Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 09.11.2010, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Sei 0 < r < R und T ⊆ ℝ^{3} die Menge aller Punkte, die man von (r+R, 0, 0) aus durch Nacheinanderausführung

• einer Drehung um die Achse x = R, z = 0 um einen Winkel θ ∈ [0, 2π) und

• einer Drehung um die z-Achse um einen Winkel ϕ ∈ [0, 2π)

erreichen kann.

(a) Zeige mit Hilfe der Funktion f: ℝ^{3} → ℝ, (x, y, z) ↦ (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} − r^{2}, dass T ⊆ ℝ^{3} eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 2 ist.

(b) Beschreibe (x, y, z) ∈ T als Funktionen von ϕ und θ.

(c) Bestimme eine möglichst einfache Basis für den Tangentialraum an T an dem durch ϕ = θ = π/4 bestimmten Punkt. (Hinweis: Verwende (b), nicht (a).)

Aufgabe 2. Sei S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}. Bestimme Koordinaten und Wert des Maximums und Minimums der Funktion F: S^{2} → ℝ, (x, y, z) ↦ x^{4} + y^{4} + z^{4}.

Aufgabe 3. Bestimme Koordinaten und Wert des Maximums und Minimums der Funktion F (x, y, z) = x + y + z auf der Menge K = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + z^{2} = 4, x + y = 2}.

Aufgabe 4. Sei p ∈ (1, ∞) und a ∈ ℝ^{n} mit a_{1} > 0, …, a_{n} > 0. Betrachte die Funktion F: ℝ^{n} → ℝ, x ↦ ∑_{k=1}^{n} a_{k}x_{k}, und die Menge M = {x ∈ ℝ^{n} : ∑_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p} = 1}. Zeige:

(a) max_{x∈M} F (x) = (∑_{k=1}^{n} |a_{k}|^{q})^{1/q}, wobei \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

(b) Für alle x ∈ ℝ^{n} gilt die Hölder-Ungleichung

|∑_{k=1}^{n} a_{k}x_{k}| ≤ (∑_{k=1}^{n} |a_{k}|^{q})^{1/q} (∑_{k=1}^{n} |x_{k}|^{p})^{1/p} .