstanten Funktionen. Es wird stillschweigend vereinbart, daß Δ auf dem Kern durch 1 ersetzt wird. Mit dieser Ersetzung ist T = Δ^{−s/2} kompakt für s > 0. Zur Bestimmung von s_{n}(T) benötigen wir zumindest asymptotisch die Vielfachheit eines Eigenwertes ∥k∥ von Δ^{\frac{1}{2}} . Bezeichne Ω_{p} = \frac{2π^{\frac{p}{2}}}{Γ( \frac{p}{2} )} die Oberfläche der S^{p−1}, also \frac{Ω_{p}}{p} das Volumen der p-dimensionalen Einheitsvollkugel, dann ist s_{\frac{Ωp}{p} r^{p}}(Δ^{−s/2}) = r^{−s} oder

s_{n}(T) = (\frac{np}{Ω_{p}} )^{− \frac{s}{p}}. Somit ist

σ_{n}(T) = ∫_{1}^{n} du (\frac{Ω_{p}}{up})^{\frac{s}{p}} ,

also ist ∥T ∥_{1+} unbeschränkt für s < p, gleich 0 für s > p, und für s = p gilt

∫−Δ^{− \frac{p}{2}} = lim_{n→∞} \frac{1}{log n} ∫_{1}^{n} du \frac{Ω_{p}}{up} = \frac{Ω_{p}}{p} = \frac{Ω_{p}}{p(2π)^{p}} ∫_{𝕋^{n}} d vol .

Damit haben wir Connes’ Spurtheorem für 𝕋^{n} und konstante Funktionen gezeigt. ◁

In vielen Fällen kann das nichtkommutative Integral über ein Residuum berechnet werden. Wenn T ∈ L^{s} für alle s > 1 und der Limes res_{s=1}(Tr(T^{s})) = lim_{s↘1}(s − 1)Tr(T^{s}) existiert, dann gilt ∫ − T = res_{s=1}(Tr(T^{s})). Siehe [23, Lemma 7.19+7.20].

Ist Δ der Laplace-Operator auf einer p-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit X und f ∈ C^{∞}(X), so besagt Connes’ Spurtheorem

∫−(fΔ^{− \frac{p}{2}} ) = \frac{Ω_{p}}{p(2π)^{p}} ∫_{X} dx f(x) .

Typischerweise beweist man das Spurtheorem über das Wodzicki-Residuum für Pseudodifferentialoperatoren. Für U ⊂ ℝ^{n} ist eine recht allgemeine Klasse von Operatoren P auf C_{c}^{∞}(U) ∋ f (glatte Funktionen mit kompaktem Träger) gegeben als Integralkern

(P f)(x) = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫_{ℝ^{n}} dξ e^{iξx} p(x, ξ)f̂(ξ) = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫_{ℝ^{n}} dξ ∫_{U} dy e^{iξ(x−y)} p(x, ξ)f(y) .

Dabei heißt p(x, ξ) das Symbol von P, und P heißt Pseudodifferentialoperator der Ordnung d, wenn für das Symbol eine Abschätzung |(D_{x}^{β}D_{ξ}^{α}p)(x, ξ)| ≤ C_{Kαβ}(1 + |ξ|^{2})^{\frac{d−|α|}{2}} gilt für Multiindizes α, β und x ∈ K ⊂ U kompakt. Es gibt eine asymptotische Entwicklung p(x, ξ) ∼ ∑_{s≤d} p_{s}(x, ξ) für solche Symbole, und der führende Anteil p_{d}(x, ξ) heißt Hauptsymbol. Ist dim(X) = n, dann ist das Wodzicki-Residuum von P gegeben durch das Integral

W res(P) = ∫_{S^{n−1}} dξ ∫_{X} dx p_{−n}(x, ξ) .

Man zeigt, daß W res eine Spur ist. Für P = fΔ^{− \frac{n}{2}} ist p_{−n} das Hauptsymbol, für welches sich \frac{1}{n(2π)^{n}} W res(P) = res_{s=1}Tr(P^{s}) zeigen läßt. Daraus ergibt sich schließlich das Spurtheorem.

4.3 Hochschild-Homologie

Es sei A eine unitale Algebra, M ein A-Bimodul, und C_{n}(A, M) = M ⊗ A^{⊗n} ein (n + 1)-faches Tensorprodukt. Man definiert den Hochschild-Operator b :

C_{n}(A, M) → C_{n−1}(A, M) als

b(m ⊗ a_{1} ⊗ … a_{n}) := ma_{1} ⊗ a_{2} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

+ ∑_{i=1}^{n−1}(−1)^{i}m ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{i−1} ⊗ a_{i}a_{i+1} ⊗ a_{i+2} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n}

+ (−1)^{n}a_{n}m ⊗ a_{1} ⊗ ⋯ ⊗ a_{n−1} .

Setzt man noch b = 0 auf C_{0}(A, M) = M, dann rechnet man b^{2} = 0 nach. Z.B ist

b(m ⊗ a_{1}) = ma_{1} − a_{1}m , b(m ⊗ a_{1} ⊗ a_{2}) = ma_{1} ⊗ a_{2} − m ⊗ a_{1}a_{2} + a_{2}m ⊗ a_{1}

und dann

b^{2}(m ⊗ a_{1} ⊗ a_{2}) = (ma_{1}a_{2} − a_{2}ma_{1}) − (ma_{1}a_{2} − a_{1}a_{2}m) + (a_{2}ma_{1} − a_{1}a_{2}m) = 0 .

Somit ist (C_{∗}(A, M), b) ein Kettenkomplex, und die Hochschild-Homologie HH_{∗}(A, M) ist die zugehörige Homologie. Bezeichnet Z_{n}(A, M) ∋ c_{n} den Teilraum der Hochschild-n-Zykel bc_{n} = 0, dann ist HH_{n}(A, M) = Z_{n}(A, M)/bC_{n+1}(A, M). Nach Dualisieren läßt sich die Hochschild-Kohomologie definieren für multi-lineare Abbildungen ϕ : A^{×n} → M.

Die Hochschild-Homologie ist die einfachste von mehreren nichtkommutativen (Ko-)Homologien; sie enthält bereits viel Struktur. Für die Algebra A = C^{∞}(X) der glatten Funktionen auf eine Mannigfaltigkeit X besagt das Hochschild-Kostant-Rosenberg-Connes-Theorem, daß HH_{∗}(C^{∞}(X), C^{∞}(X)) ≃ Ω^{∗}(C^{∞}(X)) isomorph zur äußeren Algebra über X ist. Durch

ε_{n}(f_{0} · df_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{n}) := ∑_{β∈S_{n}} sign(β)f_{0} ⊗ f_{β(1)} ⊗ ⋯ ⊗ f_{β(n)}

werde die Antisymmetrisierungs-Abbildung ε_{n} : Ω^{n}A → A^{⊗(n+1)} definiert. Umgekehrt sei μ_{n} : A^{⊗(n+1)} → Ω^{n}A definiert durch

μ_{n}(f_{0} ⊗ f_{1} ⊗ ⋯ ⊗ f_{n} := f_{0} · df_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{n} .

Man überprüft b ∘ ϵ_{n} = 0 und μ_{n−1} ∘ b = 0, so daß (ϵ, μ) zu Morphismen von Kettenkomplexen weden, wenn man auf Ω^{n}A den Randoperator ∂ = 0 nimmt. Wegen μ_{n} ∘ ϵ = n!id ist ϵ_{n} : Ω^{n}A → A^{⊗(n+1)} injektiv, nach Hochschild-Kostant-Rosenberg-Connes sogar ein Isomorphismus. Das bemerkenswerte daran ist, daß die Homologiegruppen HH_{∗}(A, A) lokal sind, d.h. nur die Diagonale von A^{⊗(n+1)} ≃ C^{∞}(X × ⋯ × X) trägt zur Homologie bei.

Nun wieder zur Definition 4.1 spektraler Tripel, wobei wir die Kommutativität der Algebra nicht fordern. Mit der Darstellung π_{D} von A^{⊗(p+1)} → L(H) im Orientierungsaxiom 4) eng verwandt ist das folgende (p + 1)-lineare Funktional auf A^{⊗(p+1)}:

ϕ_{ω}(a_{0}, a_{1}, …, a_{p}) = Tr_{ω}(γa_{0}[D, a_{1}] ⋯ [D, a_{p}]|D|^{−p}) .

Da |D|^{−p} im Dixmier-Ideal L^{1+} liegt und f_{0}, γ, [D, f_{i}] ∈ L(H) sind, ist die Dixmier-Spur für einen Zustand ω korrekt definiert. Aus der Regularität 3) folgt, daß ϕ_{ω} ein Hochschild-p-Kozykel ist, b^{∗}ϕ_{ω} = 0. Für p = 1 haben wir z.B.

(b^{∗}ϕ_{ω})(a_{0}, a_{1}, a_{2}) = ϕ_{ω}(a_{0}a_{1}, a_{2}) − ϕ_{ω}(a_{0}, a_{1}a_{2}) + ϕ_{ω}(a_{2}a_{0}, a_{1})
= Tr_{ω}(γ(a_{0}a_{1}[D, a_{2}] − a_{0}[D, a_{1}a_{2}] + a_{2}a_{0}[D, a_{1}])|D|^{−p})
= −Tr_{ω}(γ[a_{0}[D, a_{1}], a_{2}]|D|^{−p}) = −Tr_{ω}(γa_{0}[D, a_{1}][a_{2}, |D|^{−p}]) .

Analog findet man für beliebiges p einen Kommutator [a, |D|^{−p}] unter der Dixmier-Spur. Nun ist

[a, |D|^{−p}] = |D|^{−p}[|D|^{p}, a]|D|^{−p}] = ∑_{i=1}^{p} |D|^{−i}[|D|, a]|D|^{−(p+1−i)} .

Mit T = |D|^{−p} ∈ L^{s} für alle s > 1, der Regularität δa = [|D|, a] ∈ L(H) und der Hölderschen Ungleichung erhalten wir

∥|D|^{−i}[|D|, a]|D|^{−(p+1−i)}∥_{1} ≤ ∥T^{\frac{i}{p}} ∥_{\frac{2p}{2i−1}} ∥δa∥_{∞}∥T^{\frac{p+1−i}{p}} ∥_{\frac{2p}{2p−2i+1}} < ∞ ,

d.h. [a, |D|^{−p}] ist Spurklasse. Also verschwindet die Dixmier-Spur, und ϕ_{ω} ist ein Hochschild-Kozykel.

In π_{ω} treten je p Operatoren D = F |D| und |D|^{−1} auf. Es stellt sich die Frage, ob man die |D| unter Verwendung der Regularität für δ^{m}a, δ^{m}[D, a] derart hindurchkommutieren kann, daß der Kozykel nur von F abhängt. Folgende Definition ist sinnvoll:

τ_{n}^{F} (a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) := Tr(γF [F, a_{0}] ⋯ [F, a_{n}]) .

Dabei ist γ = 1 für p ungerade und γF = −F γ für p gerade. Wir zeigen, daß aus |D|^{−p} ∈ L^{1+} folgt [F, a] ∈ L^{q} für alle q > p. Nach der Hölderschen Ungleichung existiert dann die Spur in τ_{n}^{F} für n + 1 > p. Tatsächlich gilt

[F, a] = [D|D|^{−1}, a] = D|D|^{−1}[a, |D|]|D|^{−1} + [D, a]|D|^{−1} .

Die Operatoren D|D|^{−1} = F, [D, a] und [|D|, a] sind beschränkt, und |D|^{−1} ∈ L^{q} für q > p. Kommutiert man formal das F in [F, a_{0}] über die Spur-Eigenschaft und mit F [F, a] = −[F, a]F auf die andere Seite, so entsteht “2Tr(γa_{0}[F, a_{1}] ⋯ [F, a_{n}])”. Jedoch ist das Argument für n ≤ p kein Spurklasse-Operator.

Mit gewisser Vorsicht bezüglich der Existenz der Spuren zeigt die übliche Rechnung, daß τ_{F}^{p} ein Hochschild-p-Kozykel ist. Sei z.B. p = 1, dann ist γ = 1 und

(b^{∗}τ_{1}^{F})(a_{0}, a_{1}, a_{2})

= Tr(F (a_{0}[F, a_{1}][F, a_{2}] − [F, a_{0}][F, a_{1}]a_{2} + a_{2}[F, a_{0}][F, a_{1}] + [F, a_{2}]a_{0}[F, a_{1}])) .

Da mindestens zwei Kommutatoren [F, a] auftauchen, gilt Zyklizität unter der Spur. Unter Verwendung von F [F, a] = −[F, a]F findet man b^{∗}τ_{1}^{F} = 0.

Der Kozykel τ_{p}^{F} hat eine weitere wichtige Eigenschaft, er ist zyklisch:

τ_{F} (a_{0}, a_{1}, …, a_{p}) = (−1)^{p}τ_{F} (a_{p}, a_{1}, …, a_{p−1}) .

Das folgt aus γ[F, a_{p}] + (−1)^{p}[F, a_{p}]γ = 0 und F [F, a_{p}] = −[F, a_{p}]F. Der Hochschild-Operator b^{∗} bildet zyklische Koketten auf zyklische Koketten ab. Die Kohomologie des entsprechenden Kokettenkomplexes heißt die zyklische Kohomologie HC^{∗}(A), somit ist τ_{p}^{F} ein zyklischer Kozykel.

Ein nicht-triviales Theorem von Connes besagt:

Theorem 4.4 (Connes, 1987) Sei (A, H, D) ein spektrales Tripel, A nicht notwendig kommutativ, und es gelte 1) Dimension und 3) Regularität. Dann sind τ_{p}^{F} und ϕ_{ω} Hochschild-kohomolog.

Der Beweis findet sich erstmals in [23, 10.4]. Die entscheidenden Schritte sind Lemma 10.25, wo die regularisierte Spur τ_{p}^{F} mit dem Kommutator-Trick F [F, a_{0}] als Limes t → 0 einer t-abhängigen Regularisierung ψ_{t} ersetzt wird. Auf t → ψ_{t} wird ein beliebiger Zustand ω angewendet, und Proposition 10.28 stellt eine Verbindung zur Dixmier-Spur her.

Somit ist das Bild eines Hochschild-Zykels c = ∑_{α} a_{0}^{α} ⊗ a_{1}^{α} ⊗ … a_{p}^{α}, mit bc = 0, unter ϕ_{ω} unabhängig vom Zustand ω. Falls sich der Graduierungsoperator γ schreiben läßt als γ = π_{D}(c) mit bc = 0, dann ist

Tr_{ω}(|D|^{−p}) = ∑_{α} ϕ_{ω}(a_{0}^{α}, a_{1}^{α}, …, a_{p}^{α})

unabhängig von ω, d.h. |D|^{−p} ist meßbar. Ist A ∋ f kommutativ, dann ist mit c auch fc ein Hochschild-Zykel, so daß sogar ∫ − f|D|^{−p} := Tr_{ω}(f|D|^{−p}) ein von ω unabhängiges nichtkommutatives Integral definiert. Somit sichern 1), 3) und 4) in Definition 4.1, daß 5) wohldefiniert ist.

Umgekehrt liefert ϕ_{ω} einen lokalen Repräsentanten der Hochschild-Kohomologieklasse von τ_{p}^{F}. Connes und Moscovici konnten in [10] unter Zusatzannahmen einen lokalen Repräsentanten sogar für die zyklische Kohomologieklasse von τ_{p}^{F} finden.

5 Konstruktion der Karten

5.1 Charakterisierung der Algebra

Wir charakterisieren die Algebra A in Definition 4.1. Der Abschluß von A in der Norm-Topologie definiert eine unitale C^{∗}-Algebra A, und der Abschluß in der starken oder schwachen Operatortopologie definiert eine von-Neumann-Algebra A′′. Damit sind auch A und A′′ kommutativ. Nach Gelfand-Naimark ist X = Spec(A) ein kompakter Hausdorff-Raum. Wir werden später sehen, daß auch direkt X = Spec(A) gilt. Das Rekonstruktionstheorem 4.2 behauptet, daß X mit einem Atlas lokaler Karten ausgestattet ist:

Definition 5.1 Eine differenzierbare kompakte p-dimensionale Mannigfaltigkeit ist gegeben durch einen kompakten Hausdorff-Raum X zusammen mit einem System (U_{α}, s_{α}) lokaler Karten, so daß gilt:

• Die U_{α} sind offen in X und X = ⋃_{α} U_{α}.
• Die Abbildungen s_{α} : U_{α} → s_{α}(U_{α}) ⊂ ℝ^{p} sind Homöomorphismen.
• Der Kartenwechsel s_{α} ∘ s_{β}^{−1} : s_{β}(U_{α} ∩ U_{β}) → s_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) ist glatt.

Wir werden zeigen, daß der Hochschild-Zykel c in 4) Kandidaten für lokale Karten (U_{α}, s_{α}) enthält. Der Beweis, daß die s_{α} Homöomorphismen sind, unterteilt sich in mehrere Schritte. Im Schritt a) wird gezeigt, daß s_{α} stetig und offen ist. Schritt c) zeigt die Injektivität. Dazu werden Eigenschaften des gemeinsamen Spektralmaßes benötigt, das in Schritt b) als Lebesgue-Maß identifiziert wird.

Ein wichtiger Schritt im Beweis des Rekonstruktionstheorems 4.2 ist Lemma 2.1 in [15], welches die kommutative Algebra A als reguläre Elemente ihres schwachen Abschlusses A′′ ⊂ L(H) charakterisiert.

Satz 5.2 ([15, Lemma 2.1]) Für ein T ∈ A′′ sind äquivalent:

i) T ∈ A
ii) [D, T] ist beschränkt und T, [D, T] ∈ dom(δ^{m})
iii) T ∈ dom(δ^{m})
iv) T H_{∞} ⊂ H_{∞}

Beweis. i)⇒ii) ist die Regularität 3), ii)⇒iii) ist klar, und iii)⇒iv) ist die Leibniz-Regel für |D|^{m}T ξ.

iv)⇒i). Nach iv) und Kommutativität von A′′ ist T ∈ End_{A}(H_{∞}) ein Endomorphismus des endlich-erzeugten projektiven A-Moduls H_{∞} = eA^{n}. Da A unital ist, gilt T = (a_{kl}) = eT e mit (a_{kl}) ∈ M_{n}(A): Sei ξ_{k} = (0, …, 1, …, 0)^{t} ∈ A^{n} der Vektor mit 1 ∈ A in der k-ten Komponente, sonst 0, dann ist

η_{k} = eξ_{k} = ( e_{1k} ; ⋮ ; e_{nk} ) ∈ eA^{n} , e_{kl} ∈ A ,

und beliebiges ξ ∈ H_{∞} läßt sich schreiben als ξ = ∑_{k=1}^{n} η_{k}a_{k} für a_{k} ∈ A. Damit ist (η_{k}|T η_{l}) = ∑_{r,s=1}^{n} e_{kr}a_{rs}e_{sl} = a_{kl} ∈ A.

Das nichtkommutative Integral definiert durch

λ(f) := ∫− f|D|^{−p} , f ∈ C(X) = A ,

ein positives Maß λ auf X. Zu beachten ist aber, daß der zyklische Kozykel τ_{F}^{p}(fγ) nicht definiert ist, da für f ∈ A nicht regulär ist. Ist (f_{k}) Cauchy-Folge in A mit f_{k} → f in der Norm-Topologie, dann ist wegen Tr_{ω}(RS) ≤ ∥R∥Tr_{ω}(S) für R ∈ L(H) und S ∈ L^{1+} auch ∫ − f_{k}|D|^{−p} eine Cauchy-Folge in ℂ, welche λ(f) unabhängig von ω definiert.

Der Projektor e definiert durch E = eA^{n} einen endlich erzeugten projektiven A-Modul. Nach dem Serre-Swan-Theorem gibt es ein komplexes lokal-triviales Vektorbündel S →^{p} X über X, so daß E = Γ(X, S). Nach Axiom 5) gilt für das Skalarprodukt in H

⟨ξ, η⟩ = λ((ξ|η)) , ξ, η ∈ eA^{n} .

Somit ist die Vervollständigung von eA^{n} zu H gegeben durch die Vervollständigung der stetigen Funktionen bezüglich λ (absolute Stetigkeit). Also ist H = e(L^{2}(X, λ))^{n} = L^{2}(X, S, λ), und die Wirkung von f ∈ A′′ auf H wird als diagonale Multiplikation mit f ∈ L^{∞}(X, λ) identifiziert. Somit ist T = e diag(f, …, f) für ein f ∈ L^{∞}(X, λ). Andererseits war T = (a_{kl}) mit a_{kl} ∈ A, und daraus läßt sich f ∈ A zeigen:

Sei T = (a_{ij}) ∈ End_{A}(H_{∞}), mit a_{ij} ∈ A, dann definieren wir tr(T) = ∑_{k=1}^{n} a_{kk} ∈ A. Nach Serre-Swan-Konstruktion ist tr(e) ∈ A ⊂ A die stetige Funktion, deren Wert in χ ∈ X die Dimension der Faser S_{χ} = p^{−1}(χ) ist. Folglich ist χ(Tr(e)) ∈ {0, 1, …, n}. Die Dimension der Fasern ist konstant auf jeder Zusammenhangskomponente von X. Sei p_{j} = p_{j}^{2} ∈ C(X) die Projektion auf die Menge der Zusammenhangskomponenten X_{j} von X mit dim(S_{χ}) = j. Dann ist ∑_{j=0}^{n} p_{j} = 1 und tr(e) = ∑_{j=1}^{n} jp_{j} ∈ A. Tatsächlich ist p_{j} ∈ A, denn es gilt

p_{k} = ∏_{j∈\{0,...,n\}\\{k\}} \frac{tr(e) − j1}{k − j} ∈ A .

Z.B. ist für n = 2 und k = 1 mit tr(e) = p_{1} + 2p_{2} und 1 = p_{0} + p_{1} + p_{2}

\frac{(p_{1}+2p_{2}) − 0(p_{0}+p_{1}+p_{2})}{1 − 0} · \frac{(p_{1}+2p_{2}) − 2(p_{0}+p_{1}+p_{2})}{1 − 2} = (p_{1} + 2p_{2})(p_{1} + 2p_{0}) = p_{1} .

19 Wir schließen j = 0 aus: Denn p_{0} ∈ A wirkt als 0 auf lokalen Schnitte von S über X_{j} mit j > 0, und auf lokalen Schnitten über X_{0} wirkt jede stetige Funktion als 0. Nach λ-Abschluß wirkt p_{0} dann als 0 auf H, also ist p_{0} = 0 ∈ A und deshalb bereits ∑_{j=1}^{n} p_{j} = 1.

Preliminary version – 9. Februar 2009

Zurück zu T = (a_{kl}) = e diag(f, …, f) ∈ M_{n}(A), mit f ∈ A′′, dann ist

A ∋ ∑_{k=1}^{n} a_{kk} ∑_{j=1}^{n} \frac{p_{j}}{j} = ftr(e) ∑_{j=1}^{n} \frac{p_{j}}{j} = f ∑_{k=1}^{n} kp_{k} ∑_{j=1}^{n} \frac{p_{j}}{j} = f ∑_{j=1}^{n} p_{j} = f .

Damit ist f ∈ A. □

Als nächstes wird gezeigt, daß A eine Fréchet-prä-C^{∗}-Algebra ist. Für a ∈ A definiert man

ρ_{k}(f) = ( \begin{matrix}a & δ(a) & … & δ^{k}(a)/k! \\ 0 & a & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & a & δ(a) \\ 0 & … & 0 & a \end{matrix} ) .

Dann gilt ρ_{k}(ab) = ρ_{k}(a)ρ_{k}(b), so daß die (p_{k})_{k=1,2,...} mit p_{k}(a) := ∥ρ_{k}(a)∥ eine Familie von Halbnormen auf A bilden, durch welche A zu einer lokal-konvexen Algebra wird, p_{k}(ab) ≤ p_{k}(a)p_{k}(b).

Satz 5.3 Die Algebra A ist eine Fréchet-Algebra (d.h. vollständig) bezüglich der durch (p_{k}) definierten Topologie.

Beweis. Sei (a_{n})_{n∈ℕ}, mit a_{n} ∈ A, eine Cauchy-Folge bezüglich jeder Halbnorm p_{k}, insbesondere bezüglich p_{0}. Damit ist (a_{n}) norm-konvergent gegen ein T ∈ A ⊂ A′′. Wenn wir zeigen können T ∈ dom(δ^{m}) für alle m ∈ ℕ, so folgt T ∈ A nach Satz 5.2.

Der Operator δ ist abgeschlossen (Lemma 5.4), also ist T ∈ dom(δ), und δ(a_{n}) ist norm-konvergent gegen δT. Nach Induktion ist T ∈ dom(δ^{m}) mit δ^{m}T = ∥ ∥- lim_{n→∞} δ^{m}a_{n}. Also ist T ∈ A, und a_{n} konvergiert gegen T in jeder der p_{k}- Halbnormen. Somit ist A Fréchet. □

Lemma 5.4 Der unbeschränkte Operator δ auf L(H) ist abgeschlossen.

Beweis. Sei T_{n} ∈ dom(δ) mit T_{n} → T und δT_{n} → S, jeweils in der Norm-Topologie, dann ist zu zeigen T ∈ dom(δ) und δT = S. Sei ξ ∈ dom(|D|) ⊂ H, dann ist T_{n}ξ norm-konvergent gegen T ξ, und |D|T_{n}ξ = (δT_{n})ξ + T_{n}|D|ξ ist normkonvergent gegen Sξ + T |D|ξ. Da |D| abgeschlossen, ist T ξ ∈ dom(|D|), und folglich ist (δT_{n})ξ norm-konvergent gegen |D|T ξ − T |D|ξ. Also ist T ∈ dom(δ), und (δT_{n}) konvergiert in der starken Operator-Topologie gegen δT und in der Norm-Topologie gegen S. Also ist (δT − S)ξ = 0 für alle ξ ∈ dom(|D|), und schließlich δT = S. □

Satz 5.3 und Lemma 5.4 sind der Inhalt von [15, Proposition 2.2], zusammen mit der Stetigkeit der Halbnormen p′_{k}(a) := p_{k}([D, a]). Die Vollständigkeit bei Einschluß von p′_{k} ergibt sich wie zuvor, die Stetigkeit folgt dann aus dem Satz von der offenen Abbildung für id_{A} : A_{p_{k},p_{k}} → A_{p_{k}}.

Beispiel 5.5 Ist X eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand, dann ist die Algebra C^{∞}(X) der glatten Funktionen auf X eine Fréchet-Algebra mit p_{k}(f) = sup_{x∈X,|α|≤k} ∥(∂^{α}f)(x)∥. Die entsprechende Topologie ist die der gleichmäßigen Konvergenz aller Ableitungen.

Wir können nun zeigen, daß A abgeschlossen unter dem holomorphen Funktionalkalkül ist, d.h. A ist eine prä-C^{∗}-Algebra. Damit ist gemeint, daß wenn a ∈ A ⊂ A ist und f eine holomorphe Funktion in einer Umgebung des Spektrums sp(a) ist (betrachtet von der C^{∗}-Algebra A aus), daß gilt

f(a) := \frac{1}{2πi} ∮_{c} dz \frac{f(z)}{z1 − a} ∈ A

für eine sp(a) einfach umlaufende Kurve c. Wegen z ∉ sp(a) ist z1−a invertierbar in A, also (z1 − a)^{−1} ∈ A′′. Die Folge (T_{n})_{n∈ℕ} mit T_{n} := ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{z^{k+1}} a^{k} ∈ A konvergiert gegen (z1 − a)^{−1} ∈ A in der Normtopologie. Da δ abgeschlossen ist, ist auch (z1 − a)^{−1} ∈ dom(δ) und analog (z1 − a)^{−1} ∈ dom(δ^{m}) für alle m ∈ ℕ. Somit gilt (z1 − a)^{−1} ∈ A nach Satz 5.2. In Fréchet-Räumen existiert das Riemann-Integral [25]: Das Integral f(a) kann als Grenzwert Riemannscher Summen in A aufgefaßt werden. Die Summe konvergiert in A, und der Grenzwert liegt in A, da A abgeschlossen bezüglich der (p_{k}) ist. Somit ist A eine prä-C^{∗}- Algebra. Nach einem Resultat von Bost haben A und A die gleiche K-Theorie.

Nach Rennie erlaubt A einen C^{∞}-Funktionalkalkül. Das bedeutet: Ist a = a^{∗} ∈ A und f : ℝ → ℂ eine glatte Funktion mit kompaktem Träger, welcher das Spektrum sp(a) ⊂ ℝ enthält, dann ist

f(a) = \frac{1}{2π} ∫_{ℝ} ds f̂(s) exp(ias) ∈ A .

Dabei ist f̂(s) die Fourier-Transformierte und s ↦ exp(ias) eine einparametrige unitäre Gruppe.

Wir können nun zeigen (siehe [51]), daß Spec(A) = Spec(A) = X gilt. Wir hatten gezeigt: Ist a ∈ A in A invertierbar, dann ist a^{−1} ∈ A. Insbesondere hat a ∈ A ⊂ A das gleiche Spektrum in A und A. Jeder Charakter auf A definiert automatisch einen Charakter auf A, d.h. Spec(A) ⊂ Spec(A). Sei nun χ ∈ Spec(A) ein beliebiger nichtverschwindender Algebrenhomomorphismus χ : A → ℂ. Sei a ∈ A und λ ∉ sp(a), dann ist (a − λ1)b = 1 für ein b ∈ A, also (χ(a) − λ)χ(b) = 1. Damit gilt λ ∉ sp(a) ⇒ λ ≠ χ(a), also χ(a) ∈ sp(a) für beliebige χ ∈ Spec(A). Somit ist |χ(a)| ≤ r(a) ≤ ∥a∥, wobei r(a) der Spektralradius war, so daß χ wegen der Stetigkeit sich zu einem Charakter auf A fortsetzt. Also ist Spec(A) = Spec(A) = X gezeigt.

5.2 Exponentierbare Derivationen

Wir beginnen nun mit der Konstruktion der Karten für Umgebungen eines Charakters χ ∈ X = Spec(A). Es wird eine technische Voraussetzung benötigt: Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen auf der Fréchet-prä-C^{∗}-Algebra A. Der Satz von Picard-Lindelöf gilt in Fréchet-Räumen im allgemeinen nicht. Connes beweist, daß er für spezielle Derivationen, die sich aus a ↦ [D, a] ergeben, dennoch gilt. Wir werden das später kurz diskutieren. Zunächst werden wir Existenz und Eindeutigkeit einfach annehmen.

Annahme 5.6 Sei δ_{0} eine stetige ∗-Derivation auf der Fréchet-prä-C^{∗}-Algebra A. Dann gibt es eine eindeutige stetig von (t, a) ∈ ℝ × A abhängige Lösung der Differentialgleichung

∂_{t}y(t, a) = δ_{0}(y(t, a)) , y(0, a) = a .

Einige Bemerkungen. Eine ∗-Derivation δ_{0} erfüllt δ_{0}(ab) = (δ_{0}a)b + a(δ_{0}b) und δ_{0}(a^{∗}) = (δ_{0}(a))^{∗}. Differentiation in Fréchet-Räumen ist gerade nicht durch die Fréchet-Ableitung (entspricht dem totalen Differential) gegeben, sondern durch die Gâteau-Ableitung (entspricht der Richtungsableitung). Eine Abbildung y : F → G zwischen Fréchet-Ableitung ist von C^{1}-Klasse, wenn die Richtungsableitung

(Df)(x, h) := lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(f(x + ϵh) − f(x)) , x, h ∈ F ,

existiert und gemeinsam stetig in (x, h) ∈ F ×F ist. Dabei ist Stetigkeit bezüglich der (p_{k}) definiert und somit verschieden von Stetigkeit in Banach-Räumen. Siehe [25]. Damit ist Df : F ×F → G wieder eine Abbildung zwischen Fréchet-Räumen, so daß sich induktiv höhere Ableitungen (Df)(x, h_{1}, …, h_{k}) und entsprechende Differenzierbarkeitsklassen definieren lassen.

Satz 5.7 ([15, Proposition 3.2]) Unter der Annahme 5.6 gilt für a, b ∈ A und t, s ∈ ℝ und λ_{1}, λ_{2} ∈ ℂ :

i) y(t, ab) = y(t, a)y(t, b)
ii) y(t, a^{∗}) = (y(t, a))^{∗}
iii) y(t, λ_{1}a + λ_{2}b) = λ_{1}y(t, a) + λ_{2}y(t, b)
iv) y(t + s, a) = y(t, y(s, a))
v) y(t, δ_{0}(a)) = δ_{0}(y(t, a))

Außerdem ist y(t, a) eine C^{∞}-Funktion von (t, a) mit n-ter Richtungsableitung gegeben durch

(D^{n}y)(t, a; s_{1}, h_{1}; …; s_{n}, h_{n}) = y(t, s_{1} … s_{n}δ_{0}^{n}(a) + ∑_{i=1}^{n} s_{1} ⋯ s_{i−1}s_{i+1} ⋯ s_{n}δ_{0}^{n−1}(h_{i})) .

Beweis. i)-iii) folgen aus der Eindeutigkeit der Lösung der Differentialgleichung und bedeuten, daß δ_{0} über t ↦ y(t, . ) eine einparametrige Familie von Algebrenhomomorphismen induziert. Z.B. gilt in i)

∂_{t}(y(t, a)y(t, b)) = (∂_{t}(y(t, a))y(t, b) + y(t, a)(∂_{t}y(t, b))

= (δ_{0}(y(t, a))y(t, b) + y(t, a)(δ_{0}y(t, b)) = δ_{0}(y(t, a)y(t, b)) ,

y(0, ab) = ab = y(0, a)y(0, b) ,

also y(t, ab) = y(t, a)y(t, b). Analog ergibt sich iv) bezüglich ∂_{t} und Anfangswert bei t = 0. Damit betrachten wir v):

δ_{0}(y(t, a)) = ∂_{t}y(t, a) = lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(y(t + ϵ, a) − y(t, a)) = lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(y(t, y(ϵ, a)) − y(t, a))

=^{(iii)} lim_{ϵ→0} y(t, \frac{1}{ϵ}(y(ϵ, a) − a)) = y(t, ∂_{t}y(0, a)) = y(t, δ_{0}a) .

Die vorletzte Gleichheit folgt aus der Stetigkeit.

Zur letzten Aussage betrachten wir

(Dy)(t, a; s, h) := lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(y(t + ϵs, a + ϵh) − y(t, a))

=^{(iii)} lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(y(t + ϵs, a) + ϵy(t + ϵs, h) − y(t, a))

= sδ_{0}(y(t, a)) + y(t, h) =^{(iii,v)} y(t, sδ_{0}a + h) .  (*)

In zweiter Ordnung gilt

(D^{2}y)(t, a; s_{1}, h_{1}; s_{2}, h_{2})

= lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(Dy(t + ϵs_{2}, a + ϵh_{2}; s_{1}, h_{1}) − Dy(t, a; s_{1}, h_{1}))

= lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(y(t + ϵs_{2}, s_{1}δ_{0}(a + ϵh_{2}) + h_{1}) − y(t, s_{1}δa + h_{1}))

= y(t, s_{1}δ_{0}h_{2}) + lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(y(t + ϵs_{2}, s_{1}(δ_{0}a) + h_{1}) − y(t, s_{1}δa + h_{1}))

= y(t, s_{1}δ_{0}h_{2}) + s_{2}δ_{0}y(t, s_{1}(δ_{0}a) + h_{1}) ,

und schließlich

(D^{n}y)(t, a; s_{1}, h_{1}; …; s_{n}, h_{n}) = y(t, ∏_{j=1}^{n} s_{j}δ_{0}^{n}a + δ_{0}^{n−1}(∑_{i=1}^{n} h_{i} ∏_{j≠i} s_{j})) .  □

Seien nun p Derivationen δ_{1}, …, δ_{p} gegeben, für die jeweils die Annahme 5.6 zutreffe. Dann definiert jede Derivation δ_{i} eine einparametrige Gruppe F_{t}^{j} ∈ Aut(A) als eindeutige Lösung von ∂_{t}(F_{t}^{j}(a)) = δ_{j}(F_{t}^{j}(a)). Sei χ ∈ Spec(A) ein Charakter, dann ist

ℝ^{p} ∋ (t_{1}, …, t_{p}) ↦ h_{χ} := χ ∘ F_{t_{1}}^{1} ∘ ⋯ ∘ F_{t_{p}}^{p} ∈ Spec(A)

wieder ein Charakter. Z.B. ist für p = 2

F_{t_{1}}^{1}(F_{t_{2}}^{2}(ab)) = F_{t_{1}}^{1}((F_{t_{2}}^{2}(a)) · (F_{t_{2}}^{2}(b)))
= F_{t_{1}}^{1}(F_{t_{2}}^{2}(a)) · F_{t_{1}}^{1}(F_{t_{2}}^{2}(b)) .

Ist a = a^{∗}, dann ist h_{χ}(a) ∈ ℝ nach Satz 5.7.ii). Damit definiert ein p-Tupel (a^{1}, …, a^{p}) selbstadjungierter Elemente a^{k} = (a^{k})^{∗} ∈ A eine Abbildung ϕ = (ϕ^{1}, …, ϕ^{p}) : ℝ^{p} → ℝ^{p} mit

ϕ^{k}(t_{1}, …, t_{p}) := h_{χ}(a^{k}) = χ ∘ F_{t_{1}}^{1} ∘ ⋯ ∘ F_{t_{p}}^{p}(a^{k}) .

Für feste Wahl von a^{k} ist die Abbildung ℝ^{p} ∋ (t_{1}, …, t_{p}) ↦ F_{t_{1}}^{1} ∘⋯∘F_{t_{p}}^{p}(a^{k}) ∈ A glatt. Der Charakter χ : A_{sa} → ℝ ist linear und stetig, also ebenfalls glatt. Damit ist ϕ : ℝ^{p} → ℝ^{p} eine glatte Abbildung. Die Jacobi-Matrix in 0 hat die Komponenten

(∂_{j}ϕ^{k})(0) = lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(ϕ^{k}(0, …, ϵ, …, 0) − ϕ^{k}(0, …, 0))

= lim_{ϵ→0} \frac{1}{ϵ}(χ ∘ F_{ϵ}^{j}(a^{k}) − χ(a^{k})) = χ(δ_{j}a^{k})

Wenn wir die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix voraussetzen, dann liefert der Satz über implizite Funktionen:

Satz 5.8 ([15, Lemma 3.4 und 3.3]) Gegeben seien p selbstadjungierte Elemente (a^{1}, …, a^{p}) von A, ein Charakter χ ∈ Spec(A) und p Derivationen (δ_{1}, …, δ_{p}), für die die Annahme 5.6 zutrifft. Sei det χ(δ_{j}a^{k}) ≠ 0. Dann gilt:

i) Es existiert eine offene Umgebung Z ⊂ X = Spec(A) von χ und eine offene Umgebung W ⊂ ℝ^{p} von 0, so daß für beliebiges κ ∈ Z die Abbildung

W ∋ (t_{1}, …, t_{p}) ↦ ψ_{κ}(t_{1}, …, t_{p}) := ((κ ∘ F_{t_{1}}^{1} ∘ ⋯ ∘ F_{t_{p}}^{p})(a^{k}))_{k=1,...,p} ∈ ℝ^{p}

ein stetig von κ abhängiger Diffeomorphismus ist zwischen W und einer Umgebung Y_{κ} := ψ_{κ}(W) ⊂ ℝ^{p} von (κ(a^{1}), …, κ(a^{p})).

ii) Das Bild einer beliebigen offenen Umgebung U ⊂ X von χ unter U ∋ κ ↦ (κ(a^{1}), …, κ(a^{p})) ∈ ℝ^{p} enthält eine offene Umgebung von (χ(a^{1}), …, χ(a^{p})).

Beweis. i) Für festes κ ∈ X ist ℝ^{p} ∋ (t_{1}, …, t_{p}) ↦ ψ_{κ}(t_{1}, …, t_{p}) ∈ ℝ^{p} glatt, und für die Jacobi-Matrix in 0 gilt (∂_{j}ψ_{κ}^{k})(0) = κ(δ_{j}a^{k}). Seien t, x ∈ ℝ^{p}. Der Satz über implizite Funktionen führt die Bestimmung der Auflösung von F_{κ}(x, t) = x − ψ_{κ}(t) = 0 nach t zurück auf das Fixpunktproblem G_{κ}(x, t) = t mit G_{κ}(x, t) = t+((Dψ_{κ})(0))^{−1} ·(x−ψ_{κ}(t)). Dann ist die Jacobi-Matrix bezüglich der 2. Komponente gegeben durch (\frac{∂G_{κ}}{∂t})(t) = E_{p}−((Dψ_{κ})(0))^{−1}(Dψ_{κ})(t). Wegen der Stetigkeit von (Dψ_{κ})(t) in (t, κ) gibt es eine offene Umgebung Z ⊂ X = Spec(A) von χ und eine offene Umgebung W_{0} ⊂ ℝ^{p} von 0, so daß ∥(\frac{∂G_{κ}}{∂t})(t)∥ ≤ \frac{1}{2} für alle t ∈ W_{0} und κ ∈ Z. In der weiteren Konstruktion wird G_{κ}(x, . ) eine Kontraktion auf einer abgeschlossenen Kugel K ⊂ W_{0}, und zwar gleichmäßig in κ ∈ Z und x aus einer Umgebung von (κ(a^{1}), …, κ(a^{p})), und der Banachsche Fixpunktsatz liefert die Injektivität von ψ_{κ}. Nach Verkleinerung der Umgebungen beweist man, daß ψ_{κ} : W → Y_{κ} ein stetig von κ ∈ Z abhängender Diffeomorphismus ist, mit W ⊂ K ⊂ W_{0} unabhängig von κ.

ii) Die Abbildung h_{χ} : (t_{1}, …, t_{p}) ↦ χ ∘ F_{t_{1}}^{1} ∘ … F_{t_{p}}^{p} : ℝ^{n} → X ist stetig. Also ist h_{χ}^{−1}(U) ∋ 0 offen und nichtleer in ℝ^{p}, und W̃ := h_{χ}^{−1}(U) ∩ W ∋ 0 ist eine offene Umgebung von 0. Diese Umgebung wird durch ψ_{χ} diffeomorph auf eine offene Umgebung Ỹ ⊂ Y von (χ(a^{1}), …, χ(a^{p})) abgebildet. Nach Konstruktion ist Ỹ das Bild von U ∩ h_{χ}(W) unter κ ↦ (κ(a^{1}), …, κ(a^{p})) ∈ ℝ^{p}. □

Die Umgebungen W, Y ⊂ ℝ^{p} sind noch nicht die Bilder s_{α}(U_{α}) der Karten! Wir brauchen Satz 5.8.ii) später für die Offenheit der s_{α} und Satz 5.8.ii) zum Verschieben in einen generischen Punkt.

5.3 Kandidaten für lokale Karten

Wir gewinnen aus [D, a] gewisse Derivationen δ_{j}. Die Regularität 3) liefert [D, a]H_{∞} ⊂ H_{∞}, die Ordnung-Eins-Bedingung 2) damit [D, a] ∈ End_{A}(H_{∞}). Somit gilt (siehe Beweis von Satz: 5.2):

[D, a] = (a_{kl}) , a_{kl} = (η_{k}|[D, a]η_{l}) ∈ A .

Betrachte die Abbildung A ∋ a ↦ L_{kl}(a) := (η_{k}|[D, a]η_{l}) ∈ A. Wegen der Kommutativität der Algebra und der Ordnung-Eins-Bedingung sind die L_{kl} Derivationen von A:

L_{kl}(ab) = (η_{k}, [D, ab]η_{l}) = (η_{k}, [D, a]bη_{l}) + (η_{k}, a[D, b]η_{l})
= (η_{k}, [D, a]η_{l})b + (η_{k}, [D, b]η_{l})a = L_{kl}(a)b + aL_{kl}(b) .

Damit haben wir [D, a] = ∑_{k,l=1}^{n} L_{kl}(a)eϵ_{kl}e mit Matrixbasen ϵ_{kl} ∈ M_{n}(A) und eϵ_{kl}e ∈ End_{A}(H_{∞}). Unter Verwendung der Polarisationsformel

2(ξ, T η) = (ξ + η, T (ξ + η)) − (ξ, T ξ) − (η, T η)
− i{(ξ + iη, T (ξ + iη)) + i(ξ, T ξ) + i(iη, iη)}

läßt sich erreichen:

[D, a] = ∑_{j=1}^{m} δ_{j}(a)γ_{j} , δ_{j}(a) = i(ξ_{j}, [D, a]ξ_{j})

für gewisse ξ_{j} ∈ H_{∞} und γ_{j} ∈ End_{A}(H_{∞}). Die Summe ist endlich, und die δ_{j} sind ∗-Derivationen wegen (ξ, [D, a^{∗}]ξ) = −(ξ, [D, a]^{∗}ξ) = −([D, a]ξ, ξ) = −(ξ, [D, a]ξ)^{∗}.

Wir setzen diese Zerlegung für [D, a] in das Bild γ = π_{D}(c) des Hochschild-Zykels ein, wobei wir (a_{α}^{j})^{∗} = a_{α}^{j} voraussetzen können.

γ = ∑_{α} a_{α}^{0}T_{α} , T_{α} := ∑_{β∈S_{p}} ϵ(β) ∑_{j_{1},...,j_{p}=1}^{m} δ_{j_{1}}(a_{α}^{β(1)}) ⋯ δ_{j_{p}}(a_{α}^{β(p)})γ_{j_{1}} ⋯ γ_{j_{p}}

Dabei wurde die Kommutativität der δ_{j_{i}}(a_{α}^{β(i)}) ∈ A untereinander und mit γ_{j_{i}} ∈ End_{A}(H_{∞}) benutzt. Wegen der Antisymmetrisierung tragen nur paarweise verschiedene j_{i} zu T_{α} bei. Wir können deshalb die Summe ersetzen durch die Summe über alle p-elementigen Teilmengen F ⊂ {1, …, m} mit |F | = p und die Summe über alle Permutationen σ von F, welche wir (nach Umbenennung von β = β′ ∘ σ) in eine Permutation der γ_{j_{i}} überführen:

T_{α} = ∑_{β′∈S_{p}} ∑_{1≤j_{1}<j_{2}<···<j_{p}≤m} ∑_{σ∈S_{p}} ϵ(β′ ∘ σ)δ_{σ(j_{1})}(a_{α}^{β′(σ(1))}) ⋯ δ_{σ(j_{p})}(a_{α}^{β′(σ(p))})γ_{σ(j_{1})} ⋯ γ_{σ(j_{p})}

= ∑_{β′∈S_{p}} ϵ(β′) ∑_{1≤j_{1}<j_{2}<···<j_{p}≤m} δ_{j_{1}}(a_{α}^{β′(1)}) ⋯ δ_{j_{p}}(a_{α}^{β′(p)}) ∑_{σ∈S_{p}} ϵ(σ)γ_{σ(j_{1})} ⋯ γ_{σ(j_{p})}

= ∑_{1≤j_{1}<j_{2}<···<j_{p}≤m} det (δ_{j_{i}}(a_{α}^{k})) ∑_{σ∈S_{p}} ϵ(σ)γ_{σ(j_{1})} ⋯ γ_{σ(j_{p})} .

Im Schritt zur 2. Zeile wurde die Reihenfolge der δ_{i}(a_{α}^{β′(i)}) getauscht. Die Determinante ist als Leibniz-Formel zu verstehen.

Wir erinnern an die Konstruktion (bedingte Erwartungswerte)

M_{n}(A) ⊃ End_{A}(H_{∞}) ∋ T = (T_{kl}) ↦ E_{A}(T) := ∑_{l=1}^{n} \frac{p_{l}}{l} ∑_{k=1}^{n} T_{kk} ∈ A

aus Satz 5.2, mit p_{l} als Projektor auf die Menge der Zusammenhangskomponenten von X mit dim(S_{χ}) = l. Für T = e diag(f, …, f) war E_{A}(T) = f, insbesondere E_{A}(e) = 1. Wir betrachten

ρ_{α} := i^{\frac{p(p+1)}{2}} E_{A}(γT_{α}) ∈ A ⊂ A = C(X) .

Damit können wir Kandidaten für lokale Karten (U_{α}, s_{α}) definieren als

U_{α} := {χ ∈ X : ρ_{α}(χ) ≠ 0} ⊂ X
s_{α}(χ) := (χ(a_{α}^{1}), …, χ(a_{α}^{p})) ∈ ℝ^{p} ,  χ ∈ X .

Satz 5.9 Die U_{α} bilden eine offene Überdeckung von X.

Beweis. Die U_{α} sind offen als Urbild einer offenen Teilmenge von ℝ unter der stetigen reellwertigen Funktion ρ_{α}. Wegen γ^{2} = id_{H_{∞}} = e gilt

γ ∑_{α} a_{α}^{0}T_{α} = e .

Berechnung des bedingten Erwartungswertes und Verwendung von E_{A}(aT) = a E_{A}(T) für a ∈ A und T ∈ End_{A}(H_{∞}) ergibt

1 = i^{− \frac{p(p+1)}{2}} ∑_{α} a_{α}^{0}ρ_{α} .

Damit gibt es zu jedem χ ∈ X ein α mit ρ_{α}(χ) ≠ 0, also χ ∈ U_{α}. □

Satz 5.10 Für jede der Derivationen δ_{j}(a) = (ξ_{j}, [D, a]ξ_{j}) sei die Annahme 5.6 erfüllt. Dann gilt:

i) Ist χ ∈ U_{α}, dann gibt es p Derivationen δ_{1}, …, δ_{p} mit det(χ(δ_{j}a_{α}^{k})) ≠ 0.

ii) Die Abbildung s_{α} : U_{α} → ℝ^{p} ist offen und stetig.

Beweis. i) Es gilt ρ_{α}(χ) ≠ 0. Einsetzen von T_{α} ergibt

0 ≠ ∑_{1≤j_{1}<j_{2}<···<j_{p}≤m} det (δ_{j_{i}}(a_{α}^{k}))(χ) ∑_{σ∈S_{p}} ϵ(σ)E_{A}(γγ_{σ(j_{1})} ⋯ γ_{σ(j_{p})})(χ) .

Damit gibt es zumindest eine Auswahl von p Indizes 1 ≤ j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{p} ≤ m mit det (δ_{j_{i}}(a_{α}^{k}))(χ) ≠ 0.

ii) Stetigkeit der s_{α} ist klar. Sei V ⊂ U_{α} offen und χ ∈ V beliebig. Zu zeigen ist, daß s_{α}(V) eine offene Umgebung von s_{α}(χ) enthält. Nach i) gibt es Derivationen δ_{1}, …, δ_{p} mit det χ(δ_{j}a_{α}^{k}) ≠ 0. Damit sind die Voraussetzungen von Satz 5.8.ii) für das Tupel (a_{α}^{1}, …, a_{α}^{p}) erfüllt, und die dort betrachteten Abbildungen κ ↦ (κ(a_{α}^{1}), … κ(a_{α}^{1})) = s_{α}(κ) werden gerade die Kartenabbildungen. Folglich enthält das Bild der offenen Umgebung V ⊂ X von χ unter s_{α} eine offene Umgebung von s_{α}(χ). □

5.4 Verbleibende Beweisschritte

Zum vollständigen Beweis, daß s_{α} : U_{α} → s_{α}(U_{α}) ⊂ ℝ^{p} Homöomorphismen sind (erforderlich zur Rekonstruktion der Mannigfaltigkeit), fehlt somit noch:

i) Für die Derivationen δ_{j}(a) = (ξ_{j}, [D, a]ξ_{j}) gilt Annahme 5.6.

ii) s_{α} : U_{α} → ℝ^{p} ist injektiv.

Teil i) wird in [15, §5+6] bewiesen. In [15, §7+8+9+10] wird die Injektivität ii) zunächst nur “fast überall” gezeigt, genauer:

Lemma 5.11 ([15, Lemma 10.3]) Sei V ⊂ U_{α} offen mit V̄ ⊂ U_{α}. Dann existiert eine dichte offene Teilmenge Y ⊂ s_{α}(V), so daß jeder Punkt von s_{α}^{−1}(Y)∩V eine offene Umgebung N ⊂ X besitzt, so daß die Einschränkung von s_{α} auf N ein Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge des ℝ^{p} ist.

Dieses Resultat wird mit Satz 5.8.i) kombiniert: Für t = (t_{1}, …, t_{p}) induziert σ_{t} := F_{t_{1}}^{1} ∘ ⋯ ∘ F_{t_{p}}^{p} ∈ Aut(A) eine Abbildung σ_{t}^{∗} : X → X durch (σ_{t}^{∗}χ)(a) = χ(σ_{t}(a)). Dann ist t ↦ ψ_{κ}(t) = s_{α}(σ_{t}^{∗}κ) ein stetig von κ ∈ Z abhängiger Diffeomorphismus zwischen einer offenen Umgebung W ⊂ ℝ^{p} von 0 und einer offenen Umgebung Y_{κ} ⊂ ℝ^{p} von s_{α}(κ).

Ist s_{α}(χ) ∈ Y, so ist bereits alles klar. Ansonsten müssen wir χ verschieben: Jede offene Umgebung von s_{α}(χ), insbesondere das Bild von W unter ψ_{χ}, enthält einen Punkt aus Y. Also gibt es ein u_{0} ∈ W, so daß σ_{u_{0}}^{∗}χ ∈ V und s_{α}(σ_{u_{0}}^{∗}χ) ∈ Y. Dann ist κ := σ_{u_{0}}^{∗}χ ∈ s_{α}^{−1}(Y) ∩ V, und es gibt eine offene Umgebung N ⊂ X von κ, die durch s_{α} homöomorph auf eine offene Teilmenge im ℝ^{p} abgebildet wird. Somit sind (a_{α}^{1}, …, a_{α}^{p}) lokale Koordinaten in einer Umgebung von κ, und

(x^{1}, …, x^{p}) mit x^{j} := σ_{u_{0}}(a^{j}) ∈ A , x^{j} = (x^{j})^{∗} ,

sind lokale Koordinaten in einer Umgebung von χ = (σ_{u_{0}}^{−1})^{∗}κ. Da σ_{u_{0}}^{∗} ein Homöomorphismus von X ist, ist x = s_{α} ∘ σ_{u_{0}}^{∗} ein Homöomorphismus zwischen der offenen Umgebung (σ_{u_{0}}^{−1})^{∗}(N) von χ und einer offenen Teilmenge im ℝ^{p}.

Sei τ_{t} := σ_{u_{0}+t} ∘ σ_{u_{0}}^{−1}. Dann ist

χ ∘ τ_{t}(x^{j}) = χ ∘ σ_{u_{0}+t}(a_{α}^{j}) = (s_{α}(σ_{u_{0}+t}^{∗}χ))^{j} = ψ_{χ}^{j}(u_{0} + t) .

Setzen wir h : W − u_{0} → X mit h(t) := τ_{t}^{∗}χ, dann ist (x ∘ h)(t) = ψ_{χ}(u_{0} + t), d.h. x ∘ h ist Diffeomorphismus zwischen W_{1} = W − u_{0} und einer offen Teilmenge des ℝ^{p}. Wir haben 0 ∈ W_{1} und h(0) = χ. Also ist h ein Homöomorphismus zwischen einer offenen Umgebung W_{1} von 0 und einer offenen Umgebung von χ in X. □

Satz 5.12 A ist lokal gegeben als Algebra der glatten Funktionen auf einer beschränkten offenen Teilmenge des ℝ^{p}.

Beweis. Sei χ ∈ X. Dann gibt es selbstadjungierte x^{j} ∈ A, j = 1, …, p, so daß x = (x^{1}, …, x^{p}) ein Homöomorphismus zwischen einer offenen Umgebung U von χ und einer beschränkten offen Teilmenge x(U) ⊂ ℝ^{p} ist. Jeder Funktion f ∈ C_{c}^{∞}(x(U)) wird über den glatten Funktionalkalkül

f_{x} := \frac{1}{(2π)^{p}} ∫_{ℝ^{p}} dt f̂(t) exp (i ∑_{j=1}^{p} t_{j}x^{j}) ∈ A

ein Element f_{x} ∈ A zugeordnet. Ist κ ∈ U, so ist

κ(f_{x}) := \frac{1}{(2π)^{p}} ∫_{ℝ^{p}} dt f̂(t) exp (i ∑_{j=1}^{p} t_{j}x^{j}(κ)) = f(x ∘ κ)

d.h. f ∘ x : U → ℂ stimmt auf U mit f_{x} ∈ A überein. Durch Einschränkung auf eine offene Umgebung V ⊂ U, mit V̄ ⊂ U, ist C^{∞}(ℝ^{p})|_{x(V)} ⊂ A|_{V}.

Verbleibt die Umkehrung: b ∈ A ⊂ C(X) definiert über den Homöomorphismus x eine Abbildung b ∘ x^{−1} : x(V) → ℂ. Zu zeigen ist Differenzierbarkeit von b ∘ x^{−1} in y ∈ x(V). Wir können y ∈ ψ_{χ}(W) annehmen, d.h. es gibt ein t ∈ W_{1} mit y = ψ_{χ}(u_{0} + t). Da ψ_{χ} ein Diffeomorphismus zwischen W und einer offenen Umgebung on y ist, kann äquivalent die Differenzierbarkeit von b ∘ x^{−1} ∘ ψ_{χ} in u_{0} + t betrachtet werden. Es gilt

b ∘ x^{−1} ∘ ψ_{χ}(u_{0} + t) = b ∘ h(t) = b ∘ (τ_{t}^{∗}χ) = χ(τ_{t}b)

Da t ↦ τ_{t}b glatt ist für alle t ∈ ℝ^{n} und b ∈ A und χ linear ist, ist auch χ(τ_{t}b) glatt und b ∘ x^{−1} differenzierbar in ψ_{χ}(u_{0} + t). □

Somit ist b ∈ A|_{V} ⇔ b ∘ x^{−1} ∈ C^{∞}(ℝ^{p})|_{x(V)} für eine offene Umgebung V ⊂ U ⊂ X von χ. Auf dem Durchschnitt zweier Kartenumgebungen V_{1}∩V_{2} ≠ ∅ wird damit der Kartenwechsel x_{1} ∘ x_{2}^{−1} zu einer C^{∞}-Abbildung. Da X kompakt ist, genügen endlich viele Karten (V_{α}, x_{α}) zur Überdeckung, d.h. X ist differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eingeschränkt auf V_{α} ist b ∈ A eine glatte Funktion, d.h. A ⊂ C^{∞}(X). Die Umkehrung ergibt sich aus [45, Lemma 2.10], wo eine glatte Zerlegung der Eins durch 0 ≤ ψ_{α} ∈ A mit ∑_{α} ψ_{α} = 1 und supp(ψ_{α}) ∈ V_{α} bewiesen wird: Kompakte Mannigfaltigkeiten haben immer eine stetige Zerlegung ψ̃_{α} ∈ A, α = 1, …, n, der Eins, die einen Projektor p = (ψ̃_{α}ψ̃_{β})^{\frac{1}{2}} ∈ M_{n}(A) definieren. Unter Verwendung der Tatsache, daß A Fréchet-Prä-C^{∗}-Algebra ist, zeigen Rennie und Várilly, daß es eine Homotopie aus Projektoren zwischen p und einem Projektor q ∈ M_{n}(A) gibt. Aus den Diagonalelementen von q entsteht nach Anpassung des Trägers eine glatte Zerlegung ψ_{α} der Eins. Sei nun f ∈ C^{∞}(X) mit f|_{V_{α}} = b_{α}|_{V_{α}}, dann ist f = ∑_{α} b_{α}ψ_{α} ∈ A. Somit ist A = C^{∞}(X).

6 Ergänzungen

Damit ist die Skizze des Rekonstruktionsbeweises abgeschlossen. In [15] wird weiter bewiesen,

i) daß umgekehrt für eine gegebene glatte kompakte orientierte Mannigfaltigkeit ein spektrales Tripel mit den Zusatzbedingungen existiert,

ii) daß die Regularität aller Endomorphismen von H_{∞} automatisch gilt, falls die Multiplizität der Wirkung von A′′ in H gleich 2^{\frac{p}{2}} ist. Nach [23] ist X dann eine Spin^{c}-Manigfaltigkeit.

6.1 Spektrale Tripel zu gegebener Mannigfaltigkeit

In i) wählt man H = L^{2}(X, ⋀) als den Hilbert-Raum der quadratintegrablen Differentialformen. Sei g eine beliebige Riemannsche Metrik auf X. Über das äußere Differential lokal gegeben durch dξ = e^{μ} ∧ ∂_{μ}ξ, die Volumenform und den durch g implementiereten Isomorphismus zwischen Tangential- und Kotangentialraum wird der Hodge-Operator ∗ und damit das Kodifferential d^{∗} definiert. Damit sei D = d + d^{∗}. Man findet [D, f]ξ = ∑_{μ=1}^{p}(∂_{μ}f)γ^{μ} mit der Clifford-Multiplikation γ^{μ}ξ := e_{μ} ∧ ξ − i_{e_{μ}}ξ. Es gilt {γ^{μ}, γ^{ν}} = −2g^{μν}1. Mit der lokalen Volumenform γ = i^{− \frac{p(p+1)}{2}} e^{1} ∧ ⋯ ∧ e^{p} ergibt sich

∑_{σ∈S_{p}} ϵ(σ)γ^{σ(1)} ⋯ γ^{σ(p)} = p!i^{\frac{p(p+1)}{2}} (det g)^{− \frac{1}{2}} γ ,

so daß lokal folgener Hochschild-Zykel zu wählen ist:

c_{α} = \frac{1}{p!} ∑_{σ∈S_{p}} ϵ(σ)(det g)^{\frac{1}{2}} ⊗ x^{σ(1)} ⊗ … x^{σ(p)} .

Über eine Zerlegung (ψ_{α}) der Eins ergibt sich die globale Form c = ∑_{α} ψ_{α}c_{α}.

Es verbleibt der Nachweis der Regularität beliebiger T ∈ End_{A}(H_{∞}). Offenbar ist T ∈ ⋂_{m≥0} δ^{m} genau dann, wenn T ∈ ⋂_{m≥0} δ̃^{m} mit δ̃T = [⟨D⟩, T] und ⟨D⟩ = (D^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} . Unter Verwendung von

⟨D⟩ = \frac{1}{π} ∫_{0}^{∞} \frac{dλ}{\sqrt{λ}} \frac{⟨D⟩^{2}}{λ + ⟨D⟩^{2}}

gilt mit (ad D^{2})T = [D^{2}, T] die Identität

δ̃^{m}T = \frac{1}{π^{m}} ∫_{0}^{∞} ( ∏_{i=1}^{m} \frac{1}{⟨D⟩^{2} + λ_{i}} )((ad D^{2})^{m}T)( ∏_{j=1}^{m} \frac{dλ_{j} \sqrt{λ_{j}}}{⟨D⟩^{2} + λ_{j}} )

= ∑_{k=0}^{m}(−1)^{k}\binom{m}{k}\frac{1}{π^{m}} ∫_{0}^{∞} \underbrace{( ∏_{i=1}^{k} \frac{1}{⟨D⟩^{2} + λ_{i}} )((ad D^{2})^{m+k}T)⟨D⟩^{−m}}_{T_{k}(λ)} ∏_{j=1}^{m} \frac{dλ_{j} \sqrt{λ_{j}}⟨D⟩}{(⟨D⟩^{2} + λ_{j})^{2}} .

Wegen {γ^{μ}, γ^{ν}} = −2g^{μν}1 ist D^{2} ein skalarer elliptischer Operator. Ist P ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung q, dann verschwindet das Hauptsymbol von [D^{2}, P] der Ordnung q + 2. Ist T von Ordnung 0, dann ist also (ad D^{2})^{m+k}T ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung m + k und damit |T_{k}(λ)| ≤ |T_{k}(0)| ein Pseudodifferentialoperator der Ordnung −k. Das verbleibende Integral ist

∫ \frac{dλ_{j} \sqrt{λ_{j}}⟨D⟩}{(⟨D⟩^{2} + λ_{j})^{2}} = \frac{π}{2} , so daß δ̃^{m}T beschränkt ist.

6.2 Spin^{c}-Mannigfaltigkeiten

Wir diskutieren nun die Bemerkung ii), wo X eine Spin^{c}-Mannigaltigkeit wird, für den Fall gerader Dimension p.

Definition 6.1 (siehe [51, §2]) Sei (X, g) eine kompakte differenzierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit, A = C(X) und B = Γ(Cℓ(X)) die Algebra der stetigen Schnitte des Clifford-Bündels Cℓ(X) über X, erzeugt vom Kotangentialbündel T^{∗}X und der Metrik g^{−1}. Ein Clifford-Modul über X ist ein endlich erzeugter projektiver rechter A-Modul E mit hermitescher Struktur ( | ) : E ×E → A, zusammen mit einem Homomorphismus c : B → End_{A}(E), so daß (ξ|c(λ)η) = (c(λ^{∗})ξ|η) für λ ∈ B und ξ, η ∈ E. (Somit ist E ein B-A-Bimodul.)

Gibt es einen B-A-Bimodul E mit End_{A}(E) ≃ B, so heißt X eine Spin^{c}-Mannigfaltigkeit, und Isomorphieklassen solcher B-A-Bimoduln heißen Spin^{c}- Strukturen.

Die Definition überträgt sich auf Fréchet-prä-C^{∗}-Algebren. Es bietet sich an, E = H_{∞} zu nehmen. Fraglich ist dann, ob End_{A}(H_{∞}) = Γ^{∞}(Cℓ(X)) die Algebra der glatten Schnitte des Clifford-Bündels ist. Ist dim(X) = p gerade, dann haben die Fasern von Cℓ(X) die Dimension 2^{p}.

Ausgangspunkt des Beweises ist [15, Proposition 5.11]

∥ ∥- lim_{τ→∞} τ^{−1}e^{iτh}|D|e^{−iτh}ξ = |[D, h]|ξ für alle ξ ∈ dom(D) , h = h^{∗} ∈ A .

Aus der Regularität folgt dann [|[D, h]|, [D, a]]ξ = 0 und weiter [[D, h]^{2}, [D, a]]ξ = 0 für alle a ∈ A. Die Faser S_{χ} von H_{∞} über χ ∈ X ist ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum. Sei M_{χ} ⊂ End(S_{χ}) die durch [D, a]_{χ} erzeugte Unteralgebra; sie ist isomorph zu einer direkten Summe von Matrix-Algebren M_{χ} ≃ M_{k_{1}}(ℂ) ⊕ ⋯ ⊕ M_{k_{r}}(ℂ). Es gilt ([D, a][D, b] + [D, b][D, a])_{χ} ∈ Z(M_{χ}). Das Zentrum Z(M_{χ}) besteht aus Linearkombinationen von minimalen Projektoren auf die einzelnen M_{k_{i}}(ℂ). Sei e_{1} = e_{1}^{∗} = e_{1}^{2} ∈ Z(M_{χ}) ein solcher minimaler Projektor, dann ist wegen γ^{2} = 1

e_{1}γ_{χ} = ∑_{α}(e_{1}a_{0}^{α} ∑_{β∈S_{p}} ϵ(β)[D, a_{α}^{β(1)}] ⋯ [D, a_{α}^{β(p)}])_{χ} ≠ 0 .

Insbesondere sind die e_{1}[D, a_{α}^{j}]_{χ} linear unabhängig, also ist die Dimension der Algebra T_{e_{1}}^{∗}(χ) := {e_{1}[D, a]_{χ} : a ∈ A} mindestens p.

Für selbstadjungierte e_{1}[D, a]_{χ} ∈ T_{e_{1}}^{∗}(χ) definiert e_{1}[D, a]_{χ} ↦ (e_{1}[D, a]_{χ})^{2} ∈ ℝe_{1} eine nichtausgeartete quadratische Form Q : T_{e_{1}}^{∗}(χ) × T_{e_{1}}^{∗}(χ) → ℝ. Sei Cℓ_{Q} die zugehörige Clifford-Algebra von T_{e_{1}}^{∗}(χ), dann ist ihre Dimension ≥ 2^{p}. Da Cℓ_{Q} in End(e_{1}S_{χ}) als Identität dargestellt ist, muß dim(e_{1}S_{χ}) ≥ 2^{\frac{p}{2}} sein. Nach Voraussetzung ist aber dim(S_{χ}) = 2^{\frac{p}{2}} , also ist e_{1} = 1_{2^{\frac{p}{2}}} der einzige minimale Projektor, und die [D, a_{α}^{j}] bilden auf U_{α} ∋ χ eine lokale Basis von T^{∗}(χ). Damit läßt sich jeder Endomorphismus von H_{∞} schreiben als Polynom in [D, a] mit Koeffizienten aus A, ist also automatisch regulär. Schließlich ist End_{A}(H_{∞}) = B = Γ^{∞}(Cℓ_{Q}(X)).

Der Kotangentialraum T_{χ}^{∗}X hat die gleiche reelle Dimension p wie der Raum der selbstadjungierten Elemente von T_{χ}^{∗} = {[D, a]_{χ} : a ∈ A}. Die Abbildung c : (da)_{χ} ↦ i[D, a]_{χ} liefert einen Isomorphismus zwischen T_{χ}^{∗}X und T_{χ}^{∗}, und über

([D, a][D, b] + [D, b][D, a]) =: −2g^{−1}(da, db)1_{2^{\frac{p}{2}}}

wird eine Metrik auf T_{χ}^{∗}X definiert. Somit ist B isomorph zu Γ^{∞}(Cℓ(X)), und X ist eine Spin^{c}-Mannigfaltigkeit. Die detaillierte Konstruktion ist in [23, §11] gegeben. Insbesondere ergibt sich ∥c(da)∥ = sup_{χ∈X} ∥(grad a)(χ)| und damit Connes’ Abstandsformel

dist_{g}(χ, κ) = sup{|a(x) − a(y)| : a ∈ A , ∥[D, a]∥ ≤ 1} .

Weiter ist H = L^{2}(X, S) der Hilbert-Raum der quadratintegrablen Schnitte des Spinor-Bündels über X. Die Metrik g^{−1} auf T_{χ}^{∗}X definiert dann den Dirac-Operator D / zum Spin-Zusammenhang auf S. Im allgemeinen sind D / und D verschieden, sie besitzen aber das gleiche Hauptsymbol.

Teil III

Nichtkommutative Spektrale Tripel: I. Standardmodell

7 Reelle Struktur

Aus verschiedenen Gründen ist es wünschenswert, die Definition spectraler Tripel auf nichtkommutative Algebren zu verallgemeinern. Rein formal lassen sich bis auf die Ordnung-Eins-Bedingung [[D, a], b] = 0 alle Axiome ins Nichtkommutative übertragen. Die Ordnung-Eins-Bedingung und die Kommutativität waren wichtig, um a, [D, a] ∈ End_{A}(H_{∞}) als Endomorphismen des projektiven Moduls H_{∞} = eA^{n} aufzufassen. Das kann jedoch noch immer erreicht werden, wenn eA^{n} als rechter A-Modul betrachtet wird, während Endomorphismen a, [D, a] ∈ End_{A}(H_{∞}) von links wirken. Insbesondere wirkt die Algebra von links und rechts, wobei die rechte Wirkung als Linkswirkung der entgegengesetzten Algebra (A^{op}, ∗) aufgefaßt werden kann: Als Mengen ist A = A^{op}, aber die Multiplikation ist a ∗ b = ba. Setzen wir a^{o}ξ := ξa für a^{0} ∈ A^{op} und ξ ∈ eA^{n}, dann ist (a^{o} ⋆ b^{o})ξ = a^{o}(b^{o}ξ).

Ein andere (sehr wichtige) Quelle für die Bildung einer mit A kommutierenden Algebra ist die Tomita-Takesaki-Theorie für von-Neumann-Algebren. Sei M eine von-Neumann-Algebra, welche auf einem Hilbert-Raum H wirkt, und Ω ∈ H ein zyklischer (MΩ ist dicht in H) und separierender (die Abbildung M → MΩ ist injektiv) Vektor für M. Unter diesen Voraussetzungen entsteht H aus (M, Ω) durch die GNS-Konstruktion. Dann kann ein unbeschränkter Operator S auf H mit Definitionsbereich dom(S) = MΩ erklärt werden als

S(mΩ) := m^{∗}Ω , m ∈ M .

Dieser Operator ist abschließbar, und der Abschluß (wieder mit S bezeichnet) besitzt eine Polarzerlegung S = J|S|, wobei J eine anti-lineare (d.h. J(λψ) = λ̄Jψ für λ ∈ ℂ und ψ ∈ dom(S)) partielle Isometrie ist und |S| = (S^{∗}S)^{\frac{1}{2}} positiv und selbstadjungiert. Das Tomita-Takesaki-Theorem besagt:

• J ist anti-unitär (anti-linear und JJ^{∗} = J^{∗}J = 1) und implementiert die Kommutante M′ = JMJ,

• M ∋ m ↦ σ_{t}(m) := |S|^{2it}m|S|^{−2it} ∈ M definiert eine einparametrige Gruppe von Automorphismen von M (das sind die modularen Automorphismen).

Entsprechend ersetzt Connes die Kommutativität der Algebra und die Ordnung-Eins durch [8]:

Definition 7.1 Ein spektrales Tripel (A, H, D) mit A nicht notwendig kommutativ erfüllt die nichtkommutative Ordnung-Eins-Bedingung, wenn es einen anti-unitären Operator J auf H gibt, so daß [a, JbJ^{−1}] = 0 und [[D, a], JbJ^{−1}] = 0 für alle a, b ∈ H.

Sinnvollerweise stellt man Kompatibilitätsforderungen von J mit D und γ:

Definition 7.2 Der anti-unitäre Operator J auf H definiert eine reelle Struktur der KO-Dimension k ∈ ℤ/8 auf dem spektralen Tripel (A, H, D), wenn

J^{2} = ϵ ,  JD = ϵ′DJ ,  Jγ = ϵ′′γJ für metrische Dimension p gerade ,

wobei die Vorzeichen ϵ, ϵ′, ϵ′′ = ±1 als Funktion von k mod 8 gegeben sind durch

k 0 1 2 3 4 5 6 7
ε 1 1 −1 −1 −1 −1 1 1
ε′ 1 −1 1 1 1 −1 1 1
ε′′ 1  −1  1  −1

Durch L(H) ∋ T ↦ T̄ = JT J^{∗} ∈ L(H) wird eine reelle Struktur auf L(H) definiert. Es gilt ¯ T̄ = T, \overline{T^{∗}} = (T̄)^{∗} und \overline{T_{1}T_{2}} = T̄_{1}T̄_{2}. Ist (A, H, D) ein kommutatives spektrales Tripel zu einer Spin^{c}-Mannigfaltigkeit X, dann definiert J eine reelle Struktur auf dem Clifford-Bündel über X. Die entsprechenden reellen Clifford-Algebren sind periodisch modulo 8 und definieren eine Spin-Struktur auf X. Diese Strukturen übertragen sich in die reelle K-Theorie (KR-Theorie, KO-Theorie). Die Bott-Periodizität ist dann modulo 8. Eine gute Referenz ist R. Meyer [40].

8 Matrix-Beispiele

Der einfachste Realisierung nichtkommutativer spektraler Tripel ist durch Matrizen für (A, H, D, J). Nimmt man als KO-Dimension die metrische Dimension k = 0 an, dann wurden die möglichen Realisierungen durch Paschke-Sitarz [42] und Krajewski [32] klassifiziert. Man kann das Tensorprodukt aus einem solchen 0-dimensionalen spektralen Tripel und einem kommutativen spektralen Tripel für eine Spin-Mannigfaltigkeit X bilden. Die dann auftretenden matrixwertigen Funktionen können mit physikalischen Modellen in Verbindung gebracht werden. Insbesondere läßt sich das Standardmodell der Teilchenphysik, welches im Einklang mit allen experimentellen Daten ist, auf diese Weise erhalten. Solche physikalischen Modell werden durch ein Wirkungsfunktional S[A] = ∫_{X} dxL[A(x)] beschrieben, wobei die matrixwertigen Funktionen A mit physikalischen Teilchen identifiziert werden. In der klassischen Feldtheorie wird A(x) als Lösung der Euler-Lagrange-Gleichungen zum Variationsprinzip S[A] = stationär erhalten. In der Quantenfeldtheorie werden auch Fluktuationen um diese klassischen Lösungen zugelassen.

Ein Modell der Teilchenphysik ist gegeben durch eine Wahl von A und eine Wahl des Wirkungsfunktionals. Im Standardmodell gibt es folgende Arten von Teilchen: i) eine SU(3) × SU(2) × U(1)-wertige 1-Form A (Eichbosonen),

ii) eine ℂ^{2}-wertige Funktion ϕ (Higgs-Boson),

iii) eine ℂ^{96}-wertige L^{2}-Funktion ψ (Fermionen).

Das Higgs-Boson spielt eine zentrale Rolle im Stadardmodell: Es erlaubt massive SU(2)-Eichbosonen (im Einklang mit dem Experiment), ohne die Eichsymmetrie zu verlieren. Das ist eine Wirkung der Gruppe (SU(3) × SU(2) × U(1)) ⊗ C^{∞}(X) auf den Funktionen A, ϕ, ψ derart, daß das Wirkungsfunktional S[A, ϕ, ψ] invariant bleibt. Als Zweipunktfunktion (für eine Funktion A_{i}) bezeichnet man den Operator Z_{i} = \frac{δ^{2}S}{δA_{i}δA_{i}} |_{A=0} (Ableitung in Fréchet-Räumen). Dieser Operator ist positiv, hat also reelles Spektrum. Die Zahl m_{i}^{2} = inf{λ ∈ sp(Z_{i})) heißt die Masse von A_{i}. Es läßt sich zeigen, daß für eine reine Eichtheorie S[a, ψ] stets m_{i} = 0 gilt. Erst das Higgs-Potential L[ϕ] = λ(|ϕ|^{2} − μ^{2})^{2} gibt über die klassische Lösung ϕ = μ den Teilchen eine Masse proportional zu μ. Die Einführung des Higgs-Potentials in traditionellen Formulierungen des Stadardmodells ist sehr mühsam. In der nichtkommutativen Geometrie entsteht es automatisch als Teil von S[A_{nc}], wobei A_{nc} sowohl A als auch ϕ beinhaltet. Traditionell ist A eine Zusammenhangsform (in der Physik: Eichpotential), das ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf X, welche den Paralleltransport in einem Hauptfaserbündel beschreibt. Die zugehörige Krümmungsform ist F = dA + A ∧ A und das Wirkungsfunktional S[A] = ∫_{X} dx F ∧ ⋆F (wobei ∗ der Hodge-Operator ist). In der NCG ist A_{nc} wieder eine 1-Form in einer nichtkommutativen Differentialalgebra (Ω, d), und ∧ wird durch das Produkt in Ω ersetzt.

8.1 Das 2-Punkt-Modell

Wir motivieren das Higgs-Potential für das einfachste nichtkommutative spektrale Tripel auf dem Hilbert-Raum H = ℂ^{2}. Die Algebra A = ℂ ⊕ ℂ bleibt kommutativ; sie wirkt als diagonale 2 × 2-Matrix auf ℂ^{2}:

(f, g) ( \begin{matrix}ξ_{1} \\ ξ_{2} \end{matrix} ) := ( \begin{matrix}fξ_{1} \\ gξ_{2} \end{matrix} ) , (f, g) ∈ A = ℂ ⊕ ℂ .

Der Differentialkalkül wird nichtkommutativ durch die Wahl

D = ( \begin{matrix}0 & M \\ M̄ & 0 \end{matrix} ) , M ∈ ℂ .

Der Raum Ω^{1} der 1-Formen wird aufgespannt durch a[D, b] mit a, b ∈ A. Man findet

Ω^{1} ∋ ω = ( \begin{matrix}0 & fM \\ gM̄ & 0 \end{matrix} ) , f, g ∈ ℂ .

Zulässig als Zusammenhangsform sind selbstadjungierte 1-Formen A =

( \begin{matrix}0 & ϕM \\ \overline{ϕM} & 0 \end{matrix} ). Das Differential ist in diesem Fall als graduierter Kommutator

(also Antikommutator für eine 1-Form) mit D gegeben:

dA = \{D, A\} = ( \begin{matrix}|M|^{2}(ϕ + ϕ̄) & 0 \\ 0 & |M|^{2}(ϕ + ϕ̄) \end{matrix} ) ,

und die Krümmungsform ist

F = dA + A^{2} = ( \begin{matrix}|M|^{2}(ϕ + ϕ̄ + |ϕ|^{2}) & 0 \\ 0 & |M|^{2}(ϕ + ϕ̄ + |ϕ|^{2}) \end{matrix} ) .

Das Wirkungsfunktional ist

S[A] = tr(F^{2}) = 2|M|^{4}(|ϕ + 1|^{2} − 1)^{2} .

Nach Umbezeichnung ϕ + 1 = \frac{1}{μ}φ ist S[A] = λ(|φ|^{2} − μ^{2})^{2}, mit λ = \frac{2|M|^{4}}{μ^{4}} , exakt das Higgs-Potential.

8.2 Historische Versionen der nichtkommutativen Formulierung des Standardmodells

i) Die erste Formulierung eines Higgs-Potentials durch einen auf Derivationen basierenden nichtkommutativen Differentialkalkül ist in [16] zu finden. Die Entwicklung führte insbesondere zur “fuzzy sphere” [38].

ii) Das spektrale Tripel (noch K-Zykel genannt) auf ℂ^{2} erschien erstmals in [4]. Es wurde von Connes und Lott in [5, 6] zu einer kompletten Formulierung des Standardmodells ausgebaut und in Connes’ Buch [7] in Beziehung zu nichtkommutativen Mannigfaltigkeiten gesetzt. Dabei spielt die Poincaré-Dualität eine große Rolle. Interessanterweise gibt es bereits ein J in [7], die Bedeutung wurde aber erst ein Jahr später erkannt. Die physikalischen Konsequenzen sind in einer Reihe von Artikeln von Daniel Kastler [28, 29, 30] aufbereitet.

Die geometrische Struktur ist ein K-Zykel (H, D, γ) über (A, B), d.h. es gibt kommutierende Darstellungen von

A_{F} = ℂ ⊕ ℍ , B_{F} = ℂ ⊕ M_{3}(ℂ)

(nur Matrix-Anteil geschrieben) im Hilbert-Raum H = ℂ^{90}. Die Fundamentalklasse [(H, D, γ)] ∈ KK(A ⊗ B, ℂ) in KK-Theorie soll dann einen Isomorphismus zwischen K_{∗}(A) (K-Theorie von A) und K^{∗}(B) (K-Homologie von B) implementieren (Poincaré-Dualität).

Ein technisches Problem ist die Definition des Differentials:

• Es kann nicht mehr der Antikommutator mit D benutzt werden, da D^{2} nicht mehr mit der Algebra kommutiert und somit die Leibniz-Regel verletzt wäre.

• Eine Definition dω := ∑[D, a_{i}][D, b_{i}] für ω = ∑ a_{i}[D, b_{i}] wäre abhängig von der Darstellung von ω

Man muß also das Ideal J = {∑[D, a_{i}][D, b_{i}] : ∑ a_{i}[D, b_{i}] = 0} (den Junk) herausfaktorisieren. Die Gruppe der unitären Elemente von A ⊗ B ist U = U(1) × SU(2) × U(1) × U(3), welches gegenüber dem Standardmodell zwei U(1)-Gruppen zu viel enthält. Sie werden per Hand durch eine Unimodularitätsbedingung beseitigt. Die sogenannte bosonische Wirkung ist dann ∫ − tr(F^{2})|D|^{−p}, wobei F = dA + A^{2} mod J die Krümmungs-2-Form zur Zusammenhangs-1-Form A ist. Fermionen werden als Elemente des Hilbert-Raums ψ ∈ H angesehen, mit Wirkungsfunktional S = ⟨ψ, (D + A)ψ⟩. Durch Vergleich mit dem Experiment ergeben sich die 90 Kopien von L^{2}(X, S) (rechtshändige Neutrinos sind durch Poincaré-Dualität ausgeschlossen).

iii) Die reelle Struktur erscheint in [8], und ihre Beziehung zu Atiyahs KR-Theorie wird diskutiert. Es wird erstmals von “spektralen Tripeln” gesprochen. Es gibt nur noch eine Algebra A, ihre Kommutante ist JAJ und Poincaré-Dualität wird zu einem Isomorphismus zwischen K_{∗}(A) und K^{∗}(A), vermittelt durch das cup-Produkt mit μ ∈ KR(A ⊗ A^{op}). Nichtkommutative Beispiele sind der nichtkommutative Torus sowie das Standardmodell.

Der sogenannte fermionische Teil der Wirkung ist nicht mehr ⟨ψ, (D + A)ψ⟩, sondern, um Invarianz unter ψ ↦ Jψ zu erreichen, ⟨ψ, (D + A + JAJ^{∗})ψ⟩. Dadurch ist es möglich, die Matrix-Algebra auf A = ℂ ⊕ ℍ ⊕ M_{3}(ℂ) zu reduzieren. Es gibt also nur noch eine überzählige (1)-Gruppe. Die Symmetriegruppe U(A) wirkt nun über die adjungierte Darstellung (u, ψ) ↦ uJuJ^{∗}ψ auf H.

iv) In [9] erscheint die komplette Liste von Axiomen für spektrale Tripel. Das Rekonstruktionstheorem in der schwachen Formulierung, welche A = C^{∞}(X) voraussetzt, wird skizziert. Eine wichtige Rolle spielt die Rekonstruktion der Metrik über das Einstein-Hilbert-Wirkungsfunktional (berechnet von Kalau-Walze [27]). Die Konstruktion D + A + JAJ^{∗} wird als innere Fluktuation der durch D induzierten Metrik verstanden: Durch (αf)(x) = f(ϕ^{−1}(x)) wird eine Korrespondenz zwischen Diffeomorphismen ϕ von X und Automorphismen α von A = C^{∞}(X) hergestellt. Nichtkommutative Algebren haben innere Automorphismen a ↦ uau^{∗} mit u ∈ U(A). Entsprechend werden innere Automorphismen als Diffeomorphismen einer nichtkommutativen Mannigfaltigkeit angesehen, und die gravitative Einstein-Hilbert-Wirkung, berechnet für nichtkommutative spektrale Tripel, sollte ein gemeinsames Wirkungsfunktional von Gravitation und Standardmodell liefern.

v) Dieser universellen Wirkung liegt das Spektralwirkungsprinzip von Connes und Chamseddine [1] zugrunde: Die bosonische Wirkung ist eine alleinige Funktion des Spektrums des fluktuierten Dirac-Operators D_{A} = D + A + JAJ^{∗} , d.h. S = Tr(χ(D^{2})).

Nach Laplace-Transformation entsteht

S = ∫_{0}^{∞} dt χ̂(t)Tr(e^{−tD_{A}^{2}}) .

Für den verallgemeinerten Laplace-Operator hat die Spur des Wärmeoperators eine asymptotische Entwicklung

Tr(e^{−tD^{2}}) = ∑_{k=− \frac{d}{2}}^{∞} t^{k}a_{k}(D_{A}^{2}) ,

wobei d die Dimension von X ist und a_{k}(D_{A}^{2}) die Seeley-Koeffizienten sind. Die führenden Beiträge sind bekannt [21]. Aus technischer Sicht ist wichtig, daß die Berechnung der Seeley-Koeffizienten nur die Kenntnis der 1-Formen A benötigt und nicht die Krümmung. Die komplizierte Berechnung des Junks entfällt.

Realisierungen von spektralen Tripeln durch Matrizen wurden von Paschke-Sitarz [42] und Krajewski [32] klassifiziert.

vi) Die Unimodularitätsbedingung wurde in [37] beseitigt und ersetzt durch zentrale Erweiterung von Lifts der Gruppe U(A) in Aut_{A}(H). Eine ausführliche Darstellung ist in [47] zu finden.

vii) Der letzte Schritt war eine Realiesierung des Standardmodells in KO-Dimension 6 in [14]. Dadurch sind rechtshändige Neutrinos erlaubt, ohne die Poincaré-Dualität zu verletzen. Des weiteren ist eine Majorana-Masse für die rechtshändigen Neutrinos möglich, welche über den seesaw-Mechanismus den linkshändigen Neutrinos eine extrem kleine Masse gibt, im Einklang mit dem Experiment. In [3] wurde gezeigt, daß die Matrix-Algebra des Standardmodells die minimalste Lösung ist. Die ausführliche Berechnung der Spektralwirkung ist in [2] zu finden. Die Masse des Higgs-Teilchens wird zu m_{H} = 170 GeV vorhergesagt.

9 Matrixwertige spektrale Tripel in KO-Dimension 6

Gesucht werden Realisierungen von (A, H, D, J) durch Räume von Matrizen, so daß

J^{2} = 1 , JD = DJ , Jγ = −γJ , [a, JbJ] = 0 , [[D, a], JbJ] = 0 ,
γ = γ^{∗} , γ^{2} = 1 , Dγ = −γD ,

für a, b, ∈ A. Wir folgen [3].

9.1 Klassifikation von (A, H, J)

Wir starten von einer noch sehr allgemeinen Algebra A, die erst im weiteren Verlauf auf die eigentlich interessante Unteralgebra A_{F} eingeschränkt wird. Gefordert werden:

i) Es gibt ein ξ ∈ H, so daß A ∋ a → aξ ∈ H injektiv ist, d.h. die A-Wirkung hat einen separierenden Vektor ξ ∈ H.

ii) Es gibt keinen nicht-trivialen Projektor in L(H), der mit A und J kommutiert, d.h. (A, H, J) ist irreduzibel.

Lemma 9.1 i) Es sei e ≠ 1 ein Projektor in ZA. Dann gilt eJeJ^{−1} = 0.

ii) Es seien e_{1}, e_{2} Projektoren in ZA mit e_{1}e_{2} = 0. Dann gilt e_{1}Je_{2}J^{−1} +

e_{2}Je_{1}J^{−1} ∈ {0, 1}.

Beweis. i) Zunächst ist eJeJ^{−1} wieder ein Projektor, denn

(eJeJ^{−1})(eJeJ^{−1}) =^{(1)} ee(JeJ^{−1})(JeJ^{−1}) = eJeJ^{−1}

und (eJeJ^{−1})^{∗} = (eJeJ^{∗})^{∗} = JeJ^{∗}e =^{(1)} eJeJ^{−1}. Dabei ist =^{(1)} die Kommutanten-Bedingung. Dieser Projektor kommutiert mit A (Kommutante und e ∈ Z(A)) und J:

J(eJeJ^{−1}) =^{(2)} (JeJ^{−1})eJ^{−1} =^{(1)} e(JeJ^{−1})J^{−1} =^{(2)} (eJeJ^{−1})J ,

wobei J = J^{−1} in =^{(2)} benutzt wurde (würde auch mit J^{2} = −1 funktionieren). Wegen der Irreduzibilität ist eJeJ^{−1} = 0, denn H = eJeJ^{−1}H ⊂ eH ist durch e ≠ 1 ausgeschlossen.

ii) Analog zu i) zeigt man, daß e_{1}Je_{2}J^{−1} + e_{2}Je_{1}J^{−1} ein Projektor ist (wegen e_{1}e_{2} = 0), der mit J und A kommutiert. Wegen der Irreduzibilität ist dieser gleich 0 oder 1. □

Satz 9.2 Es sei A_{ℂ} die Komplexifizierung von A. Dann ist eine der folgenden Eigenschaften realisiert:

• Z(A_{ℂ}) = ℂ1.

• Z(A_{ℂ}) = ℂe_{1} ⊕ ℂe_{2} und e_{1} = Je_{2}J^{−1} für die minimalen Projektionen

e_{1}, e_{2}.

Beweis. Angenommen, das Zentrum wäre nicht ℂ. Dann gibt es minimale paarweise orthogonale Projektoren e_{1}, …, e_{n} mit ∑_{j=1}^{n} e_{j} = 1. Nach Lemma 9.1.i) gilt 1 = 1J1J^{−1} = ∑_{i≠j} e_{i}Je_{j}J^{−1}. Nach Lemma 9.1.i) gibt es genau ein Paar (1,2) von Indizes mit e_{1}Je_{2}J^{−1} + e_{2}Je_{1}J^{−1} = 1 und e_{i}Je_{j}J^{−1} + e_{j}Je_{i}J^{−1} = 0 für alle anderen Paare. Damit gilt für jedes i ≠ 1, 2

e_{i} = e_{i}e_{i}J ∑_{k=1}^{n} e_{k}J^{−1} = e_{i} ∑_{k=1}^{n} e_{i}Je_{k}J^{−1} = e_{i} ∑_{k≠i} e_{i}Je_{k}J^{−1} = −e_{i} ∑_{k≠i} e_{k}Je_{i}J^{−1} = 0 .

Folglich ist e_{1} + e_{2} = 1 und Je_{1}J^{−1} = e_{2} und Je_{2}J^{−1} = e_{1}. □

Wir zeigen nun, daß der Fall Z(A_{ℂ}) in KO-Dimension 6 ausgeschlossen ist:

Satz 9.3 Es sei Z(A_{ℂ}) = ℂ1 und γ eine ℤ_{2}-Graduierung mit γAγ^{−1} = A. Dann gilt γJ = Jγ.

Beweis. Aus Z(A_{ℂ}) = ℂ1 folgt für Matrizen A_{ℂ} = M_{k}(ℂ) für ein k ∈ ℕ und dann A_{ℂ} ⊗ A_{ℂ}^{o} ≃ M_{k^{2}}(ℂ) mit A_{ℂ}^{o} = JA_{ℂ}J^{−1}. Connes und Chamseddine zeigen, daß aus der Irreduzibilität folgt:

• dim(H) = k^{2}

• Die Wirkung von A_{ℂ} auf H ist als Linksmultiplikation auf sich selbst gegeben.

• In der Darstellung H = M_{k}(ℂ) ist J(x) = x^{∗}.

Sei δ ∈ Aut(A_{ℂ}) gegeben durch δ(a) = γaγ^{−1}, mit δ^{2} = 1. Es sei A_{ℂ}^{o} = JA_{ℂ}J^{−1}. Wegen γJ = ±Jγ ist mit b^{o} = Jb^{∗}J^{−1} ∈ A_{ℂ}^{o} auch δ^{o}(b^{o}) = γb^{o}γ^{−1} ∈ A_{ℂ}^{o}, d.h. δ^{o} ∈ Aut(A_{ℂ}^{o}). Sämtliche Automorphismen von M_{k}(ℂ) sind innere Automorphismen, also gibt es unitäre Matrizen u, v ∈ U(n), so daß δ(a) = uau^{∗} und δ^{o}(a^{o}) = Jva^{∗}v^{∗}J^{−1}. Somit gilt für x ∈ H = M_{k}(ℂ) die Darstellung γ(x) = uxv^{∗}, im Einklang mit γ(ax) = (uau^{∗})(uxv^{∗}) = δ(a)γ(x) und γ(a^{o}x) = γ(Ja^{∗}J^{−1}x) = (uxv^{∗})(vav^{∗}) = δ^{o}(a^{o})γ(x). Zusammen mit Jx = x^{∗} folgt

JγJ^{−1}(x) = (ux^{∗}v^{∗})^{∗} = vxu^{∗}

In KO-Dimension 6 ist JγJ^{−1} = −γ, also vxu^{∗} = −uxv^{∗} oder zxz = −x für z = u^{∗}v. Das ergibt z^{2} = −1 und zx = xz für alle x ∈ M_{k}(ℂ). Somit ist z = ±i, also u = ±iv und γ(x) = ∓iuxu^{∗}. Das ergibt

x = γ^{2}(x) = −u^{2}x(u^{∗})^{2} ,

ein Widerspruch für x = 1. □

Sei also Z(A_{ℂ}) = ℂe_{1} ⊕ ℂe_{2}, d.h. A_{ℂ} = M_{k_{1}}(ℂ) ⊕ M_{k_{2}}(ℂ) für k_{1}, k_{2} ∈ ℕ. Der Hilbert-Raum zerlegt sich in H = H_{1} ⊕ H_{2} mit H_{i} = e_{i}H. Aus e_{2} = Je_{1}J^{−1} folgt JH_{1} = H_{2} und JH_{2} = H_{1}, und aus der Irreduzibilität dann H_{1} ≃ M(k_{1}×k_{2}, ℂ) ∋ x und H_{2} ≃ M(k_{2} × k_{1}, ℂ) ∋ y sowie J(x, y) = (y^{∗}, x^{∗}). Somit ist dim(A_{ℂ}) = k_{1}^{2} +k_{2}^{2} und dim(H) = 2k_{1}k_{2}. Aus der Separiertheitsbedingung A_{ℂ} ∋ a ↦ aξ ∈ H injektiv ergibt sich dim(H) ≥ dim(A_{ℂ}), also k_{1} = k_{2} = k.

Jetzt kommt Information aus der Teilchenphysik ins Spiel: Gefordert wird, daß H_{1} ein rechter ℍ-Modul ist mit nichttrivialer ℤ_{2}-Gradiuerung γ_{1}. Die minimalste Realisierung ist dann

A = M_{2}(ℍ) ⊕ M_{4}(ℂ) .

Letztendlich bleibt A eine physikalisch motivierte Wahl. Dann ist, bis auf Isomorphismen, die einzige Wahl für γ, J mit γJ = −Jγ gegeben durch

J\binom{x}{y} = \binom{y^{∗}}{x^{∗}} , γ = (γ_{1}, 0) − J(γ_{1}, 0)J^{−1} ∈ AA^{op} , γ\binom{x}{y} = \binom{γ_{1}x}{−yγ_{1}} ,

mit γ_{1} = diag(1_{2}, −1_{2}) ∈ M_{2}(ℍ). Damit ist der gerade Anteil A^{ev} von A (der mit γ kommutiert) gegeben durch

A^{ev} = (ℍ ⊕ ℍ) ⊕ M_{4}(ℂ) .

9.2 Ordnung-Eins

Gesucht wird eine Unteralgebra A_{F} ⊂ A^{ev} maximaler Dimension, so daß die Ordnung-Eins-Bedingung einen “verbindenden” Operator D für die nichtzusammenhängende Algebra A_{F} erlaubt, [D, Z(A)] ≠ 0. Wir zeigen, daß es dazu notwendig ist, daß es eine gemeinsame Darstellung (von ℂ) in beiden Zusammenhangskomponenten geben muß.

Für a ∈ A_{F} sei π_{i}(a) = e_{i}ae_{i}, i = 1, 2. Die Darstellungen π_{i} heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsamen Unterdarstellungen besitzten. Es sei T ∈ End(H) mit [T, a] = 0 für alle a ∈ A_{F}. Dann ist [e_{1}T e_{2}, a] = 0, also e_{1}T e_{2}π_{2}(a) = π_{1}(a)e_{1}T e_{2} für alle a ∈ A. Zerlegt man auch e_{1}T e_{2} nach Darstellungen von A_{F} und sind π_{1}, π_{2} disjunkt, dann kann es kein nichttriviales e_{1}T e_{2} und analog kein nichttriviales e_{2}T e_{1} geben, also

[T, a] = 0 ∀ a ∈ A_{F} ⇒ e_{1}T e_{2} = 0 , e_{2}T e_{1} = 0 .

Sei nun [T, Jb^{∗}J^{−1}] = 0 oder äquivalent [J^{−1}T J, b^{∗}] = 0 für alle b ∈ A_{F}, dann ist für disjunkte Darstellungen π_{1}, π_{2} somit e_{1}J^{−1}T Je_{2} = Je_{2}T e_{1}J^{−1} = 0 und e_{2}J^{−1}T Je_{1} = Je_{1}T e_{2}J^{−1} = 0, also

[T, a^{o}] = 0 ∀ a ∈ A_{F} ⇒ e_{1}T e_{2} = 0 , e_{2}T e_{1} = 0 .

Das wenden wir auf die Ordnung-Eins-Bedingung [[D, a], b^{o}] = 0 für alle a, b ∈ A_{F} an. Es folgt e_{1}[D, a]e_{2} = 0 und e_{2}[D, a]e_{1} = 0 und schließlich e_{1}De_{2} = 0 und e_{2}De_{1} = 0. Folglich kann es für disjunkte Darstellungen π_{1}, π_{2} von A_{F} keinen verbindenden Operator D geben.

Sind π_{1}, π_{2} nicht disjunkt, dann gibt es ein T : H_{1} → H_{2} derart, daß die involutive Unteralgebra von A^{ev} gegeben durch

A(T) = {b ∈ A^{ev} : π_{2}(b)T = T π_{1}(b) , π_{2}(b^{∗})T = T π_{1}(b^{∗})}

von Null verschieden ist. Dann erfüllt T + T^{∗} die Ordnung-Eins-Bedingung für jede Unteralgebra A_{F} ⊂ A(T).

Es sei (q_{1}, q_{2}, m) ∈ A^{ev} = ℍ ⊕ ℍ ⊕ M_{4}(ℂ) und (das Weglassen von q_{2} wieder physikalisch begründet)

T π_{1}(q_{1}, q_{2}, m) = T q_{1} , π_{2}(q_{1}, q_{2}, m)T = mT .

Ist T : ℂ^{2} → ℂ^{4} gegeben, dann ist

A(T) = ℍ⊕C(T) , C(T) = {(q_{1}, m) ∈ ℍ⊕M_{4}(ℂ) : mT = T q_{1} , m^{∗}T = T q_{1}^{∗}} .

• Sei zunächst rang(T) = 2, d.h. T ℂ^{4} ist ein zweidimensionaler Untervektorraum. Dann ist nach Zerlegung von m ∈ M_{4}(ℂ in vier 2×2-Blöcke entsprechend Bild und Komplement die Lösungsmatrix mT = T q_{1} , m^{∗}T = T q_{1}^{∗} blockdiagonal, und der Bild-Bild-Block ist durch q_{1} bestimmt. Somit ist C(T) ⊂ H ⊕ M_{2}(ℂ) mit reeller Dimension dim(C(T)) ≤ 12.

• Sei rang(T) = 1. Nach Wahl kanonischer Basen für die eindimensionalen Unterräume (ker T)^{⊥} ⊂ ℂ^{2} und imT ⊂ ℂ^{4} wird bis auf unitäre Äquivalenz und Skalierung von T erhalten:

T ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ⇒ C(T) = ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ̄ \end{matrix} )⊕( \begin{matrix}λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ 0 & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ 0 & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix} ) ,

für λ, m_{ij} ∈ ℂ. Also ist C(T) ≃ ℂ ⊕ M_{3}(ℂ) mit reeller Dimension dim(C(T)) = 20 eine größere Unteralgebra als für rang(T) = 2.

Werden Beiträge von T q_{2} zugelassen, also rang(T) ∈ {3, 4}, dann sollte die Dimension von A(T) nochmals kleiner werden. Somit ist gezeigt:

Satz 9.4 Bis auf Automorphismen von A^{ev} existiert genau eine involutive Unteragebra A_{F} ⊂ A^{ev} maximaler Dimension, welche unter Ordnung-Eins-Bedingung einen nichtdiagonalen Operator D erlaubt. Diese Algebra ist die Matrix-Algebra Standardmodells und gegeben durch

A_{F} = ℍ ⊕ ℂ ⊕ M_{3}(ℂ) ∋ ( \begin{matrix}λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ̄ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & α & β \\ 0 & 0 & −β̄ & ᾱ \end{matrix} ) ⊕ ( \begin{matrix}λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ 0 & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ 0 & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix} )

∈ M_{2}(ℍ) ⊕ M_{4}(ℂ) .  □

Der Hilbert-Raum H = M_{4}(ℂ) ⊕ M_{4}(ℂ) wird üblicherweise durch Elementarteilchen parametrisiert:

H ∋ ( \begin{matrix}ν_{R} & u_{Rr} & u_{Rb} & u_{Rg} \\ e_{R} & d_{Rr} & d_{Rb} & d_{Rg} \\ ν_{L} & u_{Lr} & u_{Lb} & u_{Lg} \\ e_{L} & d_{Lr} & d_{Lb} & d_{Lg} \\ \begin{matrix}ν_{R}^{c} & e_{R}^{c} \\ u_{Rr}^{c} & d_{Rr}^{c} \\ u_{Rb}^{c} & d_{Rb}^{c} \\ u_{Rg}^{c} & d_{Rg}^{c} \end{matrix} & \begin{matrix}ν_{L}^{c} & e_{L}^{c} \\ u_{Lr}^{c} & d_{Lr}^{c} \\ u_{Lb}^{c} & d_{Lb}^{c} \\ u_{Lg}^{c} & d_{Lg}^{c} \end{matrix} \end{matrix} )

9.3 Dirac-Operatoren

Wir klassifizieren “Dirac”-Operatoren D_{F}, die der Ordnung-Eins-Bedingung genügen und ein masseloses Photon erlauben, d.h. mit der Unteralgebra ℂ_{F} = {(q_{λ}, λ, 0) : λ ∈ ℂ} ⊂ A_{F} = ℍ ⊕ ℂ ⊕ M_{3}(ℂ) kommutieren. Dabei ist

q_{λ} = ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ̄ \end{matrix} ). Um D_{F} als Matrix auf H_{F} darzustellen, wird der Hilbert-Raum

H_{F} = M_{4}(ℂ) ⊕ M_{4}(ℂ) ≃ ℂ^{32} neu parametrisiert als

H_{F} = H_{1} ⊕ H_{3} , H_{1} ≃ ℂ^{8} ∋ ( \begin{matrix}ℓ_{R} \\ ℓ_{L} \\ ℓ_{R}^{c} \\ ℓ_{L}^{c} \end{matrix} ) , H_{3} ≃ ℂ^{24} ∋ ( \begin{matrix}q & R \\ q & L \\ q & cR \\ q & cL \end{matrix} ) ,

mit Leptonen

ℓ_{R} = \binom{ν_{R}}{e_{R}} , ℓ_{L} = \binom{ν_{L}}{e_{L}} , ℓ_{R}^{c} = \binom{ν_{R}^{c}}{e_{R}^{c}} , ℓ_{L}^{c} = \binom{ν_{L}^{c}}{e_{L}^{c}}

und Quarks

q_{R} = (\begin{matrix}u & R \\ d & R \end{matrix}) , q_{L} = (\begin{matrix}u & L \\ d & L \end{matrix}) , q_{R}^{c} = (\begin{matrix}u & cR \\ d & {c \atop R} \end{matrix}) , q_{L}^{c} = (\begin{matrix}u & cL \\ d & {c \atop L} \end{matrix}) .

Dabei sind zunächst ν, e ∈ ℂ und u, d ∈ ℂ^{3}.

In der Zerlegung H_{F} = H_{1} ⊕ H_{3} schreiben wir lineare Operatoren T auf

H_{F} als T = ( \begin{matrix}T_{11} & T_{13} \\ T_{31} & T_{33} \end{matrix} ). Dabei ist T_{11} ∈ M_{8}(ℂ) und T_{33} ∈ M_{24}(ℂ). Aus den

vorangegangenen Untersuchungen folgt, daß A_{F} , J_{F} , γ_{F} diagonal sind, also keine 13 und _{31} Anteile haben. Für die Diagonalanteile lesen wir ab:

(q, λ, m)_{11} = ( \begin{matrix}q_{λ} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ1_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ1_{2} \end{matrix} ) ,  q_{λ} = ( \begin{matrix}λ & 0 \\ 0 & λ̄ \end{matrix} )

(q, λ, m)_{33} = ( \begin{matrix}q_{λ} ⊗ 1_{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q ⊗ 1_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1_{2} ⊗ m & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1_{2} ⊗ m \end{matrix} ) ,

J_{11} ( \begin{matrix}ℓ_{R} \\ ℓ_{L} \\ ℓ_{R}^{c} \\ ℓ_{L}^{c} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1_{2} \\ 1_{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1_{2} & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \overline{ℓ_{R}} ; \overline{ℓ_{L}} ; \overline{ℓ_{R}^{c}} ; \overline{ℓ_{L}^{c}} ) ,

J_{33} ( \begin{matrix}q & R \\ q & L \\ q & cR \\ q & cL \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1_{2} ⊗ 1_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1_{2} ⊗ 1_{3} \\ 1_{2} ⊗ 1_{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1_{2} ⊗ 1_{3} & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \overline{q_{R}} ; \overline{q_{L}} ; \overline{q_{R}^{c}} ; \overline{q_{L}^{c}} ) ,

γ_{11} = ( \begin{matrix}1_{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1_{2} \end{matrix} ) ,

γ_{33} = ( \begin{matrix}1_{2} ⊗ 1_{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1_{2} ⊗ 1_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1_{2} ⊗ 1_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1_{2} ⊗ 1_{3} \end{matrix} ) .

Man bestätigt γ_{F}^{2} = 1, γ_{F} = γ_{F}^{∗}, J_{F}^{2} = 1 und γ_{F} J_{F} = −J_{F} γ_{F}.

Aus [J_{F} aJ_{F}^{−1}, [D_{F} , b]] = 0 und {D_{F} , γ_{F} } = 0 folgt, daß auch D_{F} diagonal in der Zerlegung H_{F} = H_{1} ⊕ H_{3} sein muß: Wegen der Antikommutativität von D_{F} mit γ_{F} muß jeder Block dieser Zerlegung von der Struktur

D_{ij} = ( \begin{matrix}0 & ∗ & ∗ & 0 \\ ∗ & 0 & 0 & ∗ \\ ∗ & 0 & 0 & ∗ \\ 0 & ∗ & ∗ & 0 \end{matrix} )

sein. Dann haben auch [D_{F} , b]_{ij} und [D_{F} , J_{F} bJ_{F}^{−1}]_{ij} diese Struktur. Dann hat 0 = [J_{F} aJ_{F}^{−1}, [D_{F} , b]]_{13} = (J_{F} aJ_{F}^{−1})_{11}[D_{F} , b]_{13} − [D_{F} , b]_{13}(J_{F} aJ_{F}^{−1})_{33} für alle a = (q, λ, m) nur die Lösung [D_{F} , b]_{13} = 0, und analog nur D_{13} = 0. Physikalisch sichert D_{13} = 0 die Stabilität des Protons.

Aus D_{F} = D_{F}^{∗}, {D_{F} , γ_{F} } = 0 und [D_{F} , J_{F}] = 0 sowie Satz 9.4 folgt nun für die Diagonalblöcke von D_{F} die Darstellung

D_{11} = ( \begin{matrix}0 & Y_{1} & T & 0 \\ Y_{1}^{∗} & 0 & 0 & 0 \\ T^{∗} & 0 & 0 & \overline{Y_{1}} \\ 0 & 0 & Y_{1}^{t} & 0 \end{matrix} ) ,  D_{33} = ( \begin{matrix}0 & Y_{3} & 0 & 0 \\ Y _{3}^{∗} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \overline{Y_{3}} \\ 0 & 0 & Y _{3}^{t} & 0 \end{matrix} ) ,

mit zunächst Y_{1} ∈ M_{2}(ℂ) und Y_{3} ∈ M_{2}(ℂ) ⊗ M_{3}(ℂ. Aus Satz 9.4 ergab sich

als einzigen Nichtdiagonalblock von D_{ii} die Matrix T = T^{t} = ( \begin{matrix}Y_{R} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) Es

verbleibt die Auswertung der Ordnung-Eins-Bedingung für Y_{1}, Y_{3}: Für Y_{1} ergibt sich keine Einschränkung, während wir für den Quark-Block erhalten:

(q_{λ} ⊗ 1_{3})[Y_{3}, 1_{2} ⊗ m] − [Y_{3}, 1_{2} ⊗ m](q ⊗ 1_{3}) = 0 .

Für jeden 2×2-Unterblock T von [Y_{3}, 1_{2}⊗m] ergibt sich eine Gleichung q_{λ}T = T q für alle λ ∈ ℂ und q ∈ ℍ, was nur die Lösung T = 0 läßt. Also müssen Y_{3} und 1_{2} ⊗ m miteinander kommutieren, d.h. es gilt Y_{3} = Y_{3} ⊗ 1_{3} mit Y_{3} ∈ M_{2}(ℂ).

Nun kommt die Bedingung masseloser Photonen ins Spiel, welche sich auf [q_{λ}, Y_{1}] = 0 und [q_{λ}, Y_{2}] = 0 reduziert. Die Lösung sind Diagonalmatrizen

Y_{1} = ( \begin{matrix}Y_{ν} & 0 \\ 0 & Y_{e} \end{matrix} ) , Y_{3} = ( \begin{matrix}Y_{u} & 0 \\ 0 & Y_{d} \end{matrix} ) .

9.4 Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrizen

Für das eigentliche Standardmodell werden drei Kopien (sogennante Generationen) des Hilbert-Raums H_{F} benötigt. Die Leptonen werden dann durch ν, e ∈ ℂ^{3} und die Quarks durch u, d ∈ ℂ^{3} ⊗ ℂ^{3} parametrisiert. Entsprechend ist im Dirac-Operator Y_{ν,e,u,d,R} ∈ M_{3}(ℂ). Wir betrachten zwei Dirac-Operatoren D_{F} , D′_{F} als äquivalent, wenn D′_{F} = UD_{F} U^{∗} für eine unitäre Matrix U, die mit A_{F} , J_{F} , γ_{F} kommutiert. Damit ist U wieder diagonal, und die beiden Diagonalblöcke haben die Gestalt

U_{11} = ( \begin{matrix}diag(V_{1}, V_{2}) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & diag(V_{3}, V_{3}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & diag(\overline{V_{1}}, \overline{V_{2}}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & diag(\overline{V_{3}}, \overline{V_{3}}) \end{matrix} ) ,

U_{33} = ( \begin{matrix}diag(W_{1}, W_{2}) ⊗ 1_{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & diag(W_{3}, W_{3}) ⊗ 1_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & diag(\overline{W_{1}}, \overline{W_{2}}) ⊗ 1_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & diag(\overline{W_{3}}, \overline{W_{3}}) ⊗ 1_{3} \end{matrix} ) ,

mit V_{i}, W_{i} ∈ U(3). Die entsprechende Äquivalenzen der Y -Matrizen sind

Y′_{ν} = V_{1}Y_{ν}V_{3}^{∗} , Y′_{e} = V_{2}Y_{e}V_{3}^{∗} , Y′_{R} = V_{1}Y_{R}V_{1}^{t} , Y′_{u} = W_{1}Y_{u}W_{3}^{∗} , Y′_{d} = W_{2}Y_{d}W_{3}^{∗} .

Dadurch können die Y -Matrizen auf eine Standardform gebracht werden. Durch (nicht eindeutige) Wahl von V_{2}, V_{3}, W_{2}, W_{3} erreicht man Y′_{e} = M_{e} und Y′_{d} = M_{d} diagonal und positiv. Nach Polarzerlegung ist dann z.B. Y′_{u} = W (C_{q}M_{u}C_{q}^{∗}) mit M_{u} diagonal und positiv. Es kann det C_{q} = 1 angenommen werden. Die unitäre Matrix W C_{q} wird durch W_{1} beseitigt. Allerdings besteht noch immer die Freiheit der Konjugation mit Matrizen W′_{2} = W′_{3} und W′_{1} aus dem 2-Torus N der diagonalen SU(3)-Matrizen, welche M_{d}, M_{u} nicht ändern. Somit ist die kanonische Wahl Y′_{u} = M_{u}C_{q} mit der Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Matrix C_{q} ∈ N \ SU(3)/N. Diese Doppel-Nebenklasse ist durch 3 Euler-Winkel θ_{1}, θ_{2}, θ_{3} ∈ [0, 2π] und eine Phase e^{iδ} parametrisiert. Die Phase bricht die Symmetrie zwischen Materie und Antimaterie.

Analog ergibt sich Y′_{ν} = M_{ν}C_{ℓ} mit M_{ν} diagonal und positiv und C_{ℓ} ∈ N \ SU(3)/N. Bis auf die Skalierung V_{i} ↦ e^{iδ′}V_{i} welche Y′_{e}, Y′_{ν} invariant lassen aber Y_{R} ↦ e^{2iδ′}Y_{R} liefern, sind alle Freiheiten der V_{i} ausgeschöpft. Also ist Y′_{R} = (Y′_{R})^{t} bis auf eine globale Phase eine beliebige symmetrische komplexe 3 × 3-Matrix, somit parametrisiert durch 11 reelle Zahlen. Insgesamt hat damit der Moduli-Raum der äquivalenten Dirac-Operatoren die Dimension (3 + 3 + 4) + (3 + 3 + 4 + 11) = 31.

10 Die Spektralwirkung

10.1 Fluktuierter Dirac-Operator

Wir betrachten das Tensorprodukt

A = A_{M} ⊗ A_{F} ,  H = H_{M} ⊗ H_{F} ,  D = D_{M} ⊗ 1_{F} + γ_{M} ⊗ D_{F} ,
J = J_{M} ⊗ J_{F} ,  γ = γ_{M} ⊗ γ_{F}

des spektralen Tripels (A_{M}, H_{M}, D_{M}, γ_{M}, J_{M}) einer vierdimensionalen kompakten Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeit (M, g) mit dem Matrix-Spektraltripel (A_{F} , H_{F} , D_{F} , γ_{F} , J_{F}) aus dem vorigen Abschnitt. Dabei ist A_{M} = C^{∞}(M), H_{M} = L^{2}(M, S) der Hilbert-Raum der L^{2}-Schnitte des Spinorbündels S über M und

D_{M} = ie_{a}^{μ}γ^{a}∇_{μ}^{s} , ∇_{μ}^{S} = ∂_{μ} + \frac{1}{8}ω_{μ}^{ab}[γ_{a}, γ_{b}]

der Dirac-Operator zum Levi-Civita-Zusammenhang. Die Komponenten der induzierten Zusammenhangsform des Spin-Zusammenhangs sind mit ω_{μ}^{ab} bezeichnet. Dabei sind die γ_{a} die Generatoren der Clifford-Algebra des ℝ^{4}, mit der physikalischen Konvention γ^{a} = (γ^{a})^{∗} und γ^{a}γ^{b} + γ^{b}γ^{a} = 2δ^{ab}1 und γ_{a} = δ_{ab}γ^{b} = γ^{a}.

Mit e_{a}^{μ} wird das (inverse) Vierbein zur Metrik g bezeichnet, δ_{ab}e_{μ}^{a}e_{ν}^{b} = g_{μν}. Das Vierbein ist kovariant konstant,

∂_{μ}e_{a}^{ν} − Γ_{μρ}^{ν}e_{a}^{ρ} + ω_{μ}^{ab}e_{b}^{ν} = 0 .

Damit findet man die Lichnerowicz-Formel

D_{M}^{2} = Δ^{LC} + \frac{1}{4}R ,  Δ^{LC} = −g^{μν}(∂_{μ}∂_{ν} − Γ_{μν}^{ρ}∂_{ρ}) ,  R = g^{μν}R_{μν} .

Die Graduierung ist gegeben durch γ_{M} = γ^{5} := γ^{1} ⋯ γ^{4}. In der üblichen Darstellung durch Pauli-Matrizen, mit \overline{γ^{2}} = −γ^{2} und \overline{γ^{a}} = γ^{a} für a = 1, 3, 4, ist J_{M}ψ = γ^{2}ψ̄ zu setzen. Dann folgen die Vorzeichen für KO-Dimension 4,

J_{M}^{2} = −1 , J_{M}γ_{M} = γ_{M}J_{M} , J_{M}D_{M} = D_{M}J_{M} .

Insgesamt erfüllt Jψ = γ_{2}J̃_{F} ψ̄ die Vorzeichen der KO-Dimension 2.

Unter inneren Fluktuationen des Dirac-Operators versteht man die Ersetzung D ↦ D_{A} := D + A + JAJ^{−1}, wobei A = A^{∗} = ∑_{α} a_{α}[D, b_{α}] eine 1-Form ist, mit a_{α}, b_{α} ∈ A. Der fluktuierte Dirac-Operator erfüllt die gleichen Axiome, insbesondere [D, J] = 0, {γ, D} = 0 und die Ordnung-Eins-Bedingung [JaJ^{−1}, [D_{A}, b]] = 0. Man verwende [a, JAJ^{−1}] = 0. Ebenso ändert die Störung D ↦ D_{A} nicht die Selbstadjungiertheit und die Asymptotik der Eigenwerte.

Entsprechend den beiden Anteilen D ⊗ 1_{F} und γ_{M} ⊗ D_{F} gibt es die beiden Anteile

G = e_{a}^{μ}γ^{a}G_{μ} , G_{μ} = ∑_{α} a_{α}∂_{μ}(b_{α}) ∈ A , γ^{5}Φ = γ^{5} ∑_{α} a_{α}[D_{F} , b_{α}]

für 1-Formen. Sie sind unabhängig (wähle ein b_{α} konstant). Wegen G_{μ} ∈ A ist nur Φ zu berechnen. Die beiden Lepton- und Quark-Blöcke sind

Φ_{11} = ( \begin{matrix}0 & Φ_{ℓ} & 0 & 0 \\ Φ_{ℓ}^{∗} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ,  Φ_{ℓ} = ( \begin{matrix}M_{ν}C_{ℓ}ϕ_{1} & M_{ν}C_{ℓ}ϕ_{2} \\ −M_{e}\overline{ϕ_{2}} & M_{e}\overline{ϕ_{1}} \end{matrix} )

Φ_{33} = ( \begin{matrix}0 & Φ_{q} ⊗ 1_{3} & 0 & 0 \\ Φ_{q} ⊗ 1_{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , Φ_{q} = ( \begin{matrix}M_{u}C_{q}ϕ_{1} & M_{u}C_{q}ϕ_{2} \\ −M_{d}\overline{ϕ_{2}} & M_{d}\overline{ϕ_{1}} \end{matrix} )

47 Der vollständige fluktuierte Dirac-Operator ist damit

Preliminary version – 9. Februar 2009

D_{A,11} = ( \begin{matrix}iγ^{a}e_{a}^{μ}∇_{μ}^{S,B} & γ_{5}Φ_{ℓ} & T & 0 \\ Φ_{ℓ}^{∗} & iγ^{a}e_{a}^{μ}∇_{μ}^{S,B,W} & 0 & 0 \\ T^{∗} & 0 & iγ^{a}e_{a}^{μ}\overline{∇_{μ}^{S,B}} & γ_{5}\overline{Φ_{ℓ}} \\ 0 & 0 & γ_{5}Φ_{ℓ}^{t} & iγ^{a}e_{a}^{μ}\overline{∇_{μ}^{S,B,W}} \end{matrix} ) ,

D_{A,33} = ( \begin{matrix}iγ^{a}e_{a}^{μ}∇_{μ}^{S,B,G} & γ_{5}Φ_{q} & T & 0 \\ Φ_{q}^{∗} & iγ^{a}e_{a}^{μ}∇_{μ}^{S,W,G} & 0 & 0 \\ T^{∗} & 0 & iγ^{a}e_{a}^{μ}\overline{∇_{μ}^{S,B,G}} & γ_{5}\overline{Φ_{q}} \\ 0 & 0 & γ_{5}Φ_{q}^{t} & iγ^{a}e_{a}^{μ}\overline{∇_{μ}^{S,W,G}} \end{matrix} ) ,

mit

∇_{μ}^{S,B} = ( \begin{matrix}∇_{μ}^{S} & 0 \\ 0 & ∇_{μ}^{S} − 2iB_{μ} \end{matrix} ) 1_{Y} ,
∇_{μ}^{S,B,W} = ( \begin{matrix}∇_{μ}^{S} − i(B_{μ} + W_{μ}^{3}) & −i(W_{μ}^{1} − iW_{μ}^{2}) \\ −i(W_{μ}^{1} + iW_{μ}^{2}) & ∇_{μ}^{S} − i(B_{μ} − W_{μ}^{3}) \end{matrix} ) 1_{Y} ,
∇_{μ}^{S,B,G} = ( \begin{matrix}∇_{μ}^{S}1_{3} − i((G_{μ}^{0} − B_{μ})1_{3} + G_{μ}) & 0 \\ 0 & ∇_{μ}^{S}1_{3} − i((G_{μ}^{0} + B_{μ})1_{3} + G_{μ}) \end{matrix} ) 1_{Y} ,
∇_{μ}^{S,W,G} = ( \begin{matrix}∇_{μ}^{S}1_{3} − i((G_{μ}^{0} + W_{μ}^{3})1_{3} + G_{μ}) & −i(W_{μ}^{1} − iW_{μ}^{2})1_{3} \\ −i(W_{μ}^{1} + iW_{μ}^{2})1_{3} & ∇_{μ}^{S}1_{3} − i((G_{μ}^{0} − W_{μ}^{3}) + G_{μ}) \end{matrix} ) 1_{Y} .

Dabei steht 1_{Y} = 1_{3} für die Generationen, G_{μ} ist eine spurfreie hermitesche 3 × 3-Matrix mit Werten in C^{∞}(M), und B_{μ}, W_{μ}^{a}, G_{μ}^{0} ∈ C^{∞}(M) sind reellwertig. Aus physikalischen Gründen wird tr(A) gefordert (Unimodularität). Das liefert G_{μ}^{0} = −\frac{1}{3}B_{μ}, so daß im Quark-Sektor die Faktoren \frac{4}{3}, −\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} vor iB_{μ} entstehen. Damit hängen die drittelzahligen elektrischen Ladungen der Quarks zusammen.

10.2 Spektralwirkungsprinzip und Wärmeleitungskern-Entwicklung

Das Spektralwirkungsprinzip von Connes und Chamseddine schlägt vor, daß die sogenannte bosonische Wirkung für die Fluktuationen des Dirac-Operators D_{A} eine alleinige Funktion des Spektrums von D_{A}^{2} ist. Nach Funktionalkalkül ist dann

S_{A} = Tr(χ(D_{A}^{2})) = ∫_{0}^{∞} dt χ̂(t) Tr(e^{−tD_{A}^{2}}) ,

wobei χ̂(t) die inverse Laplace-Transformierte von χ(s) = ∫_{0}^{∞} dt e^{−st}χ̂(t) ist. Dabei ist e^{−tD_{A}^{2}} der Wärmeleitungsoperator.

Sei (M, g) eine p-dimensionale kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und F ein Vektorbündel über M. Betrachtet werden Differentialoperatoren zweiter Ordnung P auf den Schnitten von F, deren Hauptsymbol durch den metrischen Tensor gegeben sind. Solche Operatoren haben lokal die Darstellung P = −(g^{μν}∂_{μ}∂_{ν} + A^{ρ}∂_{ρ} + B), wobei A^{μ}, B Endomorphismen von F sind. Unter diesen Voraussetzungen hat die Spur des Wärmeleitungs-Operators eine asymptotische Entwicklung [21, §4.8]

Tr(e^{−tP}) ∼ ∑_{k=0}^{∞} t^{\frac{k−p}{2}} ∫_{M} dx a_{k}(x, P) ,

wobei a_{k}(x, P) die Seeley-de Witt-Koeffizienten von P sind. Damit läßt sich die Laplace-Transformation invertieren zu

S_{A} ∼ ∑_{k=0}^{∞} χ_{\frac{k−p}{2}} ∫_{M} dx a_{k}(x, D_{A}^{2}) ,

χ_{z} = ∫_{0}^{∞} dt t^{z}χ̂(t) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{Γ(−z)} ∫_{0}^{∞} ds s^{−z−1}χ(s) & für z ∉ ℕ \\ (−1)^{k}χ^{(k)}(0) & für z = k ∈ ℕ \end{matrix}

Die Seeley-de Witt-Koeffizienten sind im Buch von Gilkey [21, Theorem 4.8.16] tabelliert, allerdings (eindeutig) ausgedrückt als P = Δ^{F} − E durch den Zusammenhangs-Laplacian Δ^{F} und einen Endomorphismus E von F. Ist f ein Schnitt von F, dann ist die kovariante Ableitung bezüglich einer Zusammenhangsform ω auf F

∇f = dx^{μ} ⊗ (∂_{μ}f + ω_{μ}f) .

Für die zweite Ableitung ist der metrische Zusammenhang zu berücksichtigen:

∇^{2}f = dx^{ν} ⊗ dx^{μ} ⊗ ((∂_{ν} + ω_{ν})(∂_{μ}f + ω_{μ}f) − Γ_{μν}^{ρ}(∂_{ρ}f + ω_{ρ}f)) .

Kontraktion mit der negativen Metrik liefert

Δ^{F} f = −g^{μν}(∂_{μ}∂_{ν}f + (2δ_{ν}^{ρ}ω_{μ} − Γ_{μν}^{ρ})∂_{ρ}f + (ω_{μ}ω_{ν} + ∂_{μ}ω_{ν} − Γ_{μν}^{ρ}ω_{ρ})f)

und damit

P = Δ^{F} −E ⇔ ω_{μ} = \frac{1}{2}g_{μν}(A^{ν} +g^{ρσ}Γ_{ρσ}^{ν}) , E = B−g^{μν}(ω_{μ}ω_{ν} +∂_{μ}ω_{ν} −Γ_{μν}^{ρ}ω_{ρ}) .

Ausgedrückt durch E, ω und den Riemann-Tensor R_{νρσ}^{μ} lauten die ersten Seeley-de Witt-Koeffizienten von P:

a_{0}(x, P) = (4π)^{− \frac{p}{2}} tr(id) ,
a_{2}(x, P) = \frac{1}{6}(4π)^{− \frac{p}{2}} tr(−Rid + 6E) ,
a_{4}(x, P) = \frac{1}{360}(4π)^{− \frac{p}{2}} tr((5R^{2} − 2R_{μν}R^{μν} + 2R_{μνρσ}R^{μνρσ} − 12Δ^{LC}(R))id
+ 60Δ^{F} (E) − 60RE + 180E^{2} + 30Ω_{μν}Ω^{μν}) .

Dabei ist Ω_{μν} = ∂_{μ}ω_{ν} −∂_{ν}ω_{μ} +ω_{μ}ω_{ν} −ω_{ν}ω_{μ} die Krümmung zur Zusammenhangsform ω_{μ}, und Indizes werden mit der Metrik g^{μν} gehoben. Die Spur tr bezieht sich auf Endomorphismen der Faser von F. Die ungeraden a_{k} verschwinden.

10.3 Diskussion Es ist nun im Prinzip einfach, aber extrem länglich,

i) P = D_{A}^{2} auszurechnen, ii) A^{μ}, B abzulesen, iii) ω_{μ}, E zu bestimmen, iv) die a_{k} auszurechnen.

Es wird angenommen, daß sämtliche Ableitungen von χ in 0 verschwinden, χ^{(k)}(0) = 0 für k > 0. Dann tragen für eine p = 4-dimensionale Mannigfaltigkeit nur

• a_{0} mit Koeffizient χ_{−2} = ∫_{0}^{∞} ds sχ(s),
• a_{2} mit Koeffizient χ_{−1} = ∫_{0}^{∞} ds χ(s),
• a_{4} mit Koeffizient χ_{0} = χ(0)

bei. Das Ergebnis ist:

S_{A} = \frac{1}{π^{2}} (48χ_{−2} − cχ_{−1} + dχ_{0}) ∫ d^{4}x \sqrt{det g}

+ \frac{1}{24π^{2}} (96χ_{−1} − cχ_{0}) ∫ d^{4}x \sqrt{det g} R

+ \frac{χ_{0}}{10π^{2}} ∫ d^{4}x \sqrt{det g} (\frac{11}{6}R^{∗}R^{∗} − 3C_{μνρσ}C^{μνρσ})

+ \frac{1}{π^{2}} (−2aχ_{−1} + eχ_{0}) ∫ d^{4}x \sqrt{det g} |ϕ|^{2}

+ \frac{χ_{0}}{2π^{2}} ∫ d^{4}x \sqrt{det g} a(|D_{μ}ϕ|^{2} − \frac{1}{6}R|ϕ|^{2})

+ \frac{2χ_{0}}{π^{2}} ∫ d^{4}x \sqrt{det g} (\frac{1}{2}tr_{3}(G_{μν}G^{μν}) + \frac{1}{2}tr_{2}(W_{μν}W^{μν}) + \frac{5}{3}B_{μν}B^{μν})

+ \frac{χ_{0}}{2π^{2}} ∫ d^{4}x \sqrt{det g}|ϕ|^{4} .

Dabei sind

G_{μν} = ∂_{μ}G_{ν} − ∂_{ν}G_{μ} − i(G_{μ}G_{ν} − G_{ν}G_{μ}) ∈ M_{3}(C^{∞}(M)) ,
W_{μν} = ∂_{μ}W_{ν} − ∂_{ν}W_{μ} − i(W_{μ}W_{ν} − W_{ν}W_{μ}) ∈ M_{2}(C^{∞}(M)) ,
B_{μν} = ∂_{μ}B_{ν} − ∂_{ν}B_{μ} ∈ C^{∞}(M)

die Krümmungen der SU(3), SU(2), U(1)-Zusammenhangsformen. Außerdem ist

|ϕ|^{2} := |ϕ_{1}|^{2}+|ϕ_{2}|^{2} , \binom{D_{μ}ϕ_{1}}{D_{μ}ϕ_{2}} = \binom{∂_{μ}ϕ_{1}}{∂_{μ}ϕ_{2}}+i\binom{W_{μ}^{3} − B_{μ} W_{μ}^{1} − iW_{μ}^{2}}{W_{μ}^{1} − iW_{μ}^{2} − W_{μ}^{3} − B_{μ}}\binom{ϕ_{1}}{ϕ_{2}}

sowie

a = tr(Y_{ν}^{∗}Y_{ν} + Y_{e}^{∗}Y_{e} + 3Y_{u}^{∗}Y_{u} + Y_{d}^{∗}Y_{d}) ,
b = tr((Y_{ν}^{∗}Y_{ν})^{2} + (Y_{e}^{∗}Y_{e})^{2} + 3(Y_{u}^{∗}Y_{u})^{2} + (Y_{d}^{∗}Y_{d})^{2}) ,
c = tr(Y_{R}^{∗}Y_{R}) ,  d = 4tr((Y_{R}^{∗}Y_{R})^{2}) ,  e = tr((Y_{R}^{∗}Y_{R})(Y_{ν}^{∗}Y_{ν})) .

Weiterhin ist C_{μνρσ} = R_{μνρσ} − \frac{1}{2}(g_{μρ}R_{νσ} −g_{μσ}R_{νρ} +g_{νσ}R_{μρ} −g_{νρ}R_{μσ})+ \frac{1}{6}(g_{μρ}g_{νσ} − g_{μσ}g_{νρ}R) der Weyl-Tensor, und nach partieller Integration und Vernachlässigung der Randterme entsteht R^{∗}R^{∗} = \frac{1}{4}ϵ^{μνρσ}ϵ_{αβγδ}R_{μν}^{αβ}R_{ρσ}^{γδ}, dessen Volumenintegral die Euler-Charakteristik ist.

Zum Vergleich mit dem Experiment haben sich die Physiker auf kanonische Vorfaktoren im Integranden der Wirkung geeinigt. Der Vorfaktor

• von |D_{μ}φ|^{2} ist \frac{1}{2}, was durch entsprechende Skalierung von ϕ erreicht wird. Nach der Skalierung wird der Vorfaktor

• vor |φ|^{2} mit −μ_{0}^{2},

• vor |φ|^{4} mit λ
• vor R mit \frac{1}{2κ}

bezeichnet, wobei κ die Einsteinsche Gravitationskonstante ist. Weiter wird der Vorfaktor

• vor \frac{1}{2}tr_{3}(G_{μν}G^{μν}) mit \frac{1}{g_{3}^{2}} ,

• vor \frac{1}{2}tr_{2}(W_{μν}W^{μν}) mit \frac{1}{g_{2}^{2}} ,
• vor B_{μν}B^{μν} mit \frac{1}{g_{1}^{2}}

bezeichnet. Daraus liest man die sehr wichtige experimentell zugängliche Beziehung

g_{3}^{2} = g_{2}^{2} = \frac{3}{5}g_{1}^{2}

ab. Sie ist zunächst klar verletzt; es zeigt sich aber, daß die g_{i}(E) energieabhängig sind und bei höherer Energie sich annähern. Die Daten bestimmen eine kritische Energie Λ, für die g_{3}(Λ) = g_{2}(Λ) gilt. Jetzt wird die Argumentation umgekehrt: Man postuliert, daß die Spektralwirkung zutrifft an einer ausgezeichneten Startenergie Λ.

Die Werte g_{i}(E) an einer anderen Energie E werden mit Verfahren aus der Quantenfeldtheorie berechnet. Bezeichne ϕ die Menge der dynamischen Felder, ϕ̂(p) die Fourier-Transformierten und S[ϕ] bzw. S[ϕ̂] die Wirkung, welche durch Parameter wie g_{i}(Λ) parametrisiert wird. Die Integration der Fourier-Moden mit E ≤ ∥p∥ ≤ Λ definiert über das Pfadintegral

e^{−S_{eff}^{|p|≤E}[ϕ̂]} = ∫_{E≤∥p∥≤Λ} Dϕ̂(p) e^{−S[ϕ̂]}

eine neue effektive Wirkung S_{eff}^{|p|≤E}[ϕ̂], in die nur noch Moden mit |p| ≤ E eingehen. Nach singulären Reskalierungen haben die führenden Anteile in S_{eff} die gleiche Struktur wie S (das Standarmodell ist renormierbar), nur mit anderen Parametern wie z.B. g_{i}(E) statt g_{i}(Λ). Damit liefert g_{2}^{2}(Λ) = \frac{5}{3}g_{1}^{2}(Λ) eine Vorhersage für g_{1}(E), die ungefähr, aber nicht exakt zutrifft (die experimentellen g_{i}(E) bilden ein Schnitt-Dreieck).

Die Werte für a, b sind bekannt durch die Massen der Fermionen und die Winkel in C_{q} (es dominiert M_{u}). Nimmt man cχ_{0} ≪ χ_{−1} und eχ_{0} ≪ aχ_{−1} an, dann bestimmen M_{u} und κ die Werte von μ_{0}^{2}(Λ) und λ(Λ). Das resultierende

Higgs-Potential −μ^{2}|φ|^{2} + λ|φ|^{4} wird minimal bei φ = \sqrt{\frac{μ_{0}^{2}}{2λ}}U_{2}\binom{1}{0}. Die Matrix U_{2} ∈ SU(2)×U(1) wird durch eine Eichtransformation beseitigt, so daß nur noch die U(1)-Stabilisatorgruppe von \binom{1}{0} als Symmetriegruppe verbleibt. Nach dieser

Fixierung von U_{2} ∈ SU(2) × U(1) kann das Higgs-Feld in die Form φ = \binom{\sqrt{\frac{μ^{2}_{0}}{2λ}} +η}{0} gebracht werden. Dann wird die kovariante Ableitung

D_{μ}φ = \binom{∂_{μ}η}{0} + i(\sqrt{\frac{μ_{0}^{2}}{2λ}} + η)\binom{W_{μ}^{3} − B_{μ}}{W_{μ}^{1} − iW_{μ}^{2}}

Als Teil von \frac{1}{2}|∂_{μ}φ|^{2} entsteht \frac{μ_{0}^{2}}{4λ}g^{μν}((W_{μ}^{3} − B_{μ})(W_{ν}^{3} − B_{ν}) + W_{μ}^{1}W_{ν}^{1} + W_{μ}^{2}W_{ν}^{2}) und damit ein Masseterm für W^{1}, W^{2} und Z = α(W^{3} − B). Der Wert von \frac{μ^{2}}{2λ}(E) wird an die experimentelle Masse von W angepaßt. Nach Übergang zur Energie E liefern die Beziehungen der Spektralwirkung aber eine unabhängige Vorhersage für λ(E) allein, aus der die Masse des noch nicht entdeckten Higgs-Teilchens vorhergesagt wird zu m_{φ} ∼ 170 GeV.

Teil IV

Isospektrale Deformationen

Isospektrale Deformationen sind nichtkommutative spektrale Tripel (A_{Θ}, H, D), die durch Rieffel-Deformation [46] der Algebra A eines kommutative spektralen Tripels (A, H, D) entstehen. Hilbert-Raum und Dirac-Operator bleiben undeformiert.

Gegeben sei eine abelsche Gruppe (V, +) mit d Erzeugern {t^{1}, …, t^{d}}, eine Bilinearform ( , ) : V × V → ℝ und eine bezüglich ( , ) antisymmetrische Matrix Θ = −Θ^{t} ∈ End(V). Es sei A eine Fréchet-Algebra bezüglich einer Familie {p_{i}}_{i∈I} von Halbnormen, auf welcher eine stark stetige und bezüglich jeder der p_{i} isometrische V -Wirkung α : V × A → A definiert ist. Sei A^{∞} = {a ∈ A : t ↦ α_{t}(a) glatt} die Unteralgebra der glatten Elemente von A. Rieffel führt auf A^{∞} die neuen Halbnormen

p̃_{i,m}(a) = \frac{1}{m!} sup_{j≤i} ∑_{|β|≤m} p_{j}(α_{β_{1}t^{1}+···+β_{d}t^{d}}(a)) , β_{i} ∈ ℤ

ein. Dann ist das folgende Produkt ⋆_{Θ} : A^{∞} × A^{∞} → A^{∞} assoziativ und gemeinsam stetig bezüglich der Fréchet-Topologie {p̃_{i,m}}:

a ⋆_{Θ} b := ∫_{V ×V} dt ds α_{\frac{1}{2} Θt}(a) α_{s}(b) e^{2πi(t,s)} ,

so daß A_{Θ} := (A^{∞}, ⋆_{Θ}) eine neue assoziative Fréchet-Algebra wird. Durch geeigneten Normabschluß entsteht eine C^{∗}-Algebra A_{Θ}.

11 Der nichtkommutative Torus

11.1 Die Algebra

Startpunkt der Rieffel-Deformation ist die Algebra A = C^{∞}(𝕋^{d}) der glatten Funktionen des gewöhnlichen 𝕋^{d}. Nach Fourier-Entwicklung gilt

C^{∞}(𝕋^{d}) ∋ f(x) = ∑_{k∈ℤ^{d}} f_{k}e^{2πikx} ,  kx = k_{1}x^{1} + ⋯ + k_{d}x^{d} ,  (f_{k}) ∈ S(ℤ^{d}) ,

d.h. die Folge (f_{k}) ist schnell fallend. Die Halbnormen sind gegeben durch

(p_{j}(f))^{2} = sup_{k∈ℤ^{d}}(1 + ∥k∥^{2})^{j}|f_{k}|^{2} .

Auf C^{∞}(𝕋^{d}) wird eine Wirkung der Gruppe V = 𝕋^{d} = ℝ^{d}/ℤ^{d} erklärt als

α_{t}(e^{2πikx}) = e^{2πik(x+t)}

und lineare Fortsetzung. Wegen f_{k} ↦^{α_{t}} e^{2πikt}f_{k} ist p̃_{i,m}(f) = p_{i}(f), und es gilt A^{∞} = A. Für die Rieffel-Deformation folgt

(f⋆_{Θ}g)(x) = ∑_{k,l∈ℤ^{d}} f_{k}g_{l} ∫_{𝕋^{d}} dt ∫_{𝕋^{d}} ds e^{2πi(kx+lx+ \frac{1}{2} kΘt+ls+st)} = ∑_{k,l∈ℤ^{d}} f_{k}g_{l} e^{2πi((k+l)x− \frac{1}{2} kΘl)} .

Die assoziative Algebra A_{Θ} = (C^{∞}(𝕋^{d}), ⋆_{Θ}) definiert den nichtkommutativen d-Torus.

Häufig wird der nichtkommutative 2-Torus eingeführt über eine Kommutatorrelation zwischen zwei Erzeugern u = e^{2πix_{1}} und v = e^{2πix_{2}}. Dann folgt

(u ⋆_{Θ} v)(x_{1}, x_{2}) = e^{2πi(x_{1}+x_{2}− \frac{1}{2} Θ_{12})} , (v ⋆_{Θ} u)(x_{1}, x_{2}) = e^{2πi(x_{1}+x_{2}− \frac{1}{2} Θ_{21})} ,

und mit θ := Θ_{12} = −Θ_{21} dann u ⋆_{Θ} v = e^{2πiθ}v ⋆_{Θ} u. Für θ ∈ ℤ entsteht der kommutative 2-Torus. Ist θ = \frac{p}{q} ∈ ℚ mit p, q ∈ ℤ teilerfremd, so ist A_{Θ} ein Bündel von q × q-Matrix-Algebren über dem 2-Torus 𝕋2_{\frac{1}{q}} vom Radius \frac{1}{q}: Durch Tausch von u, v kann θ > 0 angenommen werden, und dann p < q nach Abspalten des ganzen Teils. Wegen u⋆_{Θ} v = e^{2πi \frac{p}{q}} v ⋆_{Θ} u erzeugen u^{q}, v^{q} das Zentrum von A_{Θ}, d.h. wir identifizieren U = u^{q} = e^{2πiqx_{1}} und V = v^{q} = e^{2πiqx_{2}} mit den Generatoren von C^{∞}(𝕋2_{\frac{1}{q}}). Mit der Zerlegung ℤ ∋ k = k′q + r mit r ∈ \{0, …, q − 1\} ergibt

sich u^{k}v^{l} = U^{k′}V^{l′}u^{r}v^{s} und damit

f = ∑_{k,l∈ℤ}f_{kl}u^{k}v^{l} = ∑_{r,s=0}^{q−1} u^{r}v^{s} ∑_{k′,l′∈ℤ}f_{k′l′}^{rs}U^{k′}V^{l′} = ∑_{r,s=0}^{q−1} u^{r}v^{s}f̃^{rs} ,  f̃^{rs} ∈ C^{∞}(𝕋^{2}) .

Die Relationen u^{q} = v^{q} = 1 und uv = e^{2πi \frac{p}{q}} vu lassen sich nun durch qdimensionale Matrizen erfüllen (“clock” und “shift”):

u = ( \begin{matrix}e^{2πi \frac{1·p}{q}} & 0 & … & 0 & 0 \\ 0 & e^{2πi \frac{2p}{q}} & … & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & … & e^{2πi \frac{(q−1)p}{q}} & 0 \\ 0 & 0 & … & 0 & e^{2πi \frac{qp}{q}} \end{matrix} ) , v = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & 0 & 1 \\ 1 & 0 & … & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Beide Matrizen sind spurfrei, da ∑_{r=0}^{q−1} e^{2πi \frac{rp}{q}} = \frac{1−e^{2πip}}{1−e^{2πi \frac{p}{q}}} = 0. Ist dagegen θ irrational, dann ist das Zentrum von A_{Θ} trivial, und A_{Θ} kann als Limes p, q → ∞, \frac{p}{q} → θ unendlicher Matrix-Algebren über einem einzigen Punkt aufgefaßt werden, der im Limes q → ∞ aus dem Torus 𝕋2_{\frac{1}{q}} vom Radius \frac{1}{q} entsteht. Im beliebiger

Dimension n ist Θ durch eine SL(n, ℤ)-Transformation auf die Standardform zu bringen, entsprechend dem l ≤ [n/2]-fachen Produkt von nichtkommutativen 2-Tori zu den Parametern θ_{1}, …, θ_{l} mit dem kommutativen n − 2l-Torus.

Die komplexe Konjugation f ↦ f^{∗} = f̄ definiert eine Involution auf A_{Θ}. Für f(x) = ∑_{k∈ℤ^{d}} f_{k}e^{2πikx} folgt \overline{f(x)} = ∑_{k∈ℤ^{d}} \overline{f_{k}}e^{−2πikx} = ∑_{k∈ℤ^{d}} \overline{f_{−k}}e^{2πikx}, also ∗ : f_{k} ↦ \overline{f_{−k}}. Durch komplexe Konjugation des Rieffel-Produkts ergibt sich \overline{(f ⋆_{Θ} g)} = ḡ ⋆_{Θ} f̄.

11.2 Hilbert-Raum und Derivationen

Der Hilbert-Raum wird durch GNS-Konstruktion bezüglich des durch

τ( ∑_{k∈ℤ^{d}} f_{k}e^{2πikx}) := f_{0}

definierten Zustands τ : A_{Θ} → ℂ erhalten. Wegen 1_{k} = δ_{k,0} ist τ(1) = 1, und wegen

τ(f^{∗} ⋆_{Θ} f) = ∑_{k,l∈ℤ^{d}} f̄_{−k}f_{l}τ_{0}(e^{2πi((k+l)x− \frac{1}{2} kΘl)}) = ∑_{l∈ℤ^{d}}|f_{l}|^{2} ≥ 0

ist er positiv. Insbesondere gilt τ(f^{∗}⋆_{Θ}f) = τ(f^{∗}f). Dann wird der Hilbert-Raum L^{2}(𝕋^{d}, τ) durch L^{2}-Abschluß bezüglich des Skalarprodukts ⟨ξ, η⟩ = τ(ξ^{∗} ⋆_{Θ} η) erhalten,

L^{2}(𝕋^{d}, τ) = {ξ = ∑_{k∈ℤ^{d}} ξ_{k}e^{2πikx} : ξ_{k} ∈ ℓ^{2}(ℤ^{d})} .

Wegen τ(ξ^{∗} ⋆_{Θ} η) = τ(ξ^{∗}η) ist es der gleiche Hilbert-Raum wie für den kommutativen Torus.

Die GNS-Darstellung der Algebra ist durch π(a)ξ = a ⋆_{Θ} ξ gegeben, wobei zu zeigen ist, daß ⋆_{Θ} : A_{Θ}×L^{2}(𝕋^{d}, τ) → L^{2}(𝕋^{d}, τ) stetig ist. Dann ist 1 ein zyklischer (A_{Θ} ⊂ L^{2}(𝕋^{d}, τ) dicht) und separierender Vektor (a ↦ a injektiv), so daß die Tomita-Involution gegeben ist durch J_{0}ξ = \overline{ξ}. Um eine spektrale Geometrie der KO-Dimension d zu bekommen, ist das Tensorprodukt mit der Clifford-Algebra zu bilden. Wir konstruieren zunächst den Dirac-Operator.

Zunächst generiert die infinitesimale Gruppenwirkung zu den Generatoren (e^{1}, …, e^{d}) ∈ 𝕋^{d} von V die Derivationen

δ_{j}f = \frac{d}{dh}α_{he^{j}}(f)|_{h=0} , δ_{j}( ∑_{k∈ℤ^{d}} f_{k}e^{2πikx}) = ∑_{k∈ℤ^{d}}(2πik_{j}f_{k})e^{2πikx} .

Wegen der Kommutativität von V = 𝕋^{d} kommutieren die d Derivationen δ_{j}. Die Derivationseigenschaft folgt aus

δ_{j}(f ⋆_{Θ} g) = δ_{j}( ∑_{k,l∈ℤ^{d}} f_{k}g_{l}e^{2πi((k+l)x− \frac{1}{2} kΘl)}) = ∑_{k,l∈ℤ^{d}}(2πi(k_{j} + l_{j})f_{k}g_{l})e^{2πi((k+l)x− \frac{1}{2} kΘl)}
= (δ_{j}f) ⋆_{Θ} g + f ⋆_{Θ} (δ_{j}g) .

Die δ_{j} setzen sich zu unbeschränkten Operatoren auf L^{2}(𝕋^{d}, τ) fort, und der gemeinsame glatte Definitionsbereich ist gerade A_{Θ}. Wegen Stokes’ Theorem τ(δ_{j}f) = 0 sind die δ_{j} antisymmetrisch, δ_{j}^{∗} = −δ_{j}.

Wir betrachten die einfachste Spin-Geometrie auf dem nichtkommutativen Torus durch die Wahl H = ℂ^{2^{[d/2]}} ⊗ L^{2}(𝕋^{d}, τ) und

D = iγ^{μ}δ_{μ} ,

mit den Generatoren {γ^{μ}}_{μ=1,...,d} der Clifford-Algebra des ℝ^{d} und Summation von 1 bis d. Wie üblich ist γ = i^{\frac{d(d+1)}{2}} γ^{1} ⋯ γ^{d} die ℤ_{2}-Graduierung, und es existiert eine Wahl Jξ = γ_{j}\overline{ξ} mit γ_{j} ∈ Cℓ(ℝ^{d}), die eine reelle Struktur der KO-Dimension d liefert. In zwei Dimensionen ist z.B.

D = i ( \begin{matrix}0 & δ_{1} + \overline{σ}δ_{2} \\ δ_{1} + σδ_{2} & 0 \end{matrix} ) ,  γ = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) ,  J = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ∘ c.c.

mit σ = i. Es zeigt sich, daß auch für allgemeines σ ∈ ℂ \ ℝ eine Spin-Struktur erhalten wird [50]. Der Hochschild-Zykel wird aus den elementaren Fourier-Moden u_{j} = e^{2πix^{j}} aufgebaut, d.h. k = e_{j}. Damit ist [D, u_{j}]ξ = −2πγ^{j}u_{j} ⋆_{Θ} ξ (keine Summation), so daß wir setzen:

c = \frac{i^{\frac{d(d−3)}{2}}}{d!(2π)^{d}} ∑_{β∈S_{d}} ϵ(β)(u_{β(1)} ⋆_{Θ} ⋯ ⋆_{Θ} u_{β(d)})^{−1} ⊗ u_{β(1)} ⊗ ⋯ ⊗ u_{β(d)}

Damit ist π_{D}(c) = γ, und man überprüft bc = 0. In zwei Dimensionen gilt mit u = u_{1}, v = u_{2}

c = \frac{1}{8π^{2}i}((v^{−1} ⋆_{Θ} u^{−1}) ⊗ u ⊗ v − (u^{−1} ⋆_{Θ} v^{−1}) ⊗ v ⊗ u) ,
bc = (v ⋆_{Θ} u)^{−1} ⊗ (v ⋆_{Θ} u) − (u ⋆_{Θ} v)^{−1} ⊗ (u ⋆_{Θ} v) .

Aus u ⋆_{Θ} v = e^{2πiθ}v ⋆_{Θ} u folgt bc = 0. Im allgemeinen Fall ist \frac{1}{8π^{2}i} durch \frac{1}{8π^{2}Im(σ)} zu setzen.

Die Vektoren u_{k} = e^{2πikx} sind Eigenvektoren zu D^{2} = Δ1 zum Eigenwert 4π^{2}∥k∥^{2}. Da D das gleiche Spektrum wie im kommutativen Fall hat (isospektrale Deformation), hat D kompakte Resolvente, und der n-te charakteristische Wert von (D + i)^{−1} ist von Ordnung O(n^{− \frac{1}{d}}).

11.3 Spektralwirkung

Der fluktuierte Dirac-Operator ist D_{A} = D + A + ϵ′JAJ^{−1} mit A = A^{∗} = ∑ f_{α}[D, g_{α}] = γ^{μ}A_{μ}, was A_{μ} = \overline{A_{μ}} liefert. Ausgedrückt durch Links-Multiplikation L(a)ξ = a ⋆_{Θ} ξ und Rechtsmultiplikation R(a)ξ = ξ ⋆_{Θ} a gilt

D_{A} = iγ^{μ}(δ_{μ} − i(L(A_{μ}) − R(A_{μ}))) .

Im kommutativen Fall Θ ∈ M_{d}(ℤ) gibt es keine Fluktuationen. Es folgt:

P := D_{A}^{2} = −g^{μν}∇_{μ}∇_{ν} − E , E = −\frac{i}{4}[γ^{μ}, γ^{ν}](L(F_{μν}) − R(F_{μν}))

mit ∇_{μ} = δ_{μ} −i(L(A_{μ})−R(A_{μ})) und F_{μν} = δ_{μ}A_{ν} −δ_{ν}A_{μ} −i(A_{μ} ⋆_{Θ} A_{ν} −A_{ν} ⋆_{Θ} A_{μ}).

Die Spektralwirkung wurde in [20] berechnet. In der Orthonormalbasis (u^{k})_{k∈ℤ^{d}} gilt Tr(e^{−tP}) = tr(τ(u^{−k}e^{−tP} u^{k})), wobei tr die verbleibende Spur in der Clifford-Algebra bezeichnet. Man verwendet

e^{−tP} u^{k} = e^{−4π^{2}∥k∥^{2}t} e^{t((∇_{μ}−2πik_{μ})(∇^{μ}−2πik^{μ})+4πik^{μ}(∇^{μ}−2πik^{μ})+E)}u^{k} ,

entwickelt den zweiten Exponenten in eine Potenzreihe und kommutiert die ∇_{μ} − 2πik_{μ} nach rechts. Dabei entstehen Links- und Rechtsmultiplikationen von mehrfachen kovarianten Ableitungen der Funktionen A_{μ}. Das Ergebnis hat die Form

Tr(e^{−tP}) = ∑ ∑_{k,l,r∈ℤ^{d}} e^{−4π^{2}∥k∥^{2}t}λ_{l}(A, t, k)ρ_{r}(A, t, k) \underbrace{τ(u^{−k} ⋆_{Θ} u^{l} ⋆_{Θ} u^{k} ⋆_{Θ} u^{r})}_{=e^{2πikΘl}δ_{r,−l}} .

Für reine Linksmultiplikationen trägt nur λ_{l} bei, für reine Rechtsmultiplikationen nur ρ_{r}. Dann ist λ_{0} = τ(λ) die gewöhnliche Spur, die mit dem kommutativen Torus übereinstimmt. Die Seeley-de Witt Koeffizienten sind also die klassischen von Gilkey [21]. Die gemischten Beiträge ∑_{k,l∈ℤ^{d}} e^{−4π^{2}∥k∥^{2}t+2πikΘl}λ_{l}(A, t, k)ρ−l(A, t, k) werden unterteilt in l = 0, wo ein Produkt τ(λ)τ(ρ) entsteht, und die verbleibende Summe über l ≠ 0. Bis Ordnung a_{4} tritt in τ(λ)τ(ρ) nur die separate Spur τ(F_{μν})τ(F_{μν}) = 0 auf.

Die Summe über l ≠ 0 wird durch Poisson-Resummierung kontrolliert. Ist der Rang von Θ maximal, dann läßt sich k^{μ} als Ableitung nach Θl schreiben. In den Beiträgen für l ≠ 0 entsteht nach Poisson-Resummierung in k

∑_{k∈ℤ^{d}} e^{−4π^{2}∥k∥^{2}t+2πikΘl} = ∑_{m∈ℤ^{d}} ∫_{ℝ^{d}} ds e^{2πims}e^{−4π^{2}∥s∥^{2}t+2πisΘl} = \frac{1}{(4πt)^{\frac{d}{2}}} ∑_{m∈ℤ^{d}} e^{− \frac{∥Θl+m∥^{2}}{4t}} .

Unter einer Diophantischen Bedingung

inf_{m∈ℤ^{d},l≠0}∥Θl + m∥ ≥ \frac{C}{∥l∥^{1+β}} für C, β > 0

gilt für m ∈ ℤ^{d} eine Abschätzung ∥Θl +m∥^{2} ≥ \frac{C}{∥l∥^{1+β}} + \frac{1}{2}∥m−m_{0}∥^{2} mit m_{0} ∈ ℤ^{d}. Nach Rück-Resummation entsteht eine Abschätzung ∑_{k∈ℤ^{d}} e^{−4π^{2}∥k∥^{2}t+2πikΘl} ≤

C′e^{− \frac{C}{4t∥l∥^{1+β}}}, welche für l ≠ 0 regulär in t → 0 ist und somit nicht zur asymptotischen Entwicklung beiträgt. Die verbleibende Summe über l ist endlich, da λ_{l}ρ−l schnell fallend ist. Insgesamt ist die Spektralwirkung für diophantisches Θ bis zur Ordnung a_{4} identisch mit dem kommutativen Torus, wenn das kommutative Produkt durch ⋆_{Θ} ersetzt wird.

Die Diophantische Bedingung ist z.B. in der Hochschild-Kohomologie von A_{θ} wichtig: Sei b_{j} = dim(H^{j}(A_{θ}, A_{θ}^{∗})), dann gilt b_{0} = b_{2} = 1 und b_{1} = 2 für diophantisches θ, während für nicht-diophantisches θ die H^{j}(A_{θ}, A_{θ}^{∗}) für j = 1, 2 unendlich-dimensionale nicht-Hausdorff-Räume sind [7, Chap. 3, §2.β].

11.4 Projektive Moduln über dem nichtkommutativen 2-Torus

Projektive Moduln E_{(c,d)} über A_{θ} werden für d = 2 klassifiziert durch Paare ganzer Zahlen (c, d) mit c + θd > 0. Entsprechend ist K_{0}(A_{θ}) = ℤ ⊕ θℤ. Die Standard-Realisierung ist E_{(c,d)} = S(ℝ × ℤ_{c}) ≃ (S(ℝ))^{c} mit folgender Rechts-Wirkung der Generatoren u, v von A_{θ} auf ξ ∈ E_{(c,d)}:

(ξu)(x, α) = ξ(x − \frac{cθ + d}{c}, α − 1) , (ξv)(x, α) = exp (2πi(x − \frac{d}{c}α))ξ(x, α) .

Dann ist

(ξuv)(x, α) = exp (2πi(x − \frac{cθ + d}{c} − \frac{d}{c}(α − 1)))ξ(x − \frac{cθ + d}{c}, α − 1)
(ξvu)(x, α) = exp (2πi(x − \frac{d}{c}α))ξ(x − \frac{cθ + d}{c}, α − 1) = e^{2πiθ}(ξuv)(x, α) .

Sei g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL(2, ℤ), det g = ad − bc = 1. Dann wirkt g auf ℝ durch

gebrochen-rationale Transformation gθ = \frac{aθ+b}{cθ+d}, und es kann eine Linkswirkung von A_{gθ} (generiert durch u′, v′) auf E_{(c,d)} erklärt werden durch

(u′ξ)(x, α) = ξ(x − \frac{1}{c}, α − a) , (v′ξ)(x, α) = exp (2πi(\frac{x}{cθ + d} − \frac{α}{c}))ξ(x, α) .

Dann ergibt sich

(u′v′ξ)(x, α) = exp (2πi(\frac{x}{cθ + d} − \frac{α}{c}))ξ(x − \frac{1}{c}, α − a) ,
(v′u′ξ)(x, α) = exp (2πi(\frac{x − \frac{1}{c}}{cθ + d} − \frac{α − a}{c}))ξ(x − \frac{1}{c}, α − a)

= exp (\frac{2πi}{cθ + d} \frac{a(cθ + d) − 1}{c})(u′v′ξ)(x, α) = e^{2πigθ}(u′v′ξ)(x, α) .

Die Linkswirkung von A_{gθ} kommutiert mit der Rechtswirkung von A_{θ}:

(u′(ξv))(x, α) = exp (2πi(x − \frac{d}{c}α))ξ(x − \frac{1}{c}, α − a)

= exp (2πi((x − \frac{1}{c}) − \frac{d}{c}(α − a)))ξ(x − \frac{1}{c}, α − a) = ((u′ξ)v)(x, α) ,

(v′(ξu))(x, α) = exp (2πi(\frac{x − \frac{cθ+d}{c}}{cθ + d} − \frac{α − 1}{c}))ξ(x − \frac{cθ + d}{c}, α − 1)

= exp (2πi(\frac{x}{cθ + d} − \frac{α}{c}))ξ(x − \frac{cθ + d}{c}, α − 1) = ((v′ξ)u)(x, α) .

Die Translationen u′ξu und Rotationen v′ξv sind automatisch assoziativ. Folglich implementiert E_{c,d} eine Morita-Äquivalenz A_{gθ} ≃ A_{θ} (es gibt genau diese).

Ein beliebiger projektiver Modul über A_{θ}, für θ irrational, ist entweder frei oder isomorph zu genau einem E_{(c,d)}. Die (Murray-von-Neumann-)Dimension von E_{(c,d)} = e(A_{θ})^{n} ist gegeben als Spur tr ⊗ τ des Projektors e. Man findet dim(E_{(c,d)}) = cθ + d.

Auf E_{(c,d)} wird eine hermitesche Struktur definiert als [7]:

(ξ|η) = ∑_{m,n∈ℤ}( ∑_{α=0}^{c−1} ∫_{ℝ} dxe^{−2πin(x− \frac{d}{c} α)}ξ̄(x − m\frac{cθ+d}{c}, α − m) η(x, α))u^{m}v^{n} .

Dann ist

(ξ|ηu) = ∑_{m,n∈ℤ}( ∑_{α=0}^{c−1} ∫_{ℝ} dxe^{−2πin(x− \frac{d}{c} α)}ξ̄(x − m\frac{cθ+d}{c}, α − m) η(x − \frac{cθ+d}{c}, α − 1))u^{m}v^{n}

= ∑_{m,n∈ℤ}( ∑_{α=0}^{c−1} ∫_{ℝ} dxe^{−2πin(x− \frac{d}{c} α)}ξ̄(x − m\frac{cθ+d}{c}, α − m) η(x, α))u^{m+1}v^{n}e^{−2πinθ}

= (ξ|η) ⋆_{Θ} u

und

(ξ|ηv) = ∑_{m,n∈ℤ}( ∑_{α=0}^{c−1} ∫_{ℝ} dxe^{−2πi(n−1)(x− \frac{d}{c} α)}ξ̄(x − m\frac{cθ+d}{c}, α − m) η(x, α))u^{m}v^{n}
= (ξ|η) ⋆_{Θ} v .

Schließlich ist

\overline{(η|ξ)} = ∑_{m,n∈ℤ}( ∑_{α=0}^{c−1} ∫_{ℝ} dxe^{2πin(x− \frac{d}{c} α)}ξ̄(x, α) η(x − m\frac{cθ+d}{c}, α − m))v^{−n}u^{−m}

= ∑_{m,n∈ℤ}( ∑_{α=0}^{c−1} ∫_{ℝ} dxe^{−2πin(x−m \frac{cθ+d}{c} − \frac{d}{c} (α−m))}ξ̄(x − m\frac{cθ+d}{c}, α − m) η(x, α))v^{n}u^{m}

= (ξ|η) .

12 Die Connes- Landi-Sphäre [12]

Die 4-Sphäre ist die Untermannigfaltigkeit 𝕊^{4} = {(α, β, z) ∈ ℂ × ℂ × ℝ : αᾱ + ββ̄ + z^{2} = 1} ⊂ ℝ^{5}. Man parametrisiert [12]

α = e^{ix^{1}} cos ϕ sin ψ , β = e^{ix^{2}} sin ϕ sin ψ , z = cos ψ ,
0 ≤ ϕ ≤ \frac{π}{2} , 0 ≤ ψ ≤ π , x, y ∈ [0, 2π] .

Die Algebra C^{∞}(𝕊^{4}) ist eine Unteralgebra der von (e^{iϕ}, e^{iψ}, e^{ix^{1}}, e^{ix^{2}}) erzeugten Algebra, wobei der (e^{ix^{1}}, e^{ix^{2}})-Anteil frei ist, während es für (e^{iϕ}, e^{iψ}) Relationen gibt (sonst wäre es 𝕋^{4}). Wir schreiben

C^{∞}(𝕊^{4}) ∋ f(ϕ, ψ, x^{1}, x^{2}) = ∑_{k∈ℤ^{2}} f_{k}(ϕ, ψ)e^{ikx} ,

mit kx = k_{1}x^{1} + k_{2}x^{2}. Dadurch läßt sich eine 𝕋^{2}-Wirkung auf C^{∞}(𝕊^{4}) erklären als

α_{t}(f_{k}(ϕ, ψ)e^{ikx}) = f_{k}(ϕ, ψ)e^{ik(x+t)}

und lineare Fortsetzung. Die 𝕋^{2}-Wirkung auf 𝕊^{4} ist nicht frei, denn die Pole ψ = 0, π sind Fixpunkte von 𝕋^{2}, und zu jedem ψ sind die Kreise ϕ = 0, \frac{π}{2} fest unter einer 𝕊^{1}-Untergruppe. Die Rieffel-Deformation definiert ein nichtkommutatives Produkt ⋆_{θ} auf C^{∞}(𝕊^{4}):

(f_{k}(ϕ, ψ)e^{ikx}) ⋆_{Θ} (g_{l}(ϕ, ψ)e^{ilx}) = e^{−πikΘl}f_{k}(ϕ, ψ)g_{l}(ϕ, ψ)e^{i(k+l)x} .

Es stellt sich heraus [13], daß die Isometrie α : 𝕋^{2} → SO(T^{∗}𝕊^{4}) nicht direkt auf dem Hilbert-Raum der Schnitte des Spinor-Bündels wirken kann, sondern einen Lift in die Spin-Gruppe erfordert. Es gibt eine zweifache Überlagerung π : 𝕋̃^{2} → 𝕋^{2} durch einen weiteren Torus 𝕋̃^{2}, mit π(±1) = 1, und eine Wirkung τ : 𝕋̃×H → H, so daß τt̃(fη) = α_{π(t̃)}τt̃η. Seien P_{i}ψ = \frac{d}{dh}(τ_{he_{i}}ψ)|_{h=0} die infinitesimalen Generatoren der Wirkung von 𝕋̃^{2}, dann ist P_{i}(e^{ikx}η) = e^{ikx}(P_{i} + k_{i})η. Definieren wir L(f)η := ∑_{k∈ℤ^{2}} f_{k}e^{ikx}e^{−iπkΘP} η, siehe [51], dann ist

L(f)L(g)η = ∑_{k,l∈ℤ^{2}} f_{k}e^{ikx}e^{−iπkΘP} g_{l}e^{ilx}e^{−iπlΘP} η

= ∑_{k,l∈ℤ^{2}} f_{k}g_{l}e^{i(k+l)x}e^{−iπkΘ(P +l)}e^{−iπlΘP} η

= ∑_{k,l∈ℤ^{2}} f_{k}g_{l}e^{i(k+l)x}e^{−iπkΘl}e^{−iπ(k+l)ΘP} η

= ∑_{m∈ℤ^{2}}(f ⋆_{Θ} g)_{m}e^{imx}e^{−iπmΘP} η = L(f ⋆_{Θ} g)η .

Ist D der Dirac-Operator zu einer unter α invarianten Metrik, dann kommutieren D und J mit τ und definieren eine isospektrale Deformation von (A, H, D).

Die Konstruktion läßt sich auf beliebige Mannigfaltigkeiten übertragen, die eine isometrische Torus-Wirkung tragen. Das besondere der Connes-Landi-Sphäre 𝕊_{Θ}^{4} ist, daß sie algebraisch durch Projektoren definiert werden können.

Wir betrachten Projektoren e = e^{∗} = e^{2} ∈ M_{r}(A) und die Chern-Charaktere

ch_{n}(e) = λ_{n}tr((e − \frac{1}{2}) ⊗ \underbrace{e ⊗ ⋯ ⊗ e}_{2n} ) ∈ A ⊗ Ā^{⊗2n} ,

mit Ā = A/ℂ1. Die ch_{n}(e) definieren einen Zykel im (B, b)-Bikomplex, B ch_{n}(e) = b ch_{n+1}(e). Es sei A_{m,r} die von den Komponenten e_{ij} ∈ A erzeugte Algebra, unter den Bedingungen e = e^{2} = e^{∗} und ch_{n}(e) = 0 für 0 ≤ n ≤ m. Über eine Darstellung in L(H) läßt sich eine C^{∗}-Algebra A_{m,r} definieren. Eine Darstellung A_{2,4} → C(𝕊^{4}) wird wie folgt erhalten:

Der Ansatz

e = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1_{2} + z & q \\ q^{∗} & 1_{2} − z \end{matrix} ) ,  q = ( \begin{matrix}α & β \\ −\overline{β} & \overline{α} \end{matrix} ) ,  z ∈ M_{2}(A), α, β ∈ A

der ch_{0}(e) = 0 erfüllt, führt auf

e = e^{∗} ⇔ z = z^{∗}
e^{2} = e ⇔ z^{2} + qq^{∗} = z^{2} + q^{∗}q = 1, zq = qz, zq^{∗} = q^{∗}z .

Dann ist z = z^{∗} ∈ Z[α, ᾱ, β, β̄] und αβ = βα, αβ̄ = β̄α, sowie αᾱ + ββ̄ = ᾱα+β̄β = 1−z^{2}. Eine Lösung (wirklich die allgemeinste?) ist, daß alle z, α, ᾱ, β, β̄ miteinander kommutieren. Die verbleibende Bedingung αᾱ + ββ̄ + z^{2} = 1 liefert die 𝕊^{4}. Man zeigt, daß auch ch_{1}(e) = 0 gilt, und die Forderung ch_{2}(e) = ω (Volumenform) liefert die Geometrie der “runden” 𝕊^{4}.

Die Bedingungen an den Chern-Charakter lassen sich auch durch q =

( \begin{matrix}α & β \\ −λ\overline{β} & \overline{α} \end{matrix} ) erfüllen mit |λ| = 1. Dann folgt αβ = λβα und ᾱβ = λ̄βᾱ, was mit

λ = e^{2πiθ} gerade die Rieffel-Deformation wird. Dann ist

ch_{1}(e) = \frac{1}{8}tr_{4} (( \begin{matrix}z & q \\ q^{∗} & −z \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}dz & dq \\ dq^{∗} & −dz \end{matrix} ) ⊗ ( \begin{matrix}dz & dq \\ dq^{∗} & −dz \end{matrix} ))

= \frac{1}{8}tr_{2}(z⊗(dq⊗dq^{∗} − dq^{∗}⊗dq) + q⊗(dq^{∗}⊗dz − dz⊗dq^{∗}) + q^{∗}⊗(dz⊗dq − dq⊗dz)) .

Weiter ergibt sich

tr_{2}(dq⊗dq^{∗}) = tr_{2}(dq^{∗}⊗dq) = dα ⊗ dᾱ + dβ ⊗ dβ̄ + dᾱ ⊗ dα + dβ̄ ⊗ dβ

und damit, da z diagonal ist, tr_{2}(z⊗(dq⊗dq^{∗} − dq^{∗}⊗dq)) = 0. Ebenso folgt tr_{2}(q⊗dq^{∗}⊗dz − q^{∗}⊗dq⊗dz) = 0 und tr_{2}( − q⊗dz⊗dq^{∗} + q^{∗}⊗dz⊗dq) = 0, also insgesamt ch_{1}(e) = 0. Die Rechnung für ch_{2}(e) ist länglich; man findet

c = ch_{2}(e) = \frac{1}{32}(z ⊗ Γ_{z} + α ⊗ Γ_{α} + β ⊗ Γ_{β} + ᾱ ⊗ Γᾱ + β̄ ⊗ Γβ̄) ,

wobei Γ_{z,α,β,ᾱ,β̄} ∈ \overline{A}^{4} in [12, §III, (20)-(24)] zu finden sind. Dort wird bemerkt, daß bc = 0 aus 600 Summanden besteht.

Über eine Rieffel-Deformation der 𝕊^{7} läßt sich ein deformiertes Hopf-Bündel SU(2) → 𝕊_{Θ}^{7} → 𝕊_{θ}^{4} konstruieren. Details und weitere Anwendungen der deformierten Sphären sind in [35] zu finden.

13 Der Moyal-Raum

Der Moyal-Raum oder nichtkommutative ℝ^{d} entsteht durch Rieffel-Deformation des ℝ^{d} bezüglich der Translationswirkung der Gruppe V = ℝ^{d} auf sich selbst:

(f ⋆_{Θ} g)(x) = ∫_{ℝ^{d}×ℝ^{d}} \frac{dt ds}{(2π)^{d}} f(x + \frac{1}{2}Θt) g(x + s) e^{its} , f, g ∈ S(ℝ^{d}) .

Dann ist A_{Θ} = (S(ℝ^{d}), ⋆_{Θ}) eine assoziative Algebra. Nach Variablentransformation t ↦ 2πt und Θ ↦ \frac{Θ}{2π} entsteht die Formel von Rieffel; da es im Gegensatz zum Torus gibt keine Unterschiede zwischen rationalen, irrationalen und diophantischen Θ gibt, bevorzugt die Literatur die obige Darstellung. Alternativ kann wie beim nichtkommutativen Torus mit den Fourier-Transformierten f(x) =

∫_{ℝ^{d}} \frac{dk}{(2π)^{d}} f̂(k) e^{ikx} gearbeitet werden. Unter Verwendung von ∫_{ℝ^{d}} \frac{ds}{(2π)^{d}} e^{is(t−l)} =

δ(t − l) ergibt sich

{ \atop (f ⋆_{Θ} g)}(l) = ∫_{ℝ^{d}} \frac{dk}{(2π)^{d}} f̂(k)ĝ(l − k) e^{− \frac{i}{2} kΘl} .

Die Theorie der Moyal-Deformation wurde in [22, 49] entwickelt. In [18] findet man eine Zusammenfassung der wichtigsten Resultate sowie den Beweis, daß der Moyal-Raum ein nichtkompaktes spektrales Tripel ist. Zunächst gilt:

i) f ⋆g ∈ S(ℝ^{d}) für f, g ∈ S(ℝ^{d}). Zu f ∈ S(ℝ^{d}) gibt es sogar f_{1}, f_{2} ∈ S(ℝ^{d})

mit f = f_{1} ⋆ f_{2}.
ii) Involution: \overline{f ⋆ g} = ḡ ⋆ f̄.
iii) Leibniz-Regel: ∂_{μ}(f ⋆ g) = (∂_{μ}f) ⋆ g + f ⋆ (∂_{μ}g).
iv) Spur: ∫_{ℝ^{d}} dx (f ⋆ g)(x) = ∫_{ℝ^{d}} dx (g ⋆ f)(x) = ∫_{ℝ^{d}} dx f(x) g(x)

13.1 Die Oszillatorbasis

Es sei d = 2N gerade und rang(Θ) = d. Dann kann eine Orthonormalbasis im ℝ^{d} gewählt werden, in der Θ die folgende Standardform hat:

Θ = ( \begin{matrix}0 & θ_{1} & & & & & 0 \\ −θ_{1} & 0 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 0 & θ_{\frac{d}{2}} \\ 0 & & & & & −θ_{\frac{d}{2}} & 0 \end{matrix} ) , θ_{i} ∈ ℝ .

Dann ist die Gauß-Funktion e(x) = 2^{\frac{d}{2}} exp ( − \frac{1}{θ_{1}} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) − ⋯ − _{\frac{1}{θ_{\frac{d}{2}}}} (x_{d−1}^{2} + x_{d}^{2}))

ein Projektor in A_{Θ}. Der Nachweis genügt für d = 2:

(e ⋆ e)(x) = ∫_{ℝ^{2}×ℝ^{2}} \frac{dt ds}{(2π)^{2}} 4e^{− \frac{1}{θ} (x_{1}+ \frac{θ}{2} t_{2})^{2}− \frac{1}{θ} (x_{2}− \frac{θ}{2} t_{1})^{2}− \frac{1}{θ} (x_{1}+s_{1})^{2}− \frac{1}{θ} (x_{2}+s_{2})^{2}+it_{1}s_{1}+it_{2}s_{2}}

= ∫_{ℝ^{2}×ℝ^{2}} \frac{dt ds}{π^{2}} e^{−(t,s)A\binom{t}{s}+b^{t}\binom{t}{s}− \frac{2}{θ^{2}} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})} = \frac{1}{\sqrt{det A}}e^{\frac{1}{4} b^{t}A^{−1}b− \frac{2}{θ} (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})} ,

mit den Abkürzungen

A = ( \begin{matrix}\frac{θ}{4} & 0 & −\frac{i}{2} & 0 \\ 0 & \frac{θ}{4} & 0 & −\frac{i}{2} \\ −\frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{θ} & 0 \\ 0 & −\frac{i}{2} & 0 & \frac{1}{θ} \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}x_{2} \\ −x_{1} \\ −\frac{2x_{1}}{θ} \\ −\frac{2x_{2}}{θ} \end{matrix} ) .

Damit findet man det A = \frac{1}{4} und b^{t}A^{−1}b = \frac{4}{θ}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}), was e ⋆ e = e liefert. Betrachtet werden die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

a_{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x_{2i−1} + ix_{2i}) , a_{i}^{†} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x_{2i−1} − ix_{2i}) .

Dann gilt für Schwartz-Funktionen e, f in der Multipier-Algebra

a_{i} ⋆ e = 0 ,  e ⋆ a_{i}^{†} = 0 ,  (a_{i} ⋆ a_{j}^{†} − a_{j}^{†} ⋆ a_{i}) ⋆ f = θ_{i}δ_{ij}f ,
(a_{i}^{†} ⋆ a_{j}^{†} − a_{j}^{†} ⋆ a_{i}^{†}) ⋆ f = 0 (a_{i} ⋆ a_{j} − a_{j} ⋆ a_{i}) ⋆ f = 0 .

Definiert man

f_{kl} := ( ∏_{i=1}^{\frac{d}{2}} \frac{1}{\sqrt{k_{i}!l_{i}!θ_{i}^{k_{i}+l_{i}}}} )(a_{1}^{†})^{⋆k_{1}} ⋆ ⋯ ⋆ (a†_{\frac{d}{2}} )^{⋆k_{\frac{d}{2}}} ⋆ e ⋆ (a_{1})^{⋆l_{1}} ⋆ ⋯ ⋆ (a_{\frac{d}{2}} )^{⋆l_{\frac{d}{2}}} ,

für k, l ∈ ℕ^{\frac{d}{2}} , dann gilt

f_{kl} ⋆ f_{mn} = δ_{lm}f_{kn} ,  ∫_{ℝ^{d}} dx f_{mn}(x) = \sqrt{det(2πΘ)}δ_{mn} ,  \overline{f_{kl}} = f_{lk} .

Die Entwicklung f = ∑_{k,l∈ℕ^{\frac{d}{2}}} c_{kl}f_{kl} liefert einen Isomorphismus von Fréchet-Algebren zwischen A_{Θ} und der Matrix-Algebra der schnell fallenden Folgen (c_{kl}). Dabei ist (c_{kl})(c′_{mn}) = (d_{kn}) mit d_{kn} = ∑_{l∈ℕ^{\frac{d}{2}}} c_{kl}c′_{ln}, und die Fréchet-Topologie wird über die Halbnormen

p_{n}((c)) = sup_{|m|≤n} ( ∑_{k,l∈ℕ^{\frac{d}{2}}} |θ^{2m}(k + \frac{1}{2})^{m}(l + \frac{1}{2})^{m}|c_{kl}|^{2})^{\frac{1}{2}}

induziert. Dabei ist m ein Multiindex mit θ^{m} = ∏i=1^{\frac{d}{2}} θ_{i}^{m_{i}}. Über die Normen

∥f∥_{s,t}^{2} := ∑_{k,l∈ℕ^{\frac{d}{2}}} θ^{s+t}(k + \frac{1}{2})^{s}(l + \frac{1}{2})^{t}|c_{kl}|^{2} , s, t ∈ ℝ^{\frac{d}{2}}

und Abschluß lassen sich verschiedene Sobolov-Räume G_{s,t} erklären. Es gilt

∥f ⋆ g∥_{s,t} ≤ ∥f∥_{s,q}∥g∥_{r,t} falls q + r ≥ 0 .

Somit ist G_{t,−t} für jedes t ∈ ℝ^{\frac{d}{2}} eine Banach-Algebra. Weiter ist G_{0,0} = L^{2}(ℝ^{d}) ein Hilbert-Raum, und \{\frac{1}{\sqrt{2πΘ}}f_{kl} : k, l ∈ ℕ^{\frac{d}{2}} \} ist eine Orthonormalbasis. Es gilt A_{Θ} = ⋂_{s,t} G_{s,t}, und daraus ergibt sich, daß A_{Θ} eine Fréchet-prä-C^{∗}-Algebra ist.

13.2 Der Moyal-Raum als nichtkompaktes spektrales Tripel

Nach offensichtlicher Abänderung der Axiome ist A_{Θ} zusammen mit dem undeformierten Hilbert-Raum der L^{2}-Schnitte des Spinorbündels über ℝ^{4} und dem Dirac-Operator D = iγ^{μ}∂_{μ} ein nichtkompaktes spektrales Tripel [18]. Die wichtigste Änderung betrifft die Dimension: man fordert, daß für f ∈ A_{Θ} der Operator L_{Θ}(f)(D^{2} + 1)^{− \frac{1}{2}} kompakt ist mit n-tem charakteristischen Wert von Ordnung O(n^{− \frac{1}{d}}). Der tatsächliche Beweis unter Verwendung von Methoden aus der Streutheorie ist kompliziert.

Die Formulierung der Orientierbarkeit erfordert eine Unitalisierung von A_{Θ}. Die naheliegende Definition ist Lemma 2.1 in [15]. Man setzt

B = {b ∈ A′′_{Θ} : b ∈ dom(δ^{k}) für alle k} .

Es zeigt sich, daß B = {f ∈ C^{∞}(ℝ^{d}) : ∂^{α}f beschränkt für alle α ∈ ℕ^{d} }. Es ist wieder eine Fréchet-prä-C^{∗}-Algebra mit den Halbnormen q_{r}(f) = max_{|α|≤r} ∥∂^{α}f∥_{∞}. Dazu zeigt man q_{s}(f ⋆ g) ≤ C_{rs}q_{r}(f)q_{r}(g) für r ≥ s + d + 2, so daß B abgeschlossen unter ⋆ ist. Die Regularität der Funktionen f ∈ B folgt aus der Formel am Ende von Abschnitt 6.1,

δ̃^{m}L_{Θ}(f)

= ∑_{k=0}^{m}(−1)^{k}\binom{m}{k}\frac{1}{π^{m}} ∫_{0}^{∞} ( ∏_{i=1}^{k} \frac{1}{⟨D⟩^{2} + λ_{i}} )((ad D^{2})^{m+k}L_{Θ}(f))⟨D⟩^{−m} ∏_{j=1}^{m} \frac{dλ_{j} \sqrt{λ_{j}}⟨D⟩}{(⟨D⟩^{2} + λ_{j})^{2}}

zusammen mit (ad D^{2})(L_{Θ}(f)) = L_{Θ}(Δf) − 2L_{Θ}(∂^{μ}f)∂_{μ}.

Es gilt u_{μ} = e^{ix^{μ}} ∈ B, so daß die zum nichtkommutativen Torus analoge Definition des Hochschild-Zykels

c = \frac{i^{\frac{d(d−3)}{2}}}{d!} ∑_{β∈S_{d}} ϵ(β)(u_{β(1)} ⋆_{Θ} ⋯ ⋆_{Θ} u_{β(d)})^{−1} ⊗ u_{β(1)} ⊗ ⋯ ⊗ u_{β(d)} ∈ Z_{d}(B, B)

das Orientierungs-Axiom liefert. Ebenso liefert das J des ℝ^{d} die reelle Struktur. Die Endlichkeits-Bedingung erfordert eine Modifikation der Definition projektiver Moduln im nichtkompakten Fall zu E = eA_{1}^{n} mit A_{1} nichtunital und e = e^{∗} = e ⋆ e ∈ M_{n}(B). Es zeigt sich, daß die Hermitesche Struktur ( | ) : H_{∞} × H_{∞} → A_{1} Werte nicht in A_{Θ} annimmt, sondern in einer größeren Algebra A_{1} = {f ∈ C^{∞}(ℝ^{d}) : ∂^{α}f ∈ L^{2}(ℝ^{d}) für alle α ∈ ℕ^{d} } mit A_{Θ} ⊂ A_{1} ⊂ B. Auch A_{1} ist nicht-unitale Fréchet-prä-C^{∗}-Algebra.

Die Spektralwirkung für den Moyal-Raum wurde in [19] berechnet. Wegen der Nichtkompaktheit der Resolvente ist Tr(e^{−tD_{A}^{2}}) nicht erklärt, so daß die regularisierte Spur Tr(L_{Θ}(f)e^{−tD_{A}^{2}}) berechnet werden muß.

13.3 Quantenfeldtheorie auf dem Moyal-Raum

Ursprünglich hatte man von Quantenfeldtheorien auf nichtkommutativen Räumen erwartet, daß sie frei von Singularitäten sind. Filk zeigte 1996, daß das nicht so ist [17]. 1999 wurde für den nichtkommutativen 4-Torus [33] und den 4-dimensionalen Moyal-Raum [39] gezeigt, daß Yang-Mills-Theorie in Einschleifenordnung renormierbar ist, d.h. daß sich die Singularitäten konsistent vermeiden lassen. Jedoch zeigten sich wenig später ernste Probleme [41] in höherer Schleifenordung (UV/IR-Mischung).

Die Lösung des UV/IR-Problems für skalare Feldtheorien auf dem 4dimensionalen Moyal-Raum besteht in einer durch das Modell dynamisch generierten Deformation des Laplace-Operators [24]. Man findet die folgenden Matrix-Elemente Δ_{mn;kl} := \frac{1}{\sqrt{det(2πΘ)}} ∫_{ℝ^{d}} dx f_{mn}(x)(Δf_{kl})(x) des Laplace-Operators

Δ = −∂^{μ}∂_{μ} in der Matrix-Basis (f_{kl}), zunächst mit Ω = 0:

Δ_{{m^{1} \atop m^{2}} {n^{1} \atop n^{2}} ; {k^{1} \atop k^{2}} {l^{1} \atop l^{2}}}^{Ω} = (\frac{2+2Ω^{2}}{θ} (m^{1}+n^{1}+m^{2}+n^{2}+2))δ_{n^{1}k^{1}}δ_{m^{1}l^{1}}δ_{n^{2}k^{2}}δ_{m^{2}l^{2}}

− \frac{2−2Ω^{2}}{θ} (\sqrt{k^{1}l^{1}} δ_{n^{1}+1,k^{1}}δ_{m^{1}+1,l^{1}} + \sqrt{m^{1}n^{1}} δ_{n^{1}−1,k^{1}}δ_{m^{1}−1,l^{1}})δ_{n^{2}k^{2}}δ_{m^{2}l^{2}}

− \frac{2−2Ω^{2}}{θ} (\sqrt{k^{2}l^{2}} δ_{n^{2}+1,k^{2}}δ_{m^{2}+1,l^{2}} + \sqrt{m^{2}n^{2}} δ_{n^{2}−1,k^{2}}δ_{m^{2}−1,l^{2}})δ_{n^{1}k^{1}}δ_{m^{1}l^{1}} .

Zur Vereinfachung ist θ_{1} = θ_{2} = θ gesetzt. Die Tatsache, daß Δ keine kompakte Resolvente hat, zeigt sich im asymptotischen Verhalten der Matrixelemente der Resolvente und kann direkt mit dem UV/IR-Problem in Verbindung gebracht werden. Führt man aber den Parameter 0 < Ω^{2} ≠ 1 ein, so wird die Resolvente kompakt, und letztendlich das Modell konsistent. Im einzelnen analysiert man die Resolvente durch Diagonalisierung

Δ_{{m^{1} \atop m^{2}} {m^{1}+α^{1} \atop m^{2}+α^{2}} ; {l^{1}+α^{1} \atop l^{2}+α^{2}} {l^{1} \atop l^{2}}}^{Ω} = ∑_{y^{1},y^{2}=0}^{∞} U_{m^{1}y^{1}}^{(α^{1})}U_{m^{2}y^{2}}^{(α^{2})}(\frac{4Ω}{θ}(2y^{1}+2y^{2}+α^{1}+α^{2}+2))U_{y^{1}l^{1}}^{(α^{1})}U_{y^{2}l^{2}}^{(α^{2})} ,

U_{ny}^{(α)} = \sqrt{\binom{α+n}{n}\binom{α+y}{y}} (\frac{1−Ω}{1+Ω})^{n+y}(\frac{2\sqrt{Ω}}{1+Ω})^{α+1} _{2}F_{1}({−n, −y \atop 1+α} |\frac{4Ω}{(1 + Ω)^{2}} ) .

65 Dabei sind die α_{i} ∈ ℕ festgehaltene Indizes der unabhängigen Sektoren, und die Matrix-Elemente der unitären Matrizen (U_{ny}^{(α)}) sind orthogonale Meixner-Polynome. Damit ist sp(Δ^{Ω}) = ℕ + \frac{d}{2}, und der n-te Eigenwert hat Vielfachheit \binom{n+d−1}{n}.

Preliminary version – 9. Februar 2009

Zurückübersetzt in Funktionen entspricht der Ω-Term dem Operator (Δ^{Ω}f)(x) = (Δf)(x)+4Ω^{2}∥Θ^{−1}x∥^{2}f(x), d.h. dem Schrödinger-Operator des harmonischen Oszillators. Kompaktheit der Resolvente ist dann klar. Das Auftreten des Oszillatorpotentials kann als Folge der Langmann-Szabo-Dualität [36] verstanden werden: Gegeben sei eine gerade Anzahl N von Funktionen f_{i} mit ℤ_{2}- modifizierter Fourier-Transformation f̂_{a}(p_{a}) = ∫ d^{4}x e^{(−1)^{a}ip_{a,μ}x_{a}^{μ}}f_{a}(x_{a}). Dann gilt z.B. für N = 4 und reellwertige Funktionen

∫ d^{4}x (ϕ ⋆ ϕ ⋆ ϕ ⋆ ϕ)(x) = ∫ ( ∏_{a=1}^{4} d^{4}x_{a}) ( ∏_{a=1}^{4} f_{a}(x_{a}))V (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

= ∫ ( ∏_{a=1}^{4} \frac{d^{4}p_{a}}{(2π)^{4}} ) ( ∏_{a=1}^{4} f̂_{a}(p_{a}))V̂ (p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}) ,

mit

V̂ (p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}) = (2π)^{4}δ(p_{1}−p_{2}+p_{3}−p_{4}) cos (\frac{1}{2}Θ^{μν}(p_{1,μ}p_{2,ν} + p_{3,μ}p_{4,ν})) ,
V (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = \frac{1}{π^{4} det Θ} δ(x_{1}−x_{2}+x_{3}−x_{4}) cos (2(Θ^{−1})_{μν}(x_{1}^{μ}x_{2}^{ν} + x_{3}^{μ}x_{4}^{ν})) .

Somit ist das integrierte Produkt invariant unter kombinierter Fourier-Transformation und Ersetzung

ϕ̂(p) ↔ π^{2}\sqrt{| det Θ|} ϕ(x) ,  p_{μ} ↔ x̃_{μ} := 2(Θ^{−1})_{μν}x^{ν} ,

Diese Dualitäts-Transformation vertauscht jedoch

∫ d^{4}x f_{1}(x) (−∂^{μ}∂_{μ}f_{2})(x)  ↔  ∫ d^{4}x f_{1}(x) (x̃^{μ}x̃_{μ}f_{2})(x) .

Die Ersetzung des Laplace-Operators durch den Schrödinger-Operator erhält (bis auf Skalierung) die Invarianz unter Langmann-Szabo-Dualität.

Die Konstruktion eines spektralen Tripels zu D^{2} = Δ + ω^{2}x^{μ}x_{μ} ist aktueller Forschungsgegenstand.

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