Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 30.11.2010, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Löse die folgenden Anfangswertprobleme (AWPe):

(a) (t^{2} + t − 2)x′(t) = 3x(t) mit x(0) = 1 für −2 < t < 1.

(b) (t^{2} + 1)x′(t) + 2tx(t) = 1 mit x(0) = 1.

Aufgabe 2. Sei

A(t) := (\begin{matrix}1 & 1 − t \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,  b(t) := (\begin{matrix}t \\ e^{t} \end{matrix}) .

(a) Bestimme ein Lösungs-Fundamentalsystem der linearen DGL x′(t) = A(t)x(t).

(b) Löse das Anfangswertproblem x′(t) = A(t)x(t) + b(t) mit x(0) = (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}).

In den Aufgaben 3 und 4 betrachten wir für ein AWP x′(t) = v(t, x(t)), x(t_{0}) = x^{(0)}, die Lösungs-Approximationen x^{(k)}(t) nach Picard-Lindelöf, definiert durch

x^{(k+1)}(t) = x^{(0)} + ∫_{t_{0}}^{t} ds v(s, x^{(k)}(s)).

Aufgabe 3. Zeige, dass im Fall eines homogenen linearen AWPs x′(t) = A(t)x(t), x(t_{0}) = x^{(0)} gilt:

(a) x^{(2)}(t) = (E + ∫_{t_{0}}^{t} ds_{1}A(s_{1}) + ∫_{t_{0}}^{t} ds_{1} ∫_{t_{0}}^{s_{1}} ds_{2}A(s_{1})A(s_{2})) x^{(0)}; dabei bezeichne E die Einheitsmatrix.

(b) x^{(k)}(t) = ∑_{l=0}^{k} B_{l}(t, t_{0})x^{(0)}, wobei B_{0}(t, t_{0}) = E und

B_{l}(t, t_{0}) = ∫_{t_{0}}^{t} ds_{1}A(s_{1})B_{l−1}(s_{1}, t_{0})

= ∫_{t_{0}}^{t} ds_{1} ∫_{t_{0}}^{s_{1}} ds_{2} ⋯ ∫_{t_{0}}^{s_{l−1}} ds_{l}A(s_{1})A(s_{2}) ⋯ A(s_{l}) für l ≥ 1.

Aufgabe 4. (a) Bestimme x^{(1)}(t) und x^{(2)}(t) für das folgende AWP:

x′_{1}(t) = x_{2}(t)x_{3}(t),  x_{1}(0) = 0,
x′_{2}(t) = −x_{1}(t)x_{3}(t),  x_{2}(0) = 1,
x′_{3}(t) = 2,  x_{3}(0) = 2.

(b) Wir betrachten das AWP

x′(t) = (\begin{matrix}1 & 1 − t \\ 0 & 0 \end{matrix}) x(t),  x(0) = (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}) .

Zeige: Die in Aufgabe 3 (b) definierten Matrizen B_{l}(t, 0) sind gegeben durch

B_{l}(t, 0) = (\begin{matrix}\frac{t^{l}}{l!} & \frac{t^{l}}{l!} − \frac{t^{l+1}}{(l+1)!} \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

(c) Bestimme die Approximationen x^{(k)}(t) für das AWP aus (b) und zeige

lim_{k→∞} x^{(k)}(t) = (\begin{matrix}e^{t} + t \\ 1 \end{matrix}) für alle t ∈ ℝ.