Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 19.10.2010, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Sei f: ℝ^{2} → ℝ definiert durch

f(x, y) = \begin{cases}\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} , & (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases}

(a) Zeige, dass für f im Punkt (0, 0) jede Richtungsableitung existiert.

(b) Zeige, dass f im Punkt (0, 0) nicht differenzierbar ist.

Aufgabe 2. Zeige, dass die Abbildung

P: ℝ^{3} → ℝ^{3}, (r, θ, ϕ) ↦ (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ),

total differenzierbar ist, und berechne ihre Jacobi-Matrix sowie deren Determinante in jedem Punkt.

Aufgabe 3. Seien f: ℝ^{2} → ℝ^{2}, g: ℝ^{2} → ℝ^{3}, h: ℝ^{3} → ℝ definiert durch

f(x, y) = (\begin{matrix}2xy \\ x^{2} − y^{2} \end{matrix}) ,  g(x, y) = (\begin{matrix}sin xy \\ e^{x+y} \\ ln(1 + x^{2}) \end{matrix}) ,  h(x, y, z) = xy^{2}z.

Berechne die Ableitungen Df, Dg, Dh und unter Verwendung der Kettenregel D(g ∘ f) sowie D(h ∘ g)

Aufgabe 4. Sei n ∈ ℕ. Wir identifizieren M(n×n, ℝ) mit ℝ^{n^{2}} mit Hilfe der Abbildung (a_{ij})_{i,j} ↦ (a_{11}, …, a_{1n}, …, a_{n1}, …, a_{nn}). Zeige:

(a) Die Abbildung f: M(n × n, ℝ) → M(n × n, ℝ), A ↦ A^{T} A, ist differenzierbar und für alle A, B ∈ M(n × n, ℝ) gilt (Df)(A)B = A^{T} B + B^{T} A.

(b) Die Matrix-Exponentialfunktion exp: M(n×n, ℝ) → M(n×n, ℝ), A ↦ ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}A^{n}, ist differenzierbar und für alle A, B ∈ M(n × n, ℝ) gilt

(D exp)(A)B = ∑_{k,l=0}^{∞} \frac{1}{(k + l + 1)!}A^{k}BA^{l}
= exp(A)B, falls AB = BA.

(c) Ist X ∈ M(n × n, ℝ) schief-symmetrisch (X^{T} = −X), so ist die Funktion g: ℝ → M(n × n, ℝ), t ↦ exp(tX)^{T} exp(tX), konstant und exp(tX) orthogonal für jedes t ∈ ℝ.