Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 26.10.2010, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Sei F: ℝ^{3} → ℝ^{2} gegeben durch

F (x, y, z) = (\begin{matrix}x + z − e^{x+2y} + e^{x+y+z} \\ x + y + z + \frac{1}{2} sin(x + y + z) \end{matrix}) .

(a) Zeige, dass das Gleichungssystem F (x, y, z) = 0 in einer Umgebung des Ursprungs (0, 0, 0) ∈ ℝ^{3} nach x und y aufgelöst werden kann.

(b) Bestimme das maximale Intervall für z, auf dem die Auflösung in (a) möglich ist.

(c) Bestimme den Tangentialvektor der Lösungskurve aus (a) an der Stelle z = 0.

Aufgabe 2. Sei G: ℝ^{3} → ℝ definiert durch G(x, y, z) = x^{4} + 2x cos y + sin z = 0.

(a) Zeige, dass das Gleichungssystem G(x, y, z) = 0 in einer Umgebung des Ursprungs (0, 0, 0) ∈ ℝ^{3} nach z aufgelöst werden kann.

(b) Bestimme für die Auflösung z(x, y) aus (a) das Tailorpolynom zweiten Grades an der Stelle (x, y) = (0, 0).

Aufgabe 3. Seien n ∈ ℕ, A, B ∈ M(n × n, ℝ), E_{n} ∈ M(n × n, ℝ) die Einheitsmatrix und Spur(B) = ∑_{k=1}^{n} b_{kk} die Spur von B = (b_{ij})_{i,j}. Zeige:

(a) Die Abbildung L_{A}: M(n × n, ℝ) → M(n × n, ℝ), X ↦ AX, ist differenzierbar und (DL_{A})(X)Y = AY.

(b) (D det)(E_{n})B = Spur(B).

(c) (D det)(A)AB = det(A)Spur(B). (Hinweis: Benutze die Gleichung (det ∘L_{A})(X) = det(AX) = det(A) det(X), die Kettenregel sowie (a,b).)

Aufgabe 4. Sei A ∈ M(n × n, ℝ). Zeige:

(a) Die Funktion f: ℝ → ℝ, t ↦ det(exp(tA)), erfüllt die Gleichung f′(t) = f(t)Spur(A) für alle t ∈ ℝ.

(b) Die Funktion g: ℝ → ℝ, t ↦ f(t) exp(−Spur(A)t), ist konstant.

(c) Es gilt det(exp(A)) = exp(Spur(A)).