Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 02.11.2010, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 3

Die Aufgaben 1, 2 und 3 zeigen, dass die O(n), SU(n), U(n) Untermannigfaltigkeiten von ℝ^{n^{2}} bzw. ℝ^{2n^{2}} sind. Gruppen, die gleichzeitig Mannigfaltigkeiten sind, heißen Lie-Gruppen; die zugehörigen Tangentialräume am Einselement der Gruppe tragen die Zusatzstruktur einer Lie-Algebra, und beide Strukturen spielen in der Physik eine fundamentale Rolle.

Aufgabe 1. Sei n ∈ ℕ. Wir identifizieren M(n×n, ℝ) mit ℝ^{n^{2}} wie zuvor und bezeichnen mit E_{n} die n × n-Einheitsmatrix. Sei f: M(n × n, ℝ) → M(n × n, ℝ) definiert durch A ↦ A^{T} A − E_{n}. Zeige:

(a) (Df)(A)B = A^{T} B + B^{T} A und (Df)(A)(BA) = A^{T} (B + B^{T})A für alle A, B ∈ M(n × n, ℝ).

(b) rang((Df)(A)) = n(n + 1)/2 für alle A ∈ GL(n, ℝ).

(c) O(n) ist eine Untermannigfaltigkeit von M(n × n, ℝ) ≅ ℝ^{n^{2}} mit Dimension n(n − 1)/2 und Kodimension n(n + 1)/2.

(d) 𝔬(n) := T_{E_{n}}(O(n)) ist gegeben durch 𝔬(n) = {X ∈ M(n × n, ℝ) : X^{T} = −X}.

Aufgabe 2. Sei n ∈ ℕ. Wir identifizieren wieder M(n × n, ℂ) mit ℂ^{n^{2}} = ℝ^{2n^{2}}. Die Argumentation aus Aufgabe 1 lässt sich auf die Gruppen U(n) und SU(n) übertragen, indem man die Funktion f modifiziert.

(a) Gib die passende Abwandlung von f und deren Ableitung für U(n) und SU(n) an.

(b) Bestimme 𝔲(n) := T_{E_{n}}(U(n)) und 𝔰𝔲(n) := T_{E_{n}}(SU(n)).

Aufgabe 3. Wir verwenden die Bezeichnungen von Aufgabe 1 und Aufgabe 2. Zeige:

(a) exp(𝔲(n)) = U(n) und exp(𝔰𝔲(n)) = SU(n). (Hinweis: Verwende den Logarithmus und die Diagonalisierbarkeit unitärer Matrizen.)

(b) Es gibt eine Umgebung W von E_{n} in M(n × n, ℂ) so, dass (D exp)(A) invertierbar ist für alle A ∈ W. (Hinweis: Nutze die Invertierbarkeit von (D exp)(E_{n}).)

(c) Die Einschränkungen von exp auf W ∩ T_{E_{n}}(U(n)) und W ∩ T_{E_{n}}(SU(n)) sind Immersionen.

Aufgabe 4. Sei a, b, c > 0 und E := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (x/a)^{2} + (y/b)^{2} + (z/c)^{2} = 1}.

(a) Zeige mit Hilfe der Definition 3.1 der Vorlesung, dass E eine Untermannigfaltigkeit von ℝ^{3} ist.

(b) Bestimme T_{p}(E) und N_{p}(E) für jeden Punkt p ∈ E.