Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 10/11 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 11.1.2011, vor der Vorlesung in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Der Kotangens ist definiert als cot(z) := cos(z)/ sin(z) für alle z ∈ ℂ. Bestimme:

(a) res_{z=k} \frac{cot(πz)}{z^{2}} für k ∈ ℤ \ \{0\}.

(b) res_{z=0} \frac{cot(πz)}{z^{2}}. (Hinweis: Benutze die Gleichung cot(πz) sin(πz) = cos(πz), um die ersten Glieder der Laurent-Reihe von cot(πz) bei z = 0 zu berechnen.)

Aufgabe 2. Berechne mit Hilfe des Residuensatzes die folgenden Integrale:

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{x^{4} + 5x^{2} + 2}.

(b) ∫_{0}^{2π} dt\frac{1 − a cos t}{1 − 2a cos t + a^{2}} , wobei a ∈ ℝ und |a| ≠ 1.

(Hinweis: Betrachte ∫_{∂K_{1}(0)} \frac{dζ}{ζ−a} und verwende nicht Satz 15.9!)

Aufgabe 3. Zeige schrittweise:

(a) Für t ∈ [0, π] und r > 0 ist |e^{ire^{it}}| < 1. (Hinweis: Das ist einfacher, als es aussieht.)

(b) lim_{r→∞} ∫_{0}^{π} dt |\frac{re^{ire^{it}}}{1 + r^{2}e^{2it}} | = 0.

(c) ∫_{0}^{∞} \frac{cos(x)}{1 + x^{2}} = \frac{π}{2e} (Hinweis: Integriere die Funktion f(z) = e^{iz}/(1 + z^{2})

entlang derselben Kurve wie im Beweis von Satz 15.10).

Aufgabe 4. (Weihnachtsmann-Zusatzaufgabe) Zeige schrittweise:

(a) Seien N ∈ ℤ und x, y ∈ ℝ mit x + iy ∉ ℤπ. Dann gilt:

| cot(x + iy)| ≤ \frac{e^{2|y|} + 1}{e^{2|y|} − 1} und | cot (π(N + 1/2) + iy)| ≤ \frac{e^{2|y|} − 1}{e^{2|y|} + 1}.

(Hinweis: Verwende ohne Beweis die folgende (geometrisch offensichtliche) Relation: |e^{it}a − b| ≥ |a − b| für alle a, b ≥ 0, t ∈ ℝ.)

(b) Sei N ∈ ℕ und γ_{N} die Kurve, die das achsenparallele Quadrat mit Mittelpunkt 0 und Seitenlänge 2N + 1 im positiven Drehsinn mit konstanter Geschwindigkeit 1 (d.h. γ′_{N} ≡ 1) durchläuft. Dann gilt:

lim_{N→∞} ∫_{γ_{N}} dz \frac{π cot(πz)}{z^{2}} = 0.

(c) Es gilt ∫_{γ_{N}} dz \frac{π cot(πz)}{z^{2}} = 2πi( − \frac{π^{2}}{3} + ∑_{n=1}^{N} \frac{2}{n^{2}} ). (Hinweis: Aufgabe 1)

(d) Es gilt ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} .