Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 21.12.2010, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Seien u, v: ℂ → ℝ stetig differenzierbar, f = u + iv: ℂ → ℂ und

∂_{z}f := \frac{1}{2}(∂_{x}f − i∂_{y}f),  ∂z̄f := \frac{1}{2}(∂_{x}f + i∂_{y}f).

Ferner sei f̄: ℂ → ℂ definiert durch z ↦ \overline{f(z̄)}. Zeige:

(a) f ist genau dann in z ∈ ℂ komplex differenzierbar, wenn ∂z̄f(z) = 0, und in dem Fall gilt f′(z) = ∂_{z}f(z).

(b) \overline{∂_{z}f} = ∂z̄f̄ und \overline{∂z̄f} = ∂_{z}f̄. Sind f und f̄ holomorph, so ist f konstant.

(c) Ist g: ℂ → ℂ reell differenzierbar, so gilt ∂_{z}(fg) = (∂_{z}f)g + f(∂_{z}g). Für alle k, l ∈ ℕ mit k ≥ 1 gilt ∂_{z}(z^{k}z̄^{l}) = kz^{k−1}z̄^{l} und ∂z̄(z^{l}z̄^{k}) = kz^{l}z̄^{k−1}.

Aufgabe 2. (a) Finde eine holomorphe Funktion f: ℂ → ℂ, x+iy ↦ u(x, y)+ iv(x, y), mit u(x, y) = x^{2} − y^{2} − x. (Erraten erlaubt.)

(b) Bestimme alle Punkte z ∈ ℂ, in denen die Funktion f: z ↦ |z|^{4} − 2|z|^{2} komplex differenzierbar ist. (Hinweis: Verwende Aufgabe 1.) In welchen Punkten z ∈ ℂ ist f holomorph?

Aufgabe 3. Berechne folgende Integrale:

(a) ∫_{γ_{±}} dζ \frac{e^{ζ}}{(ζ − 1)(ζ + 1)}, wobei γ_{±}: [0, 1] → ℂ, t ↦ e^{2πit} ± 1.

(b) ∫_{γ} dζ \frac{cos(ζ)^{2} − sin(ζ)^{2}}{(ζ − 2i)^{2}(ζ + 3i)}, wobei γ: [0, 1] → ℂ, t ↦ 2e^{2πit} + 2i.

Aufgabe 4. Sei U ⊆ ℂ offen und f: U → ℂ holomorph. Zeige:

(a) Ist U = ℂ und |f(z)| ≤ A|z| + B für alle z ∈ ℂ und gewisse A, B > 0, so gilt f(z) = az + b für alle z ∈ ℂ und gewisse a, b ∈ ℂ.

(b) (Maximumprinzip) Die Funktion |f| besitzt keine lokalen Maxima in U. Ist |f| stetig auf den Abschluss \overline{U} fortsetzbar, so nimmt |f| sein Maximum auf dem Rand ∂U = \overline{U} \ U an, also sup_{z∈\overline{U}} |f(z)| = sup_{z∈∂U} |f(z)|. (Hinweis: Verwende die Cauchysche Integralformel.)