Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 09/10

Übungen zur Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 3.12.09, bis 10.00 Uhr in den Briefkästen Blatt 7

Alle Lösungen der folgenden Aufgaben erfordern eine Begründung!

Aufgabe 1. Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme:

a)  \begin{aligned}2x_{1} & + & x_{2} & + & 4x_{3} & + & 6x_{4} & = & 3 \\ 3x_{1} & + & 4x_{2} & − & 2x_{3} & + & 3x_{4} & = & 4 \\ −2x_{1} & − & 2x_{2} & + & 6x_{3} & + & 10x_{4} & = & 4 \end{aligned}

b)  ( \begin{matrix}1 + i & −2 & 1 \\ 2 − i & −1 + i & −1 \\ i & −2 − i & 2 + i \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} )

Aufgabe 2. Für welche b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4} ∈ ℚ ist das LGS

u + v − w  + y = b_{1}
v + w  = b_{2}
u  + x + y = b_{3}
v + 3w + x  = b_{4}

– lösbar, aber nicht eindeutig lösbar,

– eindeutig lösbar,

– nicht lösbar?

Aufgabe 3. Für welche t ∈ ℂ ist das folgende LGS eindeutig lösbar?

( \begin{matrix}t & t & −1 \\ 1 & 1 + t & 2t \\ t & 1 + t & t^{2} + 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

Aufgabe 4. Für welche λ ∈ ℝ sind die folgenden Vektoren linear abhängig?

v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )  v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} )  v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ λ \end{matrix} )  v_{4} = ( \begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} )