Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 14.12.2010, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Bestimme für die nachfolgenden 1-Formen, ob sie geschlossen sind, und bestimme nach Möglichkeit ein Potential auf dem vorgegebenen Definitionsbereich^{1} (Erraten ist erlaubt):

(a) ω = (xy cos(xy) + sin(xy))dx + x^{2} cos(xy)dy auf ℝ^{2}.

(b) ω = y sin z dx + x sin z dy + xy cos z dz auf ℝ^{3}.

(c) ω = (x − \frac{y}{x^{2}+y^{2}} ) dx + (y + \frac{x}{x^{2}+y^{2}} ) dy auf ℝ^{2} \ \{0\}.

Aufgabe 2. Wir betrachten die 1-Form

ω(x, y, z) = ln(1 + x^{2} + y^{2} + z^{2})(x dx + y dy + z dz).

(a) Ist ω geschlossen?

(b) Sei (x, y, z) ∈ ℝ^{3} und c: [0, 1] → ℝ^{3} gegeben durch t ↦ (tx, ty, tz). Berechne ∫_{c} ω.

(c) Bestimme ein Potential von ω.

Aufgabe 3. Berechne das Kurvenintegral ∫_{c} ω und nutze dabei nach Möglichkeit Wegunabhängigkeit aus (Potentiale erraten sei wieder erlaubt):

(a) ω = (2xy^{3} − y^{2} cos x)dx + (1 − 2y sin x + 3x^{2}y^{2})dy und c: [0, 1] → ℝ^{2}, t ↦ (\frac{π}{2}t^{2}, t).

(b) ω = (e^{x} sin y − 2y sin x)dx + (e^{x} cos y + 2 cos x)dy und c: [0, 2π] → ℝ^{2}, t ↦ (2 cos t, 3 sin t).

Aufgabe 4. Prüfe die folgenden Differentialgleichungen auf Exaktheit, bestimme bei Bedarf einen integrierenden Faktor μ der Form μ = μ(x) und löse die Differentialgleichung:

(a) (2x + 3) + (2y(x) − 2)y′(x) = 0.

(b) (x^{2} + y(x)) − x y′(x) = 0 für x > 0.

1Im Gegensatz zur Vorlesung identifizieren wir Koordinaten (x, y) ∈ ℝ^{2} bzw. (x, y, z) ∈ ℝ^{3} mit ihren Koordinatenfunktionen