Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Probeklausur zur Mathematik für Physiker III

Die Klausur wird aus zwei Teilen bestehen:

• Im Teil A, den es in der Probeklausur nicht gibt, wird das theoretische Verständnis der behandelten Themen abgefragt.

• Teil B besteht aus Aufgaben, die mit denen der Probeklausur vergleichbar sind. Alle Lösungsschritte sind nachvollziehbar zu begründen.

Einziges zugelassenes Hilfsmittel ist ein selbst zusammengestelltes A4-Blatt (ein- oder zweiseitig, handgeschrieben oder per Computer) mit Notizen.

Teil B

Aufgabe 1. Es sei y(x) die durch x^{2} + 4x + e^{y} + xy = 1 implizit in einer Umgebung von x_{0} = 0 definierte Funktion. Berechnen Sie das Taylor-Polynom zweiter Ordnung von y(x) im Punkt x_{0} = 0.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Koordinaten und den Wert des Maximums der Funktion F (x, y, z) = z^{2} − xy auf der Menge K = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + z^{2} = 4 , x + y = 2}.

Aufgabe 3. Durch c(t) = (t, t^{2}) werde eine differenzierbare Kurve c : [0, 1] → ℝ^{2} definiert.

a) Berechnen Sie die Bogenlänge L(c).

b) Berechnen Sie das Integral der Differentialform ω(ξ_{1}, ξ_{2}) = (ξ_{2})^{3}dx_{1} + (ξ_{1})^{3}dx_{2} längs c.

Aufgabe 4. Lösen Sie folgende Differentialgleichungen (in einer Umgebung ihrer Anfangsdaten):

a) y′(x) = \frac{(1 + y(x))^{2}}{x} mit y(2) = 3.

b) y′′(x) − 2y′(x) − 3y(x) + e^{x} = 0 mit y(0) = 1 und y′(0) = 0.

Aufgabe 5. a) Bestimmen Sie alle Funktionen v : ℝ^{2} → ℝ, so daß die Funktion f(x, y) = x^{2} − x − y^{2} + e^{x} cos y + iv(x, y) holomorph auf ℂ ist.

b) Berechnen Sie ∫_{−∞}^{∞} dx \frac{cos x}{(1 + x^{2})^{2}} .

Aufgabe 6. Für d, h > 0 sei P = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 0 ≤ z ≤ h , max(|x|, |y|) ≤ d(1 − \frac{z}{h}) eine Pyramide, die als homogener Körper der konstanten Dichte μ > 0 angenommen wird. Berechnen Sie

a) die Masse der Pyramide,

b) die Koordinaten des Schwerpunktes der Pyramide,

c) das Trägheitsmoment der Pyramide bezüglich der z-Achse als Drehachse.