Grundlagen der Mathematik

Inhalt

I Grundlagen  1
1 Mathematische Aussagen. Mengen und Abbildungen . . . . . . 1
2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion . . . . . . . . . 4
3 Gruppen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II Vektorräume  20
6 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen . . . . . . . . . . . . 20
7 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8 Erzeugendensystem, Basis und Dimension . . . . . . . . . . . 30
III Folgen und Reihen  39
9 Folgen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10 Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Cauchy-Folgen . . . . . . . 45
11 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12 Absolute Konvergenz von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13 Euklidische, unitäre und normierte Vektorräume . . . . . . . . 56
14 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
15 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
IV Metrische Räume und Stetigkeit  75
16 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
17 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
18 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
19 Der Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
20 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
21 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V Differentialrechnung  103
22 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
23 Lokale Extrema, Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
24 Monotonie, höhere Ableitungen, Konvexität . . . . . . . . . . 112
25 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . 117
VI Integralrechnung im Eindimensionalen
VII Lineare Abbildungen
XIII Differenzierbare Abbildungen

Preliminary version – 31. März 2012

Literatur

[1] O. Forster, “Analysis 1,” Vieweg (2006).
[2] K. Königsberger, “Analysis 1,” Springer (2004).
[3] G. Fischer, “Lineare Algebra,” Vieweg (2005).

i

Preliminary version – 31. März 2012

Teil I

Grundlagen

1 Mathematische Aussagen. Mengen und Abbildungen

Die Mathematik basiert auf einer Reihe von Axiomen, d.h. als “wahr” angenommenen Grundaussagen, aus denen dann durch logische Verknüpfungen weitere Aussagen bewiesen, d.h. als “wahr” erkannt werden. Eine mathematische Aussage ist entweder wahr oder falsch, niemals beides.

Sei B eine mathematische Aussage (z.B. 5 > 2). Um zu beweisen, daß B wahr ist, ist eine bereits als wahr erkannte Aussage A zu suchen, aus der B folgt (geschrieben: A ⇒ B). Meist sind in Beweisen mehrere Aussagen zu verknüpfen.

Definition 1.1 Es seien A, B Aussagen. Dann werden Verknüpfungen A∧B (und), A ∨ B (oder), ¬A (nicht), A ⇒ B (folgt) und A ⇔ B (äquivalent) definiert durch die Wahrheitstafel

\begin{matrix}A & B & A ∧ B & A ∨ B & A ⇒ B & A ⇔ B & ¬A \\ w & w & w & w & w & w & f \\ w & f & f & w & f & f & f \\ f & w & f & w & w & f & w \\ f & f & f & f & w & w & w \end{matrix}

In der Analysis müssen wir entsprechende Verknüpfungen für Mengen von Aussagen untersuchen. Dazu einige Bezeichnungen für Mengen: Endliche Mengen kann man durch eine vollständige Liste ihrer Elemente angeben, Schreibweise X = {x_{1}, x_{2}, …, x_{n}}. Dabei ist die Reihenfolge beliebig, und das gleiche Element darf nicht mehrmals auftreten. Die x_{i}, i = 1, …, n, heißen Elemente der Menge X, Schreibweise x_{i} ∈ X. Wenn x kein Element von X ist, schreiben wir x ∉ X. Die leere Menge ∅ enthält kein Element. Eine Menge Y heißt Teilmenge einer Menge X, wenn für jedes Element y ∈ Y gilt y ∈ X. Ist Y ⊂ X, dann ist das Komplement X \ Y definiert als die Menge der x ∈ X mit x ∉ Y. Das direkte Produkt von Mengen X_{1}, …, X_{n} ist erklärt als die Menge aller geordneten n-Tupel:

X_{1} × X_{2} × ⋯ × X_{n} := {(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ X_{i}} .

Speziell schreiben wir X^{n} := \underbrace{X × ⋯ × X}_{n}.

Viele der Konstruktionen aus endlichen Mengen lassen sich auch auf unendliche Mengen übertragen. Wir benötigen vor allem folgende Zahlbereiche: die Menge ℕ = {0, 1, 2 …, } der natürlichen Zahlen, die Menge ℤ = {0, ±1, ±2, … } der ganzen Zahlen, die Menge ℚ der rationalen Zahlen sowie die Menge ℝ der reellen Zahlen. Wir werden später im Detail darauf eingehen und insbesondere auch die Menge ℂ der komplexen Zahlen definieren.

Definition 1.2 (für alle; es gibt) Es sei I eine beliebige Indexmenge und {A_{i} : i ∈ I} ein System von Aussagen.

i) Die Aussage (∀i ∈ I gilt A_{i}) ist wahr genau dann, wenn alle Aussagen A_{i} wahr sind.

ii) Die Aussage (∃i ∈ I mit A_{i}) ist wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen A_{i} wahr ist.

Also ist ∀ die Verallgemeinerung von ∧ und ∃ die Verallgemeinerung von ∨. Einige Folgerungen aus der Definition sind:

• (A ∧ B) ⇒ A ∨ B

• (A ⇔ B) ⇒ (A ⇒ B)

• (A ⇔ B) ⇔ ((A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B))

• A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)

• A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

• (¬A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ A)

Die letzte Eigenschaft ist die Grundlage des indirekten Beweises: Um B zu beweisen, suchen wir eine falsche Aussage A und zeigen, daß A aus der Verneinung von B folgt, also ¬B ⇒ A.

Beispiel 1.3 (Irrationalität von \sqrt{2}) Es sei B die Aussage: \sqrt{2} ist eine irrationale Zahl. Wir gehen von der Negation ¬B aus: Angenommen, \sqrt{2} wäre eine rationale Zahl, also \sqrt{2} = \frac{p}{q} mit p, q ∈ ℤ und q ≠ 0. Durch Kürzen kann erreicht werden, daß p oder q ungerade ist. Es gilt 2 = (\sqrt{2})^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}} , also p^{2} = 2q^{2}. Damit ist p^{2} und dann auch p gerade. Somit ist nach Voraussetzung q ungerade. Da p gerade ist, gibt es ein r ∈ ℤ mit p = 2r. Nun ergibt sich 2 = \frac{4r^{2}}{q^{2}} , also q^{2} = 2r^{2}, d.h. q^{2} und damit auch q ist auch gerade! Wir haben also gezeigt:

\underbrace{(\sqrt{2} ∈ ℚ)}_{¬B} ⇒ \underbrace{(∃q ∈ ℤ, q ≠ 0, mit q ist gerade und ungerade )}_{A} ist wahr.

Da A falsch ist, kann ¬B ⇒ A nur dann wahr sein, wenn ¬B falsch ist, also B wahr, d.h. \sqrt{2} ist irrational. □

Wichtig in indirekten Beweisen ist die korrekte Verneinung der Aussage. Dabei gelten:

• ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
• ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B

• ¬(∀i ∈ I gilt A_{i}) ⇔ ∃i ∈ I mit ¬A_{i}
• ¬(∃i ∈ I mit A_{i}) ⇔ ∀i ∈ I gilt ¬A_{i}

Beispiel 1.4 Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge reeller Zahlen. Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt konvergent, wenn gilt:

Es gibt ein a ∈ ℝ, so daß für alle ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert mit |a_{n} − a| < ϵ für alle n ≥ N.

Die Verneinung ist nicht: “Es gibt kein a ∈ ℝ … ”, sondern:

Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} ist nicht konvergent, wenn für alle a ∈ ℝ gilt: Es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle N ∈ ℕ ein n ≥ N existiert mit |a_{n} − a| ≥ ϵ. ◁

Definition 1.5 Seien X, Y Mengen, dann versteht man unter einer Abbildung von X nach Y eine Vorschrift f, die jedem x ∈ X eindeutig ein f(x) ∈ Y zuordnet. Wir schreiben f : X → Y für die Abbildung zwischen Mengen und f : x ↦ f(x) für die Zuordnung der Elemente. Die Menge

G(f) := {(x, f(x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y

heißt der Graph von f. Mit Abb(X, Y) werde die Menge der Abbildungen von X nach Y bezeichnet.

Beispiel 1.6 Für X = Y = ℝ betrachten wir die Abbildung f : x ↦ x^{2}. Der Graph {(x, x^{2}) : x ∈ ℝ} beschreibt im kartesischen Koordinatensystem eine Parabel. ◁

Definition 1.7 Sei f : X → Y eine Abbildung zwischen Mengen und seien M ⊂ X und N ∈ Y Teilmengen. Dann heißt

f(M) := {y ∈ Y : ∃x ∈ M mit y = f(x)} ⊂ Y

das Bild von M in Y unter f und

f^{−1}(N) := {x ∈ X : f(x) ∈ N} ⊂ X

das Urbild von N in X.

Zu beachten ist, daß für eine einelementige Teilmenge N = {y} das Urbild f^{−1}(y) := f^{−1}({y}) ⊂ X aus mehreren Elementen bestehen kann oder auch leer sein kann. Deshalb ist f^{−1} im allgemeinen keine Abbildung von Y nach X.

Definition 1.8 Eine Abbildung f : X → Y heißt

• injektiv, falls für x, x′ ∈ X aus f(x) = f(x′) stets x = x′ folgt

• surjektiv, falls es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X gibt mit y = f(x)

• bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist

Falls f bijektiv ist, dann ist die Umkehrabbildung f^{−1} : Y → X gegeben durch f^{−1} : y ↦ x = f^{−1}(y) mit y = f(x).

Übung 1.9 Sind folgende Abbildungen f : ℝ^{2} → ℝ^{2} injektiv/surjektiv? (Begründung oder Gegenbeispiel):

a) f : (x, y) ↦ (y + 2, x − 1)

b) f : (x, y) ↦ (xy, x + y) ♢

Seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y sowie g : Y → Z Abbildungen, so ist die Komposition dieser Abbildungen gegeben durch

g ∘ f : X → Z , x ↦ (g ∘ f)(x) := g(f(x)) .

Satz 1.10 Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, d.h. für Abbildungen f : X → Y, g : Y → Z und h : Z → W gilt

h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f : X → W .

Beweis. Für x ∈ X gilt

((h ∘ g) ∘ f)(x) = (h ∘ g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ∘ f)(x)) = (h ∘ (g ∘ f))(x) . □

2 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion

Die Struktur der Menge ℕ der natürlichen Zahlen wird als bekannt vorausgesetzt. In dieser Vorlesung ist 0 ∈ ℕ, für die natürlichen Zahlen ohne 0 schreiben wir ℕ^{×} := ℕ\{0}. Die wichtigste Eigenschaft von ℕ ist, daß für jede Zahl n ∈ ℕ genau ein Nachfolger n+1 existiert, und startend mit 0 wird mit 0, 1, 2, …, n, n+1, … jede natürliche Zahl genau einmal durchlaufen. Daraus ergibt sich das

2.1 Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Es sei N ∈ ℕ, und zu jeder Zahl n ∈ ℕ mit n ≥ N sei eine Aussage A_{n} gegeben. Alle Aussagen A_{n} sind richtig, wenn man (I0) und (I1) beweisen kann:

(I0) A_{N} ist wahr (Induktionsanfang).

(I1) Für beliebiges n ≥ N gilt: Falls A_{n} wahr ist, so ist auch A_{n+1} wahr (Induktionsschritt).

Satz 2.2 Für jedes n ∈ ℕ gilt die Aussage A_{n}: 0 + 1 + ⋯ + n = \frac{1}{2}n(n + 1).

Beweis. i) Wähle N = 0. Offenbar ist A_{0} wahr. ii) Unter der Annahme, daß A_{n} gilt, folgt

\underbrace{0 + 1 + ⋯ + n}_{A_{n}} +(n + 1) = \frac{1}{2}n(n + 1) + (n + 1) = \frac{1}{2}(n + 1)(n + 2) ,

also die Aussage A_{n+1}. □

Da Summen wie in Satz 2.2 häufig vorkommen, vereinbart man das Summenzeichen Σ: Ist für jede ganze Zahl k ∈ ℤ mit m ≤ k ≤ n eine reelle Zahl a_{k} gegeben, dann setzt man

∑_{k=m}^{n} a_{k} := \{ \begin{matrix}a_{m} + a_{m+1} + ⋯ + a_{n} falls & n ≥ m \\ 0 falls & n < m \end{matrix}

(Dabei bedeutet “:=”, daß der links stehende Ausdruck durch die rechte Seite

erklärt wird.) Insbesondere ist ∑_{k=m}^{m} a_{k} = a_{m} und

∑_{k=m}^{n+1} a_{k} = ∑_{k=m}^{n} a_{k} + a_{n+1} .  (*)

Durch letzte Eigenschaft kann man das Summenzeichen rekursiv ähnlich zum Prinzip der vollständigen Induktion definieren: Man wählt als Induktionsanfang

∑_{k=m}^{m−1} a_{k} := 0 und (*) als Induktionsschritt. Weitere Beispiele rekursiver Defini-

tionen sind die Potenzen einer reellen Zahl als x^{1} := x (Induktionsanfang) und x^{n+1} := x · x^{n} (Induktionsschritt). Für x ≠ 0 definiert man außerdem x^{0} := 1. (Der Ausdruck “0^{0}” ist nicht definiert. Jedoch werden wir im weiteren Verlauf des Semesters x^{y} definieren und x^{y} für x, y → 0 untersuchen.) Mit diesen Vorbereitungen beweisen wir

Satz 2.3 (geometrische Summenformel) Es sei x eine von 0 und 1 verschie-

dene reelle Zahl und n ∈ ℕ. Dann gilt ∑_{k=0}^{n} x^{k} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x}.

Beweis. i) Induktionsanfang: Für n = 0 steht auf der linken Seite x^{0} = 1 und auf der rechten Seite \frac{1−x}{1−x} = 1, die Aussage ist also wahr unter der Voraussetzung x ≠ 0 und x ≠ 1. ii) Induktionsschritt:

∑_{k=0}^{n+1} x^{k} = ∑_{k=0}^{n} x^{k} + x^{n+1} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} + x^{n+1} \frac{1 − x}{1 − x} = \frac{1 − x^{n+1}}{1 − x} + \frac{x^{n+1} − x^{n+2}}{1 − x}

= \frac{1 − x^{n+2}}{1 − x} .  □

(Die linke Seite ist auch für x = 1 sinnvoll und ergibt ∑_{k=0}^{n} 1 = n + 1. Fragen wie nach dem Wert der rechten Seite für x → 1 sind typisch für die Analysis.)

Eine Auswahl von Formeln, die durch vollständige Induktion bewiesen werden, ist:

Übung 2.4

∑_{k=0}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}  (Satz 2.2),  ∑_{k=0}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} ,

∑_{k=0}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4} ,  ∑_{k=0}^{n}(2k + 1) = (n + 1)^{2} ,
2^{n+1} + 3 · 7^{n} ist für alle n ∈ ℕ durch 5 teilbar.  ♢

Ähnlich zum Summenzeichen wird auch das Produktzeichen (mit sonst gleichen Bezeichnungen wie zuvor) eingeführt als

∏_{k=m}^{n} a_{k} := \{ \begin{matrix}a_{m} · a_{m+1} ⋯ a_{n} falls & n ≥ m \\ 1 falls & n < m \end{matrix}

Die rekursive Definition ist ∏_{k=m}^{m−1} a_{k} := 1 und ∏_{k=m}^{n+1} a_{k} := a_{n+1} · ∏_{k=m}^{n} a_{k}. Besonders

wichtig ist für n ∈ ℕ der Ausdruck n! (gesprochen “n-Fakultät”) definiert durch

n! := \{ \begin{matrix}∏_{k=1}^{n} k falls & n ≥ 1 , \\ 1 falls & n = 0 , \end{matrix}

also n! = 1 · 2 ⋯ n für n ≥ 1. Außerdem definieren wir für n ∈ ℤ und α ∈ ℝ die Binomialkoeffizienten

\binom{α}{n} := \{ \begin{matrix}\frac{1}{n!} ∏_{k=0}^{n−1}(α − k) , falls & n ≥ 0 , \\ 0 falls & n < 0 . \end{matrix}

Insbesondere gilt \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 für alle n ∈ ℕ und \binom{m}{n} = 0 für m ∈ ℕ

mit m < n. Ist m ∈ ℕ mit m ≥ n, so ergibt sich alternativ die Darstellung

\binom{m}{n} = \frac{m!}{n!(m − n)!}.

Lemma 2.5 Für n, k ∈ ℕ gilt \binom{n + 1}{k + 1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1}.

Beweis. Für k = 0 ist auf der linken Seite \binom{n + 1}{1} = n + 1 und auf der rechten

Seite \binom{n}{0} + \binom{n}{1} = 1 + n, d.h. die Formel gilt für k = 1. Für n = k sind beide Seiten der Gleichung gleich 1 und für k > n verschwinden beide Seiten der Gleichung. Damit verbleibt der Fall n > k ≥ 1:

\binom{n}{k} + \binom{n}{k + 1} = \frac{n!}{k!(n − k)!} + \frac{n!}{(k + 1)!(n − (k + 1))!}

= \frac{n!(k + 1)}{k!(k + 1)(n − k)!} + \frac{n!(n − k)}{(k + 1)!(n − k)(n − k − 1)!}

= \frac{n!(k + 1) + n!(n − k)}{(k + 1)!(n − k)!} = \frac{(n + 1)!}{(k + 1)!(n + 1 − (k + 1))!}

= \binom{n + 1}{k + 1} .  □

Das Lemma ist der Hintergrund für das Pascalsche Dreieck zur Veranschaulichung der Binomialkoeffizienten. Insbesondere ist \binom{n}{k} ∈ ℕ für n, k ∈ ℕ.

Satz 2.6 (Binomialentwicklung) Für reelle Zahlen x, y ≠ 0 und n ∈ ℕ gilt

(x + y)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n−k}.

Beweis. Durch Induktion nach n. i) Induktionsanfang: Für n = 0 ist (x + y)^{0} = 1

und ∑_{k=0}^{0} \binom{0}{k}x^{k}y^{−k} = 1.

ii) Induktionsschritt:

(x + y)^{n+1} = (x + y)(x + y)^{n} = \underbrace{∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k+1}y^{n−k}}_{k+1→l} + \underbrace{∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}x^{k}y^{n+1−k}}_{k→l}

= ∑_{l=1}^{n+1} \binom{n}{l − 1}x^{l}y^{n+1−l} + ∑_{l=0}^{n} \binom{n}{l}x^{l}y^{n+1−l}

= ∑_{l=1}^{n} \underbrace{\{\binom{n}{l − 1} + \binom{n}{l}\}}_{=\binom{n+1}{l}} x^{l}y^{n+1−l} + \underbrace{\binom{n}{n}}_{=\binom{n+1}{n+1}} x^{n+1}y^{0} + \underbrace{\binom{n}{0}}_{=\binom{n+1}{0}} x^{0}y^{n+1}

= ∑_{l=0}^{n+1} \binom{n + 1}{l}x^{l}y^{n+1−l} .  □

Übung 2.7 i) Für n ≥ 1 gilt: ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n} und ∑_{k=0}^{n}(−1)^{n}\binom{n}{k} = 0.

ii) n^{p} − n ist durch p teilbar für jedes n ∈ ℕ und jede Primzahl p. ♢

3 Gruppen und Körper

3.1 Gruppen

Die Erweiterung von ℕ zu den ganzen Zahlen ℤ bewirkt, daß die Subtraktion stets ausführbar ist. Dadurch bildet ℤ eine sogenannte kommutative Gruppe.

Unter einer Verknüpfung oder Komposition auf einer Menge G versteht man eine Abbildung

∗ : G × G → G , ∗ : (a, b) ↦ a ∗ b .

Beispiele sind die Addition ∗ = + und Multiplikation ∗ = · in ℕ, ℤ, ℚ, ℝ. Ein weiteres wichtiges Beispiel ist die Menge G = Abb(X, X) = {f : X → X} der Selbstabbildungen von X mit der Komposition ∗ = ∘ als Verknüpfung, f, g ∈ Abb(X, X) ⇒ f ∘ g ∈ Abb(X, X).

Definition 3.1 Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ∗ heißt Gruppe, falls die folgenden Axiome erfüllt sind:

(G1) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, ∈ G (Assoziativgesetz)

(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G mit e ∗ a = a für alle a ∈ G

(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein a^{−1} ∈ G (das zu a inverse Element) mit a^{−1} ∗ a = e

Die Gruppe heißt kommutativ (oder abelsch), falls außerdem a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G. In diesem Fall schreibt man meist + für die Verknüpfung, 0 für das neutrale Element und −a für das zu a inverse Element.

Gruppen sind sehr wichtig in Mathematik und Naturwissenschaften. Beispiele für Gruppen sind, neben den Zahlbereichen, z.B. Drehungen, Verschiebungen, Spiegelungen; allgemein Bewegungen und Zeitentwicklung, Umordnungen (Permutationen), Symmetrieoperationen, etc.

Wir stellen wichtige Eigenschaften von Gruppen zusammen, die direkt aus den Definitionen folgen.

Satz 3.2 Ist G eine Gruppe, so gilt:

i) Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a∗e = a für alle a ∈ G.

ii) Das inverse Element a^{−1} ist für jedes a ∈ G eindeutig bestimmt, und außerdem gilt a ∗ a^{−1} = e sowie (a^{−1})^{−1} = a und (a ∗ b)^{−1} = b^{−1} ∗ a^{−1}.

iii) Es gelten die Kürzungsregeln a ∗ b′ = a ∗ b ⇒ b = b′  und  b′ ∗ a =

b ∗ a ⇒ b = b′.

Beweis. Sei e ∈ G eines der neutralen Elemente und a ∈ G. Zum Inversen a^{−1} ∈ G gibt es wieder ein Inverses (a^{−1})^{−1} ∈ G, und es gilt

a ∗ a^{−1} = e ∗ (a ∗ a^{−1}) = ((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ (a ∗ a^{−1}) = (((a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1}) ∗ a) ∗ a^{−1}

= ((a^{−1})^{−1} ∗ (a^{−1} ∗ a)) ∗ a^{−1} = ((a^{−1})^{−1} ∗ e) ∗ a^{−1} = (a^{−1})^{−1} ∗ (e ∗ a^{−1})

= (a^{−1})^{−1} ∗ a^{−1} = e

und daraus

a ∗ e = a ∗ (a^{−1} ∗ a) = (a ∗ a^{−1}) ∗ a = e ∗ a = a .

Sei ẽ ∈ G ein weiteres neutrales Element, so gilt aus Sicht von e die Gleichung e ∗ ẽ = ẽ und aus Sicht von ẽ die Gleichung e ∗ ẽ = e, also e = ẽ. Damit ist i) bewiesen und a ∗ a^{−1} = e aus ii).

Sei ã^{−1} ein weiteres Inverses zu a, so gilt

ã^{−1} = ã^{−1} ∗ e = ã^{−1} ∗ (a ∗ a^{−1}) = (ã^{−1} ∗ a) ∗ a^{−1} = e ∗ a^{−1} = a^{−1} ,

also ist das Inverse eindeutig. Damit ist wegen a ∗ a^{−1} = e das Inverse von a^{−1} durch a selbst gegeben. Schließlich gilt

(b^{−1}∗a^{−1})∗(a∗b) = ((b^{−1}∗a^{−1})∗a)∗b = (b^{−1}∗(a^{−1}∗a))∗b = (b^{−1}∗e)∗b = b^{−1}∗b = e

so daß b^{−1} ∗ a^{−1} das Inverse zu a ∗ b ist.

Die Kürzungsregeln folgen nach Verknüpfung von links/rechts mit a^{−1} unter Verwendung der Assoziativität. □

Definition 3.3 Sei G eine Gruppe mit Verknüpfung ∗. Eine nichtleere Teilmenge H ⊂ G heißt Untergruppe, wenn für alle a, b ∈ H auch a ∗ b ∈ H und a^{−1} ∈ H gilt.

Es folgt automatisch e ∈ H (durch Wahl von b = a^{−1}). Ist G eine Gruppe, so sind die Teilmengen H = G und H = {e} Untergruppen. Sie heißen triviale Untergruppen.

Beispiele sind ℤ ⊂ ℚ bezüglich der Addition oder G als Gruppe der Drehungen eines Körpers und H als Untergruppe der Drehungen um eine feste Achse.

3.2 Körper

Die Erweiterung von ℤ zu ℚ bewirkt, daß die Division durch von Null verschiedene Elemente ausführbar wird. Außerdem sind die beiden Verknüpfungen + und · kompatibel. Man sagt, ℚ ist ein Körper:

Definition 3.4 Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen

+ :K × K → K ,  + : (a, b) ↦ a + b  (Addition)
· :K × K → K ,  · : (a, b) ↦ a · b  (Multiplikation)

heißt Körper, wenn folgendes gilt:

(K1) K zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 0 bezeichnet und das zu a ∈ K inverse Element mit −a.

(K2) Sei K^{×} := K \ {0}, dann ist für a, b ∈ K^{×} auch a · b ∈ K^{×}, und K^{×} mit dieser Multiplikation ist eine kommutative Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit 1 bezeichnet und das zu a ∈ K^{×} inverse Element mit a^{−1} = 1/a. Man schreibt auch a/b = a^{−1} · b = b · a^{−1}.

(K3) Es gelten die Distributivgesetze

a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c

für alle a, b, c ∈ K.

Offenbar sind ℚ und ℝ Körper, ℤ ist es nicht. Später werden wir den Körper ℂ der komplexen Zahlen einführen. In der Algebra werden noch viele weitere Körper untersucht, z.B. kann man die zweielementige Menge ℤ_{2} := {0, 1} zu einem Körper machen. In ℚ, ℝ, ℂ schreiben wir die Multiplikation meist als ab statt a · b.

In einem Körper gilt

i) 1 ≠ 0 (da 1 ∈ K^{×} und 0 ∉ K^{×})

ii) a · 0 = 0 · a = 0 (verwende a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0)

iii) a · b = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (aus (K2))

iv) a · (−b) = −(a · b) und (−a) · (−b) = a · b

v) a · b = a · c und a ≠ 0 ⇒ b = c

3.3 Angeordnete Körper

Die rationalen und reellen Zahlen sind dadurch gekennzeichnet, daß gewisse Elemente als positiv ausgezeichnet sind:

Definition 3.5 (Anordnungs-Axiome) Ein Körper K heißt angeordnet, falls eine Teilmenge K_{+}^{×} ⊂ K existiert mit folgenden Eigenschaften:

(A1) Für a ∈ K^{×} ist entweder a ∈ K_{+}^{×} oder −a ∈ K_{+}^{×}.

(A2) Aus a, b ∈ K_{+}^{×} folgen a + b ∈ K_{+}^{×} und ab ∈ K_{+}^{×}.

Die Elemente a ∈ K_{+}^{×} heißen positiv, Schreibweise a > 0.

Offenbar sind ℚ und ℝ angeordnete Körper. Man vereinbart

a > b,  falls a − b > 0
b < a,  falls a > b
a ≤ b,  falls a < b oder a = b
a ≥ b,  falls a > b oder a = b

Ist −a positiv, also a < 0, so heißt a negativ. Ist a ≥ 0, so heißt a nichtnegativ. Die Menge der nichtnegativen rellen Zahlen wird mit ℝ_{+} bezeichnet, die der positiven rellen Zahlen mit ℝ_{+}^{×}. Außerdem ist ℝ^{×} := ℝ \ {0}. Die Anordnung ermöglicht die Darstellung der rellen Zahlen auf der Zahlengeraden.

Alle Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen folgen aus diesen Axiomen. Hier eine Auswahl ohne Beweis.

Lemma 3.6 Es sei K ein angeordneter Körper (z.B. ℝ oder ℚ). Dann gelten:

i) Für beliebige a, b ∈ K gilt genau eine der Relationen a > b, a = b, a < b.

ii) Aus a > b und b > c folgt a > c (Transitivität).

iii) Aus a > b folgen \frac{1}{a} < \frac{1}{b}, a + c > b + c für alle c ∈ K sowie ac > bc für c ∈ K_{+}^{×} und ac < bc für −c ∈ K_{+}^{×}.

iv) Aus a > b und c > d folgt a+c > b+d und im Fall b, d > 0 auch ac > bd.

v) Für a ≠ 0 gilt a^{2} > 0.

Analoge Regeln gelten für “≥”. Indem man n ∈ ℕ mit n1 := \underbrace{1 + ⋯ + 1}_{n mal} ∈ K

identifiziert, kann man ℕ als Teilmenge jedes angeordneten Körpers K auffassen, analog auch ℤ. Indem man \frac{p}{q} ∈ ℚ_{+}^{×} für p ∈ ℕ, q ∈ ℕ \ \{0\} mit (p1)(q1)^{−1} ∈ K identifiziert, kann man ℚ_{+}^{×} und analog auch ℚ als Teilmenge jedes angeordneten Körpers K auffassen.

Definition 3.7 (Absolutbetrag) Es sei K ein angeordneter Körper und a ∈ K. Dann heißt

|a| ∈ K_{+} , |a| := \{ \begin{matrix}a falls & a ≥ 0 \\ −a falls & a < 0 \end{matrix}

der Absolutbetrag von a.

Satz 3.8 Für den Absolutbetrag in einem angeordneten Körper K gilt (mit a, b ∈ K)

i) |a| = | − a|

ii) a ≤ |a|, −a ≤ |a|

iii) |a + b| ≤ |a| + |b| (Dreiecksungleichung)

iv) |ab| = |a||b|

v) ||a| − |b|| ≤ |a − b|

Beweis. i) und ii) folgen aus der Definition. iii) Aus ii) und Lemma 3.6.iv folgen a + b ≤ |a| + |b| und −(a + b) ≤ |a| + |b|, aus der Definition des Betrages dann iii). iv) Durch Fallunterscheidung nach a ≷ 0 und b ≷ 0. v) Aus der Dreiecksungleichung folgt |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b| bzw. |a| − |b| ≤ |a − b|. Vertauschen von a, b liefert |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|, zusammengefaßt damit v). □

Die Dreiecksungleichung (und ihre Verallgemeinerungen) werden wir oft benötigen.

Lemma 3.9 (Bernoullische Ungleichung) Es sei K ein angeordneter Körper (z.B. ℝ oder ℚ).

i) Für alle x ∈ K mit x > −1 und x ≠ 0 und n ∈ ℕ mit n ≥ 2 gilt (1 + x)^{n} > 1 + nx.

ii) Für alle x ∈ K mit x > −1 und n ∈ ℕ gilt (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx.

Beweis. Wir beweisen i) durch Induktion nach n. (1) Induktionsanfang: Für n = 2 ergibt sich (1 + x)^{2} = 1 + 2x + x^{2} > 1 + 2x wegen x^{2} > 0.

(2) Induktionsschritt. Die Bernoullische Ungleichung gelte für n. Dann folgt unter Verwendung von 1 + x > 0 und x^{2} > 0

(1+x)^{n+1} = \underbrace{(1 + x)^{n}}_{>1+nx}(1+x) > (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx^{2} > 1+(n+1)x .

Der Beweis von ii) ist analog. □

Definition 3.10 Ein angeordneter Körper K heißt archimedisch, wenn zusätzlich gilt:

(A3) Zu jedem Element a ∈ K gibt es eine natürliche Zahl n, so daß n − a > 0.

Offenbar sind ℚ und ℝ archimedisch angeordnet.

Satz 3.11 Es sei K ein archimedisch angeordneter Körper und q, R, ϵ ∈ K und n ∈ ℕ. Dann gilt:

i) Ist q > 1, so gibt es zu jedem R ∈ K ein N ∈ ℕ mit q^{n} > R ∀n ≥ N.

ii) Ist 0 < q < 1, so gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit q^{n} < ϵ ∀n ≥ N.

iii) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein n ∈ ℕ^{×} mit 0 < \frac{1}{n} < ϵ.

Beweis. i) Setze q = 1 + x mit x > 0. Nach (A3) gibt es ein N ∈ ℕ mit \frac{R}{x} < N, also Nx > R. Nach Bernoulli gilt q^{N} > 1 + Nx für N ≥ 2, N ∈ ℕ. Für Nx > R ergibt sich q^{N} > 1 + R > R und damit q^{n} > R für alle n ≥ N ≥ 2.

ii) Für 0 < q < 1 ist \frac{1}{q} > 1. Nach i) gibt es ein N ∈ ℕ mit (\frac{1}{q})^{n} > R := \frac{1}{ϵ} für alle n ≥ N. Damit ergibt sich 0 < q^{n} < \frac{1}{R} = ϵ für alle n ≥ N.

iii) Nach (A3) gibt es ein N ∈ ℕ mit 0 < \frac{1}{ϵ} =: R < N. Dann ist N ≥ 1, und es folgt 0 < \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N} < \frac{1}{R} = ϵ für alle n ≥ N. □

4 Reelle Zahlen

Alle bisher eingeführten algebraischen Strukturen gelten gleichermaßen für beide archimedisch angeordneten Körper ℚ und ℝ. Der wesentliche analytische Unterschied ist die Vollständigkeit von ℝ. Wir definieren die Vollständigkeit zunächst geometrisch über Intervallschachtelungen, später über sogenannte Fundamentalfolgen (was sich auf andere Beispiele verallgemeinern läßt).

Definition 4.1 i) Beschränkte Intervalle. Seien a, b ∈ ℝ mit a < b. Wir setzen

[a, b] := {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b} (abgeschlossenes Intervall)
]a, b[ := {x ∈ ℝ : a < x < b} (offenes Intervall)
[a, b[ := {x ∈ ℝ : a ≤ x < b} (rechts halboffenes Intervall)
]a, b] := {x ∈ ℝ : a < x ≤ b} (links halboffenes Intervall)

Die Intervalle [a, b] nennt man auch kompakt. Für alle diese Intervalle I = [a, b],]a, b[, … heißen die Punkte a, b die Randpunkte und die x ∈ ℝ mit a < x < b die inneren Punkte. Für jedes dieser Intervalle I ist Ī:= [a, b] der Abschluß. Die relle Zahl |I| := b − a heißt Länge des Intervalls I.

ii) Unbeschränkte Intervalle. Sei a ∈ ℝ. Wir setzen

\begin{aligned}[a, ∞[ & := \{x ∈ ℝ : a ≤ x\} & ]a, ∞[ & := \{x ∈ ℝ : a < x\} \\ ] − ∞, a] & := \{x ∈ ℝ : x ≤ a\} & ] − ∞, a[ & := \{x ∈ ℝ : x < a\} \end{aligned}

und ] − ∞, ∞[ = ℝ.

Die in i) und ii) angegebenen Intervalle heißen auch echte Intervalle im Unterschied zum unechten Intervall [a, a] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ a} = {a}.

Manchmal werden offene Intervalle auch als (a, b) geschrieben.

Definition 4.2 Eine Intervallschachtelung ist eine Folge I_{0}, I_{1}, I_{2}, …, kompakter Intervalle, kurz (I_{n})_{n∈ℕ}, mit folgenden Eigenschaften:

(I1) I_{n+1} ⊂ I_{n} für alle n ∈ ℕ,

(I2) zu jedem ϵ > 0 gibt es ein Intervall I_{n} mit der Länge |I_{n}| < ϵ.

Eine Formulierung der Vollständigkeit der reellen Zahlen besteht in der Gültigkeit des

4.3 Intervallschachtelungsprinzip. Zu jeder Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} in ℝ existiert ein x ∈ ℝ mit x ∈ I_{n} für alle n ∈ ℕ.

Die so erhaltene reelle Zahl x ist eindeutig bestimmt: Gäbe es zwei solche Zahlen x_{1}, x_{2} mit x_{1} < x_{2}, so müßte das Intervall [x_{1}, x_{2}] in allen I_{n} enthalten sein, und jedes dieser I_{n} hätte eine Länge ≥ x_{2} − x_{1} im Widerspruch zu (I2).

Eine erste Anwendung der Vollständigkeit ist die Existenz der k-ten Wurzeln positiver reeller Zahlen.

Satz 4.4 Zu jeder reellen Zahl x > 0 und jeder natürlichen Zahl k ≥ 1 gibt es genau eine reelle Zahl y > 0 mit y^{k} = x. (Diese wird als y = x^{\frac{1}{k}} oder y = \sqrt[k]{x} geschrieben.)

Beweis. Da aus y_{1} > y_{2} > 0 die Relation y_{1}^{k} > y_{2}^{k} > 0 folgt, kann es höchstens eine positive Lösung geben. Für x = 1 ist y = 1 die einzige Lösung. Wir betrachten zunächst den Fall x > 1 und konstruieren eine Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} mit folgenden Eigenschaften:

(1_{n}) a_{n}^{k} ≤ x ≤ b_{n}^{k}

(2_{n}) |I_{n}| = \frac{1}{2^{n}} |I_{0}| Wir beginnen mit I_{0} := [1, x] als Induktionsanfang. Dann ist (2_{0}) klar, und aus 1 < x folgt 1^{k} ≤ x ≤ x^{k}. Induktionsschritt von n auf n + 1: Gegeben ist I_{n} = [a_{n}, b_{n}] mit (1_{n}) und (2_{n}). Setze m_{n} := \frac{1}{2}(a_{n} +b_{n}) = a_{n} + \frac{1}{2}(b_{n} −a_{n}) (Mittelpunkt) und

a_{n+1} := m_{n} , b_{n+1} := b_{n} falls m_{n}^{k} ≤ x ,
a_{n+1} := a_{n} , b_{n+1} := m_{n} falls m_{n}^{k} > x .

Diese Konstruktion erfüllt (1_{n+1}) und wegen |I_{n+1}| = \frac{1}{2}|I_{n}| auch (2_{n+1}). Nach Satz 3.11 erfüllt (I_{n})_{n∈ℕ} die Eigenschaften einer Intervallschachtelung (Definition 4.2), und nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es genau ein y ∈ ℝ mit y ∈ I_{n} für alle n ∈ ℕ.

Bleibt zu beweisen, daß y^{k} = x. Dazu zeigt man, daß auch (J_{n})_{n∈ℕ} mit J_{n} := [a_{n}^{k}, b_{n}^{k}] eine Intervallschachtelung ist. Der Einschluß J_{n+1} ⊂ J_{n} ist klar, und für die Längen gilt für k > 1

|J_{n}| = b_{n}^{k} − a_{n}^{k} = \underbrace{(b_{n} − a_{n})}_{=|I_{n}|} \underbrace{(b_{n}^{k−1}a_{n}^{0} + b_{n}^{k−2}a_{n}^{1} + ⋯ + b_{n}^{0}a_{n}^{k−1})}_{<kx^{k−1}} < \frac{kx^{k−1}}{2^{n}} |I_{0}| .

Nun liegen nach Konstruktion sowohl x als auch y^{k} in jedem Intervall J_{n}. Da diese in allen Intervallen der Schachtelung liegende reelle Zahl eindeutig ist, gilt y^{k} = x.

Ist 0 < x < 1, so konstruiert man zu \frac{1}{x} > 1 die k-te Wurzel y > 1 mit y^{k} = \frac{1}{x}. Dann ist \frac{1}{y} die k-te Wurzel aus x, denn (\frac{1}{y})^{k} = \frac{1}{y^{k}} = \frac{1}{1/x} = x. □

Übung 4.5 In den Übungen werden das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel definiert und untersucht. Mit diesen lassen sich sehr zweckmäßige Intervallschachtelungen konstruieren. ♢

Definition 4.6 (obere und untere Schranken) Eine Teilmenge M ⊂ ℝ heißt nach oben beschränkt bzw. nach unten beschränkt, wenn es ein s ∈ ℝ gibt, so daß für alle x ∈ M gilt

x ≤ s bzw. x ≥ s .

In diesem Fall heißt s eine obere Schranke bzw. eine untere Schranke. Die Menge M heißt beschränkt, wenn M nach oben und unten beschränkt ist.

Beispiel 4.7 Für a, b ∈ ℝ sind die offenen, halboffenen und abgeschlossenen Intervalle ]a, b[, [a, b[, ]a, b] und [a, b] beschränkt, damit auch nach oben oder unten beschränkt. Aus dem archimedischen Axiom folgt: Die Intervalle [a, ∞] und ]a, ∞] sind nach unten beschränkt, aber nicht beschränkt. Die Intervalle ] − ∞, b[ und ] − ∞, b] sind nach oben beschränkt, aber nicht beschränkt. Das Intervall ] − ∞, ∞[ ist weder nach oben noch nach unten beschränkt. ◁

In einer beschränkten Menge braucht es eine größte oder kleinste Zahl nicht zu geben. Ist I = ]0, 1[, dann gibt es zu jeder Zahl x ∈ I eine größere, z.B. \frac{1+x}{2} > x. Damit ist s = 1 eine obere Schranke von I (und jede reelle Zahl s > 1 ist ebenfalls eine obere Schranke), aber 1 ∉ I. Aber 1 ist die kleinste obere Schranke von I:

Definition 4.8 (Supremum und Infimum) Eine Zahl s ∈ ℝ heißt Supremum der Menge M ⊂ ℝ, geschrieben s = sup M, wenn s die kleinste obere Schranke für M ist, d.h.

i) M ist beschränkt und s ist eine obere Schranke für M.

ii) Jede Zahl s′ < s ist keine obere Schranke für M. Entschrechend ist das Infimum von M ⊂ ℝ die größte untere Schranke, geschrieben inf M.

Beispiel 4.9 Für die Intervalle I gegeben durch ]a, b[, [a, b[, ]a, b] und [a, b] mit a < b gilt jeweils sup I = b und inf I = a. Auf der nach oben abgeschlossenen Seite von [a, b] und ]a, b] wird das Supremum b in I angenommen, es liegt dann ein Maximum vor, wobei max M := {x ∈ M : y ≤ x ∀y ∈ M}. Es gilt dann sup(]a, b]) = max(]a, b]) = b. Dagegen gilt sup([a, b[) = b, aber [a, b[ besitzt kein Maximum. ◁

Satz 4.10 Jede nach oben (unten) beschränkte nichtleere Teilmenge M ⊂ ℝ besitzt ein Supremum (Infimum).

Bemerkung: Das ist eine Formulierung der Vollständigkeit und gilt somit nicht für M ⊂ ℚ. Beweis (für das Supremum). Analog zum Existenzbeweis der k-ten Wurzel (Satz 4.4) konstruiert man eine Intervallschachtelung (I_{n})_{n∈ℕ} mit I_{n} = [a_{n}, b_{n}] derart, daß b_{n} ∈ ℝ eine obere Schranke ist und a_{n} ∈ M keine obere Schranke ist. Man startet mit einem beliebigen a_{0} ∈ M und einer beliebigen oberen Schranke b_{0} und konstruiert per Induktion das Intervall I_{n+1} durch Halbierung von I_{n}. Eine der Hälften hat die geforderten Eigenschaften. □

Umgekehrt folgt das Intervallschachtelungsprinzip aus der Existenz eines Supremums und Infimums für beschränkte Mengen: Es sei (I_{n})_{n∈ℕ} mit I_{n} = [a_{n}, b_{n}] eine Intervallschachtelung. Die Menge A := {a_{0}, a_{1}, … } ist nach oben beschränkt durch jede der oberen Schranken b_{i}. Dann gibt es das Supremum s = sup A ∈ ℝ (kleinste obere Schranke) mit a_{n} ≤ s ≤ b_{n} für alle n ∈ ℕ.

5 Komplexe Zahlen

Die komplexen Zahlen stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der die Gleichung z^{2} + 1 = 0 lösbar ist. Viele Bereiche der Analysis lassen sich ohne Modifikation von den reellen auf die komplexen Zahlen erweitern, und manche Eigenschaften im Reellen lassen sich über den “Umweg” der komplexen Zahlen besser verstehen.

Für den zu bestimmenden Erweiterungskörper ℂ der reellen Zahlen fordern wir:

i) z^{2} + 1 = 0 ist lösbar, und i bezeichne eine Lösung dieser Gleichung.

ii) Für jede reelle Zahl x ∈ ℝ gilt auch x ∈ ℂ.

Dann ist für x, y ∈ ℝ auch z := x + iy ∈ ℂ. Die Körperaxiome (insbesondere Kommutativität und Distributivität) sowie i^{2} = −1 liefern für x, y, u, v ∈ ℝ:

(x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v) ,
(x + iy) · (u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu) .  (*)

Damit ist die Menge der Elemente der Form x + iy abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Aus (x + iy) = (u + iv) folgt (x − u)^{2} = −(y − v)^{2}, also x = u und y = v. Die beiden reellen Zahlen x, y in z = x + iy sind durch z eindeutig definiert.

Satz 5.1 Die mit der Addition und Multiplikation aus (*) versehene Menge ℂ = {z = x + iy : x, y ∈ ℝ} bildet einen Körper, den Körper der komplexen Zahlen.

Beweis. Es sind die Körperaxiome nach Definition 3.4 zu überprüfen. Man findet:

• 0 = 0 + i0 ist das neutrale Element der Addition.

• 1 = 1 + i0 ist das neutrale Element der Multiplikation.

• −z = −x − iy ist bezüglich der Addition das zu z = x + iy inverse Element.

• Nicht so offensichtlich ist das zu z = x + iy ≠ 0 bezüglich der Multiplikation inverse Element: Dieses ist gegeben durch z^{−1} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}} − i\frac{y}{x^{2}+y^{2}} . Entscheidend dabei ist x^{2} + y^{2} ≠ 0 für alle z = x + iy ≠ 0.

Durch Nachrechnen zeigt man die Distributivgesetze. □

Allerdings läßt sich in ℂ keine Anordung ℂ_{+}^{×} definieren, so daß je zwei komplexe Zahlen nicht vergleichbar sind. Gäbe es in ℂ eine Relation >, so wäre nach Lemma 3.6.v) sowohl 1 = 1^{2} > 0 als auch −1 = i^{2} > 0, und dann 0 = 1+(−1) > 0, Widerspruch. Es kann jedoch der Abstand komplexer Zahlen über den Betrag verglichen werden.

Definition 5.2 Für z = x + iy ∈ ℂ heißt • Re(z) := x ∈ ℝ der Realteil von z,

• Im(z) := y ∈ ℝ der Imaginärteil von z

• z̄:= x − iy die zu z konjugiert komplexe Zahl.

• |z| := \sqrt{z · z̄} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} der Betrag von z.

Die Abbildung z ↦ z̄ heißt komplexe Konjugation.

Dabei ist mit \sqrt{x^{2} + y^{2}} ∈ ℝ_{+} die eindeutig bestimmte nichtnegative Wurzel gemeint. Damit folgt für z ≠ 0 die Identität \frac{1}{z} = \frac{z̄}{z·z̄} = \frac{z̄}{|z|^{2}} . Weiter gilt

\overline{z + w} = z̄ + w̄ ,  \overline{z · w} = z̄ · w̄ ,
z + z̄ = 2Re(z) ,  z − z̄ = 2iIm(z) ,
¯z̄ = z ,  z ∈ ℝ ⇔ z = z̄ .

Beispiel 5.3 Es sei z = \frac{1+2i}{3−4i}, gesucht sind Re(z), Im(z) und |z|. Dazu schreiben wir:

z = \frac{1 + 2i}{3 − 4i} = \frac{(1 + 2i)(3 + 4i)}{(3 − 4i)(3 + 4i)} = \frac{1}{25}((1 · 3 − 2 · 4) + i(1 · 4 + 2 · 3)) = −\frac{1}{5} + \frac{2}{5}i .

Somit Re(z) = −\frac{1}{5}, Im(z) = \frac{2}{5} und |z| = \frac{\sqrt{5}}{5}. ◁

Satz 5.4 Für beliebige z, w ∈ ℂ gilt

i) |z| > 0 ⇔ z ≠ 0,
ii) |z̄| = |z|,
iii) |Re(z)| ≤ |z| , |Im(z)| ≤ |z|,
iv) |z · w| = |z| · |w|,
v) |z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung).

Beweis. i),ii),iii) sind klar. Zu (iv) betrachte |zw|^{2} = zw\overline{zw} = zz̄ww̄ = |z|^{2}|w|^{2}. Bleibt die Dreiecksungleichung:

|z + w|^{2} = (z + w)(z̄ + w̄) = |z|^{2} + zw̄ + z̄w + |w|^{2} = |z|^{2} + 2Re(zw̄) + |w|^{2}
≤^{iii)} |z|^{2} + 2|zw̄| + |w|^{2} = |z|^{2} + 2|z||w| + |w|^{2} = (|z| + |w|)^{2} .  □

Es ist nun sehr intuitiv, eine komplexe Zahl z = x + iy als Punkt (x, y) in einem kartesischen Koordinatensystem in der Ebene (Gaußsche Zahlenebene) darzustellen. Nach Pythagoras ist dann |z| gerade der Abstand dieses Punktes vom Ursprung 0 = (0, 0).

[figure: *; (x, y); y; x; ^{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}; 0; α]

Ist z ≠ 0, dann ergeben sich Real- und Imaginärteil in Polarkoordinaten zu x = |z| cos α und y = |z| sin α, so daß wir folgende Darstellung einer komplexen Zahl erhalten:

z = |z|(cos α + i sin α) , 0 ≤ α < 2π .

Die Addition (x, y) + (u, v) := (x + u, y + v) entspricht geometrisch der Addition von Vektoren:

[figure: Im; Re; z; wz; w; z+w; 0; 1]

Die Dreiecksungleichung |z + w| ≤ |z| + |w| entspricht der Tatsache, daß in einem Dreieck die Summe zweier Seitenlängen größer ist als die Länge der verbleibenden Seite.

Die Multiplikation schreibt man am besten in Polarkoordinaten: Ist z = |z|(cos α + i sin α) und w = |w|(cos β + i sin β), dann ergibt sich

zw = |z||w|((cos α cos β − sin α sin β) + i(cos α sin β + sin α cos β))
= |z||w|( cos(α + β) + i sin(α + β)) ,

wobei im letzten Schritt die Additionstheoreme verwendet wurden. Folglich ergibt sich in Polarkoordinaten das Produkt zw durch Multiplikation der Radien und Addition der Winkel von z und w.

Über diese geometrische Deutung der Multiplikation findet man die n-ten Einheitswurzeln, also komplexe Zahlen mit z^{n} = 1. Nach der Eindeutigkeit der reellen Wurzeln gilt |z_{k}| = 1 für jede Lösung z_{k}: die Einheitswurzeln liegen auf dem (Einheits-) Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Damit gilt z_{k} = cos α_{k} + i sin α_{k} und nach der Multiplikationsregel z_{k}^{n} = cos(nα_{k}) + i sin(nα_{k}). Aus z_{k}^{n} = 1 folgt nun nα_{k} = 2πk mit k ∈ ℤ, und die Menge der verschiedenen Lösungswinkel ist somit α = \{\frac{2πk}{n} : k = 0, 1, 2, …, n − 1\}. Folglich hat z^{n} = 1 die n Lösungen z_{k} = cos \frac{2πk}{n} + i sin \frac{2πk}{n} mit k = 0, 1, …, n − 1. Insbesondere hat z^{2} = 1 die Lösungen z = {1, −1}, und z^{4} = 1 hat die Lösungen z = {1, i, −1, −i}. Die 5. Einheitswurzeln lassen sich durch den Goldenen Schnitt g > 1 ausdrücken, g − 1 = \frac{1}{g} = h.

Die Tatsache, daß z^{n} = 1 genau n Lösungen hat, steht in Verbindung zum

5.5 Fundamentalsatz der Algebra. Es sei n > 0. Jede Gleichung

z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{1}z + a_{0} = 0

mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ mindestens eine Lösung.

Nach Polynomdivision hat die Gleichung dann genau n mit Vielfachheit gezählte Lösungen. Der Beweis wird später gegeben, wenn geeignete Methoden erarbeitet sind.

Zusammenfassung Teil I

• ∀ (für alle) und ∃ (es gibt ein) sowie ihre Negationen

• Beweismethoden: indirekter Beweis und vollständige Induktion

• Geometrische Summenformel, Binomialentwicklung

• Rechnen mit Ungleichungen, Dreiecksungleichung, Bernoullische Ungleichung

• Reelle Zahlen: Intervallschachtelungsprinzip; Supremum und Infimum, Maximum und Minumum

• Komplexe Zahlen: i^{2} = −1, Bildung des Inversen, komplexe Konjugation, Betrag, Dreiecksungleichung

Teil II

Vektorräume

6 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

Wir geben hier zunächst eine elementare Einführung in lineare Gleichungssysteme (LGS) und das Standardverfahren zur Bestimmung der Lösung. Eine systematische Untersuchung der Menge der Lösungen erfolgt später, wenn Vektorräume und linearen Abbildungen zwischen ihnen bereitgestellt sind.

Definition 6.1 Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Ein lineares Gleichungssystem über 𝕂 aus m Gleichungen mit n Unbekannten ist ein System der Form

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

wobei die Koeffizienten (a_{ij}) = {a_{11}, …, a_{mn}} ∈ 𝕂 und die b_{1}, …, b_{m} ∈ 𝕂 fest vorgegebene Zahlen sind und das n-Tupel (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} eine zu bestimmende Lösung des Systems ist.

Wichtig ist, daß keine Exponenten wie x_{1}^{2}, x_{2}^{−1}, x_{n}^{3} usw. der x_{i} auftreten.

Beispiel 6.2 Gegeben sei das System

x_{1} + x_{3} = 2  ⇔  1 · x_{1} + 0 · x_{2} + 1 · x_{3} + 0 · x_{4}  = 2
3x_{2} − x_{4} = 6  ⇔  0 · x_{1} + 3 · x_{2} + 0 · x_{3} + (−1) · x_{4}  = 6
x_{2} = −\frac{1}{4}x_{3}  ⇔  0 · x_{1} + 1 · x_{2} + \frac{1}{4} · x_{3} + 0 · x_{4}  = 0 ◁

Offenbar gilt:

Satz 6.3 (elementare Zeilenumformungen) Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} = b_{1}
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} = b_{2}
⋮
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} = b_{m}

Die Menge der Lösungen (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} des Systems bleibt unverändert bei folgenden Typen von Änderungen des Systems:

Typ I Vertauschen zweier Gleichungen.

Typ II Ersetzen der j-ten Gleichung durch die Summe aus der i-ten und j-ten Gleichung und Beibehalten der i-ten Gleichung.

Typ III Multiplikation der i-ten Gleichung mit λ ∈ 𝕂^{×} (d.h. λ ≠ 0).

Die Änderungen vom Typ II und III werden oft zusammen ausgeführt:

Typ IV Ersetzen der j-ten Gleichung durch die Summe aus dem λ-fachen der i-ten Gleichung und der j-ten Gleichung und Beibehalten der i-ten Gleichung.

Alle diese elemenaren Zeilenumformungen lassen sich wieder rückgängig machen. Z.B. Typ II durch

i) Multiplikation der i-ten Gleichung mit (−1)

ii) Addition der neuen i-ten Gleichung zur j-ten

iii) Multiplikation der i-ten Gleichung mit (−1)

und Typ III durch

i) Multiplikation der i-ten Gleichung mit \frac{1}{λ}.

Die Lösungsstrategie besteht darin, durch elementaren Zeilenumformungen das System so umzuformen, daß zumindest eine der Variablen allein steht und abgelesen werden kann. Das Verfahren wird dann für die verbliebenen n−1 Variablen wiederholt, usw. Wir sehen uns das Beispiel 6.2 an:

Beispiel 6.4 I_{ij} bedeutet Vertauschen der Gleichungen i und j und IV_{ij}(λ) bedeutet Addition der λ-fachen i-ten Gleichung zur j-ten:

\begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 3 · x_{2} & + & 0 · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & = & 6 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 0 \end{aligned}

I_{23}, IV_{23}(−3) :  \begin{aligned}1 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & + & 1 · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 2 \\ 0 · x_{1} & + & 1 · x_{2} & + & \frac{1}{4} · x_{3} & + & 0 · x_{4} & = & 0 \\ 0 · x_{1} & + & 0 · x_{2} & − & \frac{3}{4} · x_{3} & + & (−1) · x_{4} & = & 6 \end{aligned}

Geben wir z.B. x_{4} beliebig vor, dann lesen wir ab: x_{3} = −8 − \frac{4}{3}x_{4}, x_{2} = 2 + \frac{1}{3}x_{4} und x_{1} = 10 + \frac{4}{3}x_{4}. ◁

Das ist eine typische Situation: in Lösungen linearer Gleichungssysteme können manche Variablen beliebig gewählt werden, andere sind eindeutig bestimmt, oder es kann auch gar keine Lösung geben. Wir werden im 2. Semster Methoden erarbeiten, mit denen die Menge der Lösungen eines LGS charakterisiert werden kann. Zunächst führen wir eine Matrixschreibweise ein, mit der lineare Gleichungssysteme und die elementaren Zeilenumformungen sich übersichtlicher schreiben lassen.

Definition 6.5 Ein Schema der Form

A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} )

mit a_{ij} ∈ 𝕂 für alle 1 ≤ i ≤ m und 1 ≤ j ≤ n heißt m × n-Matrix (über 𝕂). Die Menge aller m × n-Matrizen über 𝕂 wird mit M(m × n, 𝕂) bezeichnet.

Man schreibt auch A = (a_{ij}) _{\begin{matrix}i = 1, …, m \\ j = 1, …, n \end{matrix}} oder, wenn die Größe m×n klar ist, auch

A = (a_{ij}), mit dem Eintrag a_{ij} auf der Kreuzung der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte. Der erste Index ist also der Zeilenindex, der zweite Index der Spaltenindex.

Wir identifizieren M(n × 1, 𝕂) mit 𝕂^{n}, d.h. wir schreiben Elemente aus 𝕂^{n}

in der Regel als Spalten x = (x_{i})_{i=1,...,n} = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ). Sind x = ( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) , y =

( y_{1} ; ⋮ ; y_{n} ) ∈ 𝕂^{n} und ist λ ∈ 𝕂, so erklärt man die Addition und die Multiplikation

mit Skalaren durch

x + y := ( x_{1} + y_{1} ; ⋮ ; x_{n} + y_{n} ) und λx := ( λx_{1} ; ⋮ ; λx_{n} ) .

Schließlich erklären wir eine Matrixmultiplikation · : M(m×n, 𝕂)×𝕂^{n} → 𝕂^{m} wie folgt:

( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} \end{matrix} ) · ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) := ( a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + ⋯ + a_{1n}x_{n} ; a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + ⋯ + a_{2n}x_{n} ; ⋮ ; a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + ⋯ + a_{mn}x_{n} ) .

Die Größe der Matrizen muß dabei passen, d.h. ein Produkt M(m × n, 𝕂) × 𝕂^{l} ist für l ≠ n nicht erklärt! Ist also A = (a_{ij}) _{\begin{matrix}i = 1, …, m \\ j = 1, …, n \end{matrix}} und x = (x_{j})_{j=1,...,n}, so ist

A · x = b = (b_{i})_{i=1,...,m} mit b_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}.

Beispiel 6.6 Sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 & 5 \\ 9 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ M(3 × 4, ℝ) und x = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ −1 \\ −2 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4},

so ist

A · x = ( \begin{matrix}1 · 1 + 2 · 2 + 3 · (−1) + 4 · (−2) \\ 8 · 1 + 7 · 2 + 6 · (−1) + 5 · (−2) \\ 9 · 1 + 0 · 2 + 1 · (−1) + 2 · (−2) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−6 \\ 6 \\ 4 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3} .

◁

Damit läßt sich ein lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten schreiben als A · x = b, wobei A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m} gegeben sind und die Lösung x ∈ 𝕂^{n} gesucht ist. Wir können nun die elementaren Zeilenumformungen des LGS A · x = b in Matrixschreibweise formulieren: Typ I Vertauschen zweier Zeilen von A und der entsprechenden Einträge von

b.

Typ II Ersetzen der j-ten Zeile von A durch die Summe aus der i-ten und j-ten Zeile und Beibehalten der i-ten Zeile, sowie Ersetzen des j-ten Eintrags von b durch die Summe aus i-tem und j-tem Eintrag von b und Beibehalten des i-ten Eintrags von b.

Typ III Multiplikation der i-ten Zeile von A und des i-ten Eintrags von b mit λ ∈ 𝕂^{×}.

Typ IV Ersetzen der j-ten Zeile von A durch die Summe aus dem λ-fachen der i-ten Zeile und der j-ten Zeile und Beibehalten der i-ten Zeile, und entsprechend für die Einträge von b.

Man sieht dabei, daß die elementaren Zeilenumformungen an der Lösung x = (x_{j}) nichts ändern. Deshalb kann x gefahrlos weggelassen werden und die Zeilenumformungen einheitlich für die erweiterte Koeffizientenmatrix

(A|b) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & … & a_{1n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & … & a_{2n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{m1} & a_{m2} & … & a_{mn} & b_{m} \end{matrix} )

durchgeführt werden.

Beispiel 6.7 Wir wiederholen die Schritte aus Beispiel 6.4:

( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & −1 & 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \end{matrix} ) ⟶^{\begin{matrix}I & 23 \\ IV_{13}(−3) \end{matrix}}  ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −\frac{3}{4} & −1 & 6 \end{matrix} )

Eine solche Matrix heißt in Zeilenstufenform. Durch Zeilenumformung vom Typ III kann erreicht werden, daß die erste von Null verschiedene Zahl jeder Zeile zu 1 wird:

⟶^{III_{3}(− \frac{4}{3} )} ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & −8 \end{matrix} )

Schließlich kann mit Typ IV erreicht werden, daß alle Zahlen oberhalb der ersten 1 jeder Zeile zu Null werden:

⟶^{IV_{32}(− \frac{4}{3} ), IV_{31}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −\frac{4}{3} & 10 \\ 0 & 1 & 0 & −\frac{1}{3} & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} & −8 \end{matrix} )

Die Lösung ist damit (wie zuvor) x_{3} = −8− \frac{4}{3}x_{4}, x_{2} = 2+ \frac{1}{3}x_{4} und x_{1} = 10+ \frac{4}{3}x_{4}. ◁

Eine nützliche Definition ist also

Definition 6.8 Eine Matrix A ∈ M(m × n, 𝕂) heißt in Zeilenstufenform, falls gilt:

i) Es gibt eine Zahl r ≤ m, so daß die Zeilen mit Index i = 1, …, r nicht identisch Null sind, während die Zeilen mit Index i = r + 1, …, m identisch Null sind.

ii) Bezeichne j_{i} := min{j : a_{ij} ≠ 0} den kleinsten Spaltenindex der Zeilen i = 1, …, r mit Eintrag ≠ 0, so gilt j_{1} < j_{2} < ⋯ < j_{r}.

Beispiel 6.9 Ein Beispiel für eine Matrix in Zeilenstufenform ist also:

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )
◁

Satz 6.10 Jede Matrix A ∈ M(m×n, 𝕂) läßt sich durch endlich viele elementare Zeilenumfomungen auf spezielle Zeilenstufenform

Ã = ( \begin{matrix}0 & … & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & … \\ 0 & … & 0 & 0 & 0 & … & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 & ∗ & … & ∗ & 0 & … \\ 0 & & & & & … & & & & & 0 & 1 & ∗ & … & ∗ & 0 \\ 0 & & & & & & & & & … & & & & & 0 & 1 & … \\ ⋮ & & & & & & & & & … & & & & & & & ... \end{matrix} )

bringen mit a_{ij_{i}} = 1 und a_{kj_{i}} = 0 für k ≠ i, wenn j_{i} := min{j : a_{ij} ≠ 0}. Ein ∗ steht für ein beliebiges Element aus 𝕂. Jede Zeile wird nach einer Reihe von Nullen mit 1 begonnen, und zwar später als in jeder der vorangehenden Zeilen. Oberhalb und unterhalb der führenden 1 sind alle Einträge Null.

Beweis. Suche die erste Spalte j, die nicht identisch Null ist. Durch Zeilenvertauschung (Typ I) läßt sich erreichen, daß der erste Eintrag a_{1j} dieser Spalte ≠ 0 ist. Teile die erste Zeile durch diesen Eintrag a_{1j} (Typ III). Diese neue erste Zeile wird nun festgehalten. Addiere zu jeder Zeile i = 2, … m das (−a_{ij})-fache der neuen ersten Zeile (Typ IV). Dadurch wird a_{ij} = 0 für alle i > 1. Wiederhole das Verfahren für die Zeilen 2 bis m, wobei j nun der kleinste Spaltenindex mit einem a_{ij} ≠ 0 für i = 2, …, m ist, u.s.w. Das Ergebnis ist eine Matrix in Zeilenstufenform, wobei jede Zeile nach einer Reihe von Nullen mit 1 begonnen wird. Durch erneute Umformungen vom Typ IV werden dann (wie in Beispiel 6.7) oberhalb der führenden 1 jeder Zeile die Einträge auf 0 gebracht. □

Definition 6.11 Die Anzahl der Zeilen einer Matrix A ∈ M(m × n, 𝕂), die nach Überführung in Zeilenstufenform nicht identisch Null sind, heißt der Rang von A, geschrieben rang(A).

Wir werden später sehen, daß der Rang unabhängig von der Wahl der elementaren Zeilenumformungen ist.

Liegt die erweiterte Koeffizientenmatrix in spezieller Zeilenstufenform vor (was nach Satz 6.10 durch elementare Zeilenumformungen immer erreicht werden kann, wobei sich nach Satz 6.3 die Menge der Lösungen des LGS nicht ändert), so läßt sich die Lösung des LGS A · x = b mit A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m} wie folgt ermitteln:

Satz 6.12 (Gaußsches Eliminationsverfahren) Es sei A · x = b ein lineares Gleichungssystem, A ∈ M(m × n, 𝕂) und b ∈ 𝕂^{m}. Die erweiterterte Koeffizientenmatrix (A|b) liege in spezieller Zeilenstufenform vor.

• Ist rang(A|b) ≠ rang(A) = r, d.h. b_{r+1} ≠ 0, so gibt es keine Lösung, denn die (r + 1)-te Gleichung 0 = ∑_{j=1}^{n} a_{r+1,j}x_{j} = b_{r+1} ist nicht lösbar.

• Ist rang(A|b) = rang(A), so sind die n − r Variablen x_{k} mit k ∉ {j_{1}, …, j_{r}} im Sinne von Definition 6.8.ii), welche also Stufen der Länge ≥ 2 entsprechen, freie Variablen. Sie können beliebig aus 𝕂 gewählt werden.

• Die verbleibenden x_{j_{i}} mit i = 1, …, r sind gebundene Variablen, deren Wert sich nach Wahl der freien x_{k} bestimmt zu x_{j_{i}} = b_{i} − ∑_{k∉{j_{1},...,j_{r}}} a_{ik}x_{k}. □

Offenbar gilt: Für n = r ist die Lösung eindeutig bestimmt, für m = r (keine Nullzeilen) ist das LGS für alle b ∈ 𝕂^{m} lösbar. Achtung: die sofortige Lösung des LGS durch x_{j_{i}} = b_{i} − ∑_{k∉{j_{1},...,j_{r}}} a_{ik}x_{k} ist nur richtig, wenn (A|b) in spezieller Zeilenstufenform vorliegt.

Mit y = ( x_{j_{1}} ; ⋮ ; x_{j_{r}} ) ∈ 𝕂^{r} für die gebundenen Variablen und w = ( x_{k_{1}} ; ⋮ ; x_{k_{n−r}} ) ∈

𝕂^{n−r} mit k_{1} < ⋯ < k_{n−r} ∉ {j_{1}, …, j_{r}} für die freien Variablen und Zusammenfassung der Matrixelemente c_{il} := a_{ik_{l}} zu einer Matrix C = (c_{il}) ∈ M(r × (n − r), 𝕂) ergibt sich die Lösung von A · x = b (in spezieller Zeilen-

stufenform) zu y = b̃ − C · w mit w ∈ 𝕂^{n−r} beliebig und b̃ = ( b_{1} ; ⋮ ; b_{r} ) ∈ 𝕂^{r}.

Beispiel 6.13 In Beispiel 6.9 mit b_{5} = 0 ergibt sich nach elementaren Zeilenumformungen

{ \atop (A|b)} = ( \begin{matrix}1 & 0 & \frac{11}{9} & 0 & 0 & 0 & b_{1} − \frac{2}{9}b_{2} − \frac{22}{9}b_{3} + \frac{11}{9}b_{4} \\ 0 & 1 & \frac{8}{9} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{9}b_{2} − \frac{7}{9}b_{3} + \frac{8}{9}b_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & −1 & b_{3} − 2b_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & b_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Als Lösung ergibt sich

( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}b_{1} − \frac{2}{9}b_{2} − \frac{22}{9}b_{3} + \frac{11}{9}b_{4} \\ \frac{1}{9}b_{2} − \frac{7}{9}b_{3} + \frac{8}{9}b_{4} \\ b_{3} − 2b_{4} \\ b_{4} \end{matrix} ) − ( \begin{matrix}\frac{11}{9} & 0 \\ \frac{8}{9} & 0 \\ 0 & −1 \\ 0 & 2 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}x_{3} \\ x_{6} \end{matrix} )

mit x_{3}, x_{6} ∈ ℝ beliebig. Die gebundenen Variablen sind also x_{5} = b_{4} − 2x_{6}, x_{4} = b_{3}−2b_{4}+x_{6}, x_{2} = \frac{1}{9}b_{2}− \frac{7}{9}b_{3}+ \frac{8}{9}b_{4}− \frac{8}{9}x_{3} und x_{1} = b_{1}− \frac{2}{9}b_{2}− \frac{22}{9}b_{3}+ \frac{11}{9}b_{4}− \frac{11}{9}x_{3}. ◁

7 Vektorräume

Vektorräume sind der zentrale Gegenstand der linearen Algebra.

Definition 7.1 Sei K ein Körper. Eine Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung + : V × V → V (der Addition) und einer äußeren Verknüpfung · : K × V → V (Multiplikation mit Skalaren) heißt Vektorraum über K, wenn gilt:

(V1) V zusammen mit der Addition ist eine kommutative Gruppe. (Wie üblich wird das neutrale Element wird mit 0 ∈ V bezeichnet und das zu v ∈ V inverse Element mit −v.)

(V2) Für die Multiplikation mit Skalaren gilt

(λ + μ) · v = λ · v + μ · v ,  λ · (v + w) = λ · v + λ · w ,
λ · (μ · v) = (λμ) · v ,  1 · v = v ,

für alle λ, μ ∈ K und v, w ∈ V.

Ein Element eines Vektorraums V heißt Vektor.

Die wichtigsten Fälle sind Vektorräume über K = ℝ und K = ℂ, und schreiben oft auch 𝕂 statt K. Wir sprechen dann von reellen bzw. komplexen Vektorräumen.

Satz 7.2 In einem Vektorraum über K gilt

i) 0 · v = 0 ∈ V ∀v ∈ V
ii) λ · 0 = 0 ∈ V ∀λ ∈ K
iii) (−1) · v = −v ∀v ∈ V
iv) λ · v = 0 ∈ V ⇔ λ = 0 oder v = 0

Beweis. Beweis von i),ii),iii) analog zu Körpern am Ende von 3.2. iv): Ist λ · v = 0, aber λ ≠ 0, so gilt v = 1 · v = (λ^{−1}λ) · v = λ^{−1} · (λ · v) = 0. □

Beispiel 7.3 (für Vektorräume)

i) K^{n} = {x = (x_{1}, …, x_{n}) : x_{i} ∈ K} ist ein Vektorraum mit Addition

(x_{1}, …, x_{n}) + (y_{1}, …, y_{n}) := (x_{1} + y_{1}, …, x_{n} + y_{n})

und skalarer Multiplikation

λ · (x_{1}, …, x_{n}) := (λx_{1}, …, λx_{n}) .

Wir schreiben Vektoren aus K^{n} oft auch als Spalten statt als Zeilen.

ii) Der Vektorraum M(m×n, K) der (m×n)-Matrizen mit Einträgen aus K ist ein Vektorraum mit komponentenweiser Addition und skalarer Multiplikation: Schreiben wir A = (a_{ij}), B = (b_{ij}) ∈ M(m × n, K), so ist

A + B := (a_{ij} + b_{ij}) , λ · A := (λa_{ij}) .

iii) ℂ kann als reeller Vektorraum aufgefaßt werden durch · : ℝ × ℂ → ℂ, (λ, x + iy) ↦ λx + iλy. ◁

Im Laufe dieser Vorlesung werden wir weitere wichtige Beispiele für Vektorräume kennenlernen. Hier ein Ausblick ohne Erläuterungen:

• Polynome

• konvergente Zahlenfolgen, Nullfolgen, Potenzreihen

• stetige Funktionen, differenzierbare Funktionen, integrierbare Funktionen

• lineare Abbildungen

• lineare stetige Operatoren auf Hilbert-Räumen Definition 7.4 Sei V ein Vektorraum. Eine Teilmenge W ⊂ V heißt Untervektorraum, wenn (UV1) W ≠ ∅

(UV2) v, w ∈ W ⇒ v + w ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Addition)

(UV3) v ∈ W , λ ∈ K ⇒ λ · v ∈ W (d.h. W ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit Skalaren)

Ein Untervektorraum ist automatisch ein Vektorraum. Beispiele sind i) der Nullvektor W = {0}

ii) Vielfache W = {λ · v : λ ∈ K} eines ausgewählten Vektors v ∈ V, speziell jede Gerade in der Ebene durch den Nullpunkt, W = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : ax + by = 0} für a, b ∈ ℝ.

Satz 7.5 Seien W_{i} mit i ∈ I (Indexmenge) jeweils Untervektorräume von V, so ist der Durchschnitt W := ⋂_{i∈I} W_{i} ⊂ V wieder ein Untervektorraum von V.

Beweis. 0 ∈ W_{i} ∀i ∈ I, also 0 ∈ W (damit ist W nicht leer). Seien v, w ∈ W, so sind v, w ∈ W_{i} ∀i ∈ I. Dann ist auch v + w ∈ W_{i} ∀i ∈ I und somit v + w ∈ W. Analog ist λ · v ∈ W. □

Dagegen ist die Vereinigung von Untervektorräumen im allgemeinen nicht wieder ein Untervektorraum. Man kann eine solche Vereinigung aber zu einen Vektorraum abschließen.

Definition 7.6 (Linearkombinationen) Seien v_{1}, …, v_{r} ∈ V (nicht notwendig verschiedene) Vektoren aus V. Ein Vektor v ∈ V heißt Linearkombination von v_{1}, …, v_{r}, wenn es λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K gibt, so daß

v = λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = ∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} .

Wir bezeichnen mit

span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) = {∑_{i=1}^{r} λ_{i} · v_{i} : λ_{i} ∈ K}

den Raum aller Linearkombinationen von v_{1}, …, v_{r}. Offenbar ist span_{K}(v_{1}, …, v_{r}) ein Untervektorraum von V, er heißt der durch v_{1}, …, v_{r} aufgespannte (oder erzeugte) Untervektorraum.

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf Untervektorräume, die von einer Familie (v_{i})_{i∈I} aus möglicherweise unendlich vielen Vektoren aufgespannt wird. Dann ist span_{K}(v_{i})_{i∈I} definiert als die Menge aller endlichen Linearkombinationen, d.h. zu jedem v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} gibt es Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ I und Skalare λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K, so daß v = ∑_{j=1}^{r} λ_{j}v_{i_{j}}.

Beispiel 7.7 (für Linearkombinationen)

i) Für V = ℝ^{3} und v_{1}, v_{2} ∈ V ist span_{ℝ}(v_{1}) die Gerade durch 0 und v_{1}, falls v_{1} ≠ 0, und span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}) die Ebene durch 0, v_{1}, v_{2}, falls v_{1} ≠ 0 und

v_{2} ∉ span_{ℝ}(v_{1}).

ii) Im Vektorraum K^{n} setzen wir e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), wobei die 1 an der i-ten Stelle steht. Dann ist span_{K}(e_{i})_{i=1,...,n} = K^{n}. ◁

Im weiteren wird es wichtig sein, ob sich ein Vektor v ∈ V in eindeutiger Weise als Linearkombination von vorgegebenen Vektoren v_{1}, …, v_{r} darstellen läßt oder nicht.

Definition 7.8 Sei V ein Vektorraum über K. Eine Familie von endlich vielen Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißt linear unabhängig (bzw. die Vektoren v_{1}, …, v_{r} heißen linear unabhängig), wenn aus λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{r} · v_{r} = 0 für λ_{1}, …, λ_{r} ∈ K folgt λ_{1} = λ_{2} = ⋯ = λ_{r} = 0.

Eine beliebige Familie (v_{i})_{i∈I} heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilfamilie linear unabhängig ist. Entsprechend heißt eine Familie (v_{i})_{i∈I}, die nicht linear unabhängig ist, linear abhängig. In diesem Fall gibt es also v_{i_{1}}, …, v_{i_{r}} ≠ 0 mit i_{1}, …, i_{r} ∈ I und λ_{1}, …, λ_{r} ≠ 0 mit ∑_{j=1}^{r} λ_{j} · v_{i_{j}} = 0.

Satz 7.9 Eine Familie (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{j} = ( v_{1j} ; ⋮ ; v_{mj} ) ∈ K^{m} ist genau

dann linear unabhängig, wenn für die Matrix A = (v_{ij}) ∈ M(m × n, K) gilt rang(A) = n.

Beweis. Nach Definition des Matrixprodukts gilt

λ_{1} · v_{1} + ⋯ + λ_{n} · v_{n} = 0 ⇔ A · x = 0

mit x = ( λ_{1} ; ⋮ ; λ_{n} ) ∈ K^{n}. Die Familie (v_{1}, …, v_{n}) ist also genau dann linear

unabhängig, wenn A · x = 0 nur die triviale Lösung x = 0 besitzt. Das erfordert rang(A) = n. □

Beispiel 7.10 Sei z.B. v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix} ) so betrachten

wir

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 4 & 5 & 7 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(−2) , IV_{13}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & −3 & 3 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{23}(−3)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Damit ist (v_{1}, v_{2}, v_{3}) nicht linear unabhängig. Dagegen ist (v_{1}, v_{2}) linear unabhängig, denn Weglassen der 3. Spalte ergibt rang(v_{1}, v_{2}) = 2. ◁

Wir werden später sehen, daß in beliebigen endlich erzeugten Vektorräumen die lineare Unabhängigkeit stets durch Lösen linearer Gleichungssysteme ermittelt werden kann.

Satz 7.11 Für eine Familie (v_{i})_{i∈I} sind folgende Bedingungen äquivalent: i) (v_{i})_{i∈I} ist linear unabhängig

ii) Jeder Vektor v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} läßt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von Vektoren aus (v_{i})_{i∈I} darstellen.

Beweis. i)⇒ii). Sei v ∈ span_{K}(v_{i})_{i∈I} auf zwei verschiedene Arten als Linearkombination darstellbar,

v = ∑_{i∈I} λ_{i} · v_{i} = ∑_{i′∈I} μ_{i′} · v_{i′} ,

wobei nur endlich viele Skalare λ_{i}, μ_{i′} ungleich Null sind. Es gibt also eine endliche Teilmenge J ⊂ I (Vereinigung der Indizes i, i′, für die λ_{i} ≠ 0 oder μ_{i′} ≠ 0), so daß

∑_{j∈J}(λ_{j} − μ_{j}) · v_{j} = 0 .

Da nach Voraussetzung i) jede endliche Teilfamilie von (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig ist, ist λ_{j} = μ_{j} für alle j ∈ J und weiter für alle i ∈ I (auf dem Komplement I \ J ist λ_{i} = μ_{i} = 0).

ii)⇒i). Der Nullvektor läßt sich als Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} darstellen, in der sämtliche Skalare Null sind. Ist die Linearkombination eindeutig, so ist (v_{i})_{i∈I} linear unabhängig. □

8 Erzeugendensystem, Basis und Dimension

Definition 8.1 Eine Familie (v_{i})_{i∈I} von Vektoren v_{i} ∈ V heißt Erzeugendensystem von V, wenn V = span_{K}(v_{i})_{i∈I}, wenn also jeder Vektor v ∈ V eine endliche Linearkombination von (v_{i})_{i∈I} ist.

Ein Erzeugendensystem B = (v_{i})_{i∈I} heißt Basis von V, wenn B linear unabhängig ist.

Der Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls es ein endliches Erzeugendensystem B = (v_{1}, …, v_{r}) von V gibt.

Beispiel 8.2 (für Erzeugendensysteme und Basen)

i) Im Vektorraum K^{n} ist B = (e_{1}, …, e_{n}), mit e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …, 0), ein Erzeugendensystem, denn jeder Vektor x = (x_{1}, …, x_{n}) läßt sich schreiben als x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} mit x_{i} ∈ K. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardbasis des K^{n}. ii) Im Vektorraum M(m × n, K) ist B = (E_{ij})_{{i=1,...m \atop j=1,...,n}} mit

E_{ij} = ( \begin{matrix}& & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ & & & 0 \\ & O & & ⋮ & & O \\ & & & 0 \end{matrix} ) ,

wobei die 1 im Schnittpunkt der i-ten Zeile mit der j-ten Spalte steht, ein Erzeugendensystem. Jede Matrix A = (a_{ij}) läßt sich darstellen als A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij}E_{ij}. Das Erzeugendensystem ist linear unabhängig und deshalb eine Basis, die Standardmatrixbasis.

iii) In ℂ, aufgefaßt als reeller Vektorraum, ist B = (1, i) eine Basis, denn jede komplexe Zahl kann als z = x · 1 + y · i mit x, y ∈ ℝ geschrieben werden.

Fassen wir ℂ = ℂ^{1} dagegen als komplexen Vektorraum auf, dann ist B = (1, i) zwar ein Erzeugendensystem, aber keine Basis mehr, denn 1 und i sind nicht mehr linear unabhängig über ℂ: 1 · 1 + i · i = 0. ◁

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) ein endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis, dann ist jede Permutation (Umordnung) der Vektoren v_{i} wieder ein endliches Erzeugendensystem bzw. eine endliche Basis. Z.B. ist B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) mit v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 0, 1), v_{3} = (0, 1, 0) eine Basis von K^{3}, aber es ist übersichtlicher, statt B mit der durch Umordnung erhaltenen Standardbasis (v_{1}, v_{3}, v_{2}) zu arbeiten.

Für die Definition einer Basis gibt es mehrere äquivalente Möglichkeiten. Wir beschränken uns zunächst auf endlich erzeugte Vektorräume:

Satz 8.3 Für eine Familie B = (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{i} ∈ V, V ≠ {0}, sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) B ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V (also eine Basis).

ii) B ist ein Erzeugendensystem von V, aber (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ist für jedes 1 ≤ r ≤ n kein Erzeugendensystem mehr.

iii) Zu jedem v ∈ V gibt es eindeutig bestimmte λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} (Eindeutigkeit der Zerlegung von v nach der Basis).

iv) B ist linear unabhängig, während (v_{1}, …, v_{n}, v) linear abhängig ist für alle v ∈ V.

Beweis. i)⇒ii). Wäre (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem, dann gibt es λ_{1}, …, λ_{r−1}, λ_{r+1}, …, λ_{n} ∈ K mit v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j} · v_{j}. Damit ist 0 = ∑_{i=1}^{r−1} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n} λ_{j} · v_{j}, so daß B nicht linear unabhängig wäre.

ii)⇒iii). Angenommen, es gibt ein v ∈ V und für dieses zwei verschiedene Darstellungen

v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} und v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}

mit λ_{r} ≠ μ_{r} für mindestens ein r. (Es gibt mindestens eine Darstellung, da B Erzeugendensystem.) Subtraktion beider Gleichungen und Division durch (λ_{r} − μ_{r}) ergibt

v_{r} = ∑_{i=1}^{r−1} \frac{λ_{i} − μ_{i}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{λ_{j} − μ_{j}}{μ_{r} − λ_{r}} · v_{j}

Das würde bedeuten, daß (v_{1}, …, v_{r−1}, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem wäre, denn in einer Linearkombination ließe sich v_{r} durch die v_{i}, v_{j} mit i, j ≠ r ausdrücken, im Widerspruch zu ii).

iii)⇒iv). Nach Satz 7.11 ist B linear unabhängig. Andererseits gibt es für jedes v ∈ V Skalare λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} + (−1) · v, so daß (v_{1}, …, v_{n}, v) nicht linear unabhängig ist.

iv)⇒i). Da (v_{1}, …, v_{n}, v) für alle v ∈ V linear abhängig ist, gibt es λ_{1}, …, λ_{n}, λ ∈ K, welche nicht alle gleich 0 sind, mit 0 = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} ·v_{i} +λ·v. Wäre λ = 0, so auch λ_{i} = 0 für alle i = 1, …, n, da B linear unabhängig ist. Also ist λ ≠ 0 und somit

v = ∑_{i=1}^{n} \frac{−λ_{i}}{λ} · v_{i} .

Damit ist B ein Erzeugendensystem. □

Die wichtigste Eigenschaft einer Basis ist die Eindeutigkeit der Zerlegung eines gegebenen Vektors nach einer Basis des Vektorraums. Ist eine Basis fixiert, dann kann man an Stelle des Vektors v ∈ V mit einer Folge von Zahlen (λ_{1}, …, λ_{n}) mit λ_{i} ∈ K arbeiten. Diese Zahlen λ_{i} heißen die Koordinaten von v = ∑_{i=1}^{n} λ_{i} · v_{i} bezüglich der Basis (v_{1}, …, v_{n}).

Beispiel 8.4 Es sei V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) mit v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} ), v_{3} =

( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 6 \end{matrix} ). Wir überprüfen, ob (v_{1}, v_{2}, v_{3}) linear unabhängig sind durch Berechnen des Rangs der Matrix A = (v_{ij}):

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(−2) , IV_{13}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & −3 & 2 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{23}(−3)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )

Folglich bildet (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eine Basis von V. Ist w = ( \begin{matrix}2 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) ∈ V, so muß es

eindeutig bestimmte Koeffizienten λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} ∈ ℝ geben mit w = λ_{1}v_{1}+λ_{2}v_{2}+λ_{3}v_{3}. Das ist aber gerade ein lineares Gleichungssystem

(A|w) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 3 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{12}(−2) , IV_{13}(−4)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & 1 & −2 \\ 0 & −3 & 2 & −5 \end{matrix} )

⟶^{IV_{23}(−3)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & −1 & 1 \end{matrix} ) ⟶^{IV_{32}(1), IV_{31}(1), III_{3}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & −1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} )

⟶^{IV_{21}(2), III_{2}(−1)} ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} )

welches die Koeffizienten λ_{1} = 1, λ_{2} = 1, λ_{3} = −1 liefert. Insbesondere ist w ∈ V. ◁

Satz 8.5 Ist V nicht endlich erzeugt, dann gibt es eine unendliche linear unabhängige Familie von Vektoren.

Beweis. Durch Induktion nach der Anzahl n linear unabhängiger Vektoren von V: Seien (v_{1}, …, v_{n}) linear unabhängig. Wäre (v_{1}, …, v_{n}, v_{n+1}) linear abhängig für jedes v_{n+1} ∈ V, so wäre (v_{1}, …, v_{n}) Erzeugendensystem, Widerspruch. □

Satz 8.6 (Austauschlemma von Steinitz) Es sei (v_{1}, …, v_{n}) Erzeugendensystem (bzw. eine Basis) eines Vektorraums V über K und w = ∑_{i=1}^{n} λ_{i}v_{i} mit λ_{r} ≠ 0 für ein r ∈ {1, …, n}. Dann ist auch (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem (bzw. eine Basis) von V.

Beweis. Unter den Voraussetzungen gilt

v_{r} = \frac{1}{λ_{r}} · w + ∑_{i=1}^{r−1} \frac{−λ_{i}}{λ_{r}} · v_{i} + ∑_{j=r+1}^{n} \frac{−λ_{j}}{λ_{r}} · v_{j} .

Sei v ∈ V ein beliebiger Vektor, dann gibt es μ_{1}, …, μ_{n} ∈ K mit v = ∑_{i=1}^{n} μ_{i} · v_{i}. Einsetzen von v_{r} liefert

v = ∑_{i=1}^{r−1} (μ_{i} − \frac{μ_{r}λ_{i}}{λ_{r}} ) · v_{i} + \frac{μ_{r}}{λ_{r}} · w + ∑_{j=r+1}^{n} (μ_{j} − \frac{μ_{r}λ_{j}}{λ_{r}} ) · v_{j} .

Damit ist (v_{1}, …, v_{r−1}, w, v_{r+1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem.

Ist B = (v_{1}, …, v_{n}) Basis, dann betrachten wir zur Untersuchung der linearen Unabhängigkeit

0 = ∑_{i=1}^{r−1} μ_{i} · v_{i} + μ · w + ∑_{j=r+1}^{n} μ_{j} · v_{j} .

Einsetzen von w liefert

0 = ∑_{i=1}^{r−1}(μ_{i} + μλ_{i}) · v_{i} + μλ_{r} · v_{r} + ∑_{j=r+1}^{n}(μ_{j} + μλ_{j}) · v_{j} .

Da B linear unabhängig, folgt μ_{i} + μλ_{i} = 0 für i ≠ r und μλ_{r} = 0, also μ = 0 und dann μ_{i} = 0. □

Satz 8.7 (Basisauswahlsatz) Aus jedem endlichen Erzeugendensystem läßt sich eine Basis auswählen. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis.

Beweis. Man nehme aus einem endlichen Erzeugendensystem einzelne Vektoren weg, so daß die reduzierte Familie immer noch ein Erzeugendensystem des Vektorraums bleibt. Ist das nicht mehr möglich, so liegt eine Basis vor. □

Wir zeigen nun, daß alle Basen eines endlich erzeugten Vektorraums aus der gleichen Anzahl an Vektoren bestehen.

Satz 8.8 (Austauschsatz) In einem Vektorraum V über K sei B = (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis und (w_{1}, …, w_{r}) eine linear unabhängige Familie von Vektoren aus V. Dann ist r ≤ n, und es gibt paarweise verschiedene Indizes i_{1}, …, i_{r} ∈ {1, 2, …, n}, so daß man nach Austausch von v_{i_{j}} durch w_{j} für alle 1 ≤ j ≤ r wieder eine Basis von V erhält. Nach Permutation der Indizes (Umnumerierung) erreicht man, daß B^{∗} = (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Beweis. Wir tauschen schrittweise die Basisvektoren aus. Im ersten Schritt finden wir ein 1 ≤ s ≤ n, so daß (v_{1}, …, v_{s−1}, w_{1}, v_{s+1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Nun nennen wir v_{1} ↦ v_{s} und ordnen durch Vertauschen von v_{s} ↔ w_{1} die Basis um, so daß (w_{1}, v_{2}, …, v_{n}) eine Basis ist.

Dann gibt es μ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} ∈ K mit w_{2} = μ_{1} · w_{1} + ∑_{i=2}^{n} λ_{i} · v_{i}. Mindestens eines der λ_{i} ist von 0 verschieden, denn sonst wäre w_{2} = μ_{1} · w_{1}, und die Familie (w_{1}, …, w_{r}) wäre nicht linear unabhängig. Es läßt sich deshalb ein v_{s} mit 2 ≤ s ≤ n durch w_{2} austauschen, so daß nach Umnumerierung (w_{1}, w_{2}, v_{3} …, v_{n}) eine Basis von V ist.

Ist r ≤ n, so führt die wiederholte Anwendung dieses Verfahrens auf eine Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}). Wäre r > n, dann erhalten wir im n-ten Schritt eine Basis (w_{1}, …, w_{n}) von V. Dann ist w_{n+1} nach dieser Basis zerlegbar, so daß (w_{1}, …, w_{r}) für r > n nicht mehr linear unabhängig wäre. □

Satz 8.9 Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann besteht jede Basis von V aus der gleichen Anzahl von Vektoren.

Beweis. Seien zwei Basen B_{1} = (v_{1}, …, v_{n}) und B_{2} = (w_{1}, …, w_{r}) von V gegeben. Ist n < r, dann wäre nach Satz 8.8 B_{2} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Ist n > r, dann wäre nach Satz 8.8 B_{1} nicht linear unabhängig, also keine Basis. Folglich gilt n = r. □

Definition 8.10 In einem Vektorraum V über K heißt die durch

dim_{K}V := \{ \begin{matrix}0 & falls V = \{0\}, \\ n & falls V endlich erzeugt ist und eine aus n Vektoren bestehende Basis besitzt, \\ ∞ & falls V nicht endlich erzeugt ist \end{matrix}

definierte Zahl die Dimension von V.

Offenbar ist dim_{K}(K^{n}) = n und dim_{ℝ}(ℂ) = 2, aber dim_{ℂ}(ℂ) = 1. Wir schreiben auch dim(V) statt dim_{K}(V), wenn der Körper klar ist. Die Dimension ist eine entscheidende Charakterisierung eines Vektorraums.

Satz 8.11 Ist W ⊂ V Untervektorraum eines endlich erzeugten Vektorraums V, so ist auch W endlich erzeugt, und es gilt

i) dim(W) ≤ dim(V),

ii) aus dim(W) = dim(V) folgt W = V.

Beweis. i) Wäre W nicht endlich erzeugt, dann gäbe es nach Satz 8.5 eine unendliche linear unabhängige Familie, die auch in V linear unabhängig wäre, Widerspruch. Ebenso kann es nach dem Austauschsatz höchstens n := dim_{K}(V) linear unabhängige Vektoren in W geben.

ii) Sei dim(W) = dim(V) = n und (w_{1}, …, w_{n}) eine Basis von W. Wäre V ≠ W, so gibt es ein v ∈ V \ W, das keine Linearkombination von (w_{1}, …, w_{n}) ist. Damit wäre (w_{1}, …, w_{n}, v) linear unabhängig, Widerspruch. □

Dieser Satz ist sehr hilfreich. Wenn wir schon wissen, daß ein Vektorraum V die Dimension n hat und n linear unabhängige Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ V gegeben sind, dann ist W = span(v_{1}, …, v_{n}) ein Untervektorraum, in dem (v_{1}, …, v_{n}) eine Basis ist. Aus der Gleichheit der Dimensionen folgt W = V, also ist (v_{1}, …, v_{n}) ein Erzeugendensystem von V. Es ist wesentlich einfacher, die lineare Unabhängigkeit mit dem Gaußschen Algorithmus für lineare Gleichungssysteme zu überprüfen als die Eigenschaft des Erzeugendensystems. Daraus wird die Bedeutung der Dimension ersichtlich.

Ein weiteres nützliches Hilfsmittel ist:

Satz 8.12 (Basisergänzungssatz) In einem endlich erzeugten Vektorraum V sei eine Familie (w_{1}, …, w_{r}) von linear unabhängigen Vektoren gegeben. Dann läßt sich diese Familie zu einer Basis (w_{1}, …, w_{r}, v_{r+1}, …, v_{n}) von V ergänzen.

Beweis. Man nehme irgendeine Basis von V und wende den Austauschsatz an. □

In nicht endlich erzeugten (also unendlich-dimensionalen) Vektorräumen gibt es einige Besonderheiten. Zwar gilt unter Benutzung des Auswahlaxioms, daß auch jeder unendlich-dimensionale Vektorraum eine Basis besitzt, jedoch kann man eine solche nicht angeben. Später führen wir unitäre und euklidische Vektorräume ein, welche auch unendlich-dimensional sein können. In diesen gibt es sogenannte Orthonormalbasen, so daß sich jeder Vektor als eindeutige unendliche Linearkombination darstellen läßt, was Methoden der Analysis erfordert. Die Orthonormalbasen sind dann keine Basen im Sinne von Definition 8.1.

Definition 8.13 Sei V ein Vektorraum und W_{1}, …, W_{r} ⊂ V Untervektorräume. Dann heißt

W = W_{1} + ⋯ + W_{r} := {v ∈ V : es gibt v_{j} ∈ W_{j} mit v = v_{1} + ⋯ + v_{r} }

die Summe von W_{1}, …, W_{r}.

Offenbar ist W wieder ein Untervektorraum von V, und es gilt dim(∑_{i=1}^{r} W_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{r} dim(W_{i}). Für r = 2 können wir mehr zeigen:

Satz 8.14 Für endlich-dimensionale Untervektorräume W_{1}, W_{2} ⊂ V gilt dim(W_{1} + W_{2}) = dim(W_{1}) + dim(W_{2}) − dim(W_{1} ∩ W_{2}).

Beweis. W_{1} ∩ W_{2} ist ein endlich-dimensionaler Untervektorraum von V. Man nehme eine Basis (v_{1}, …, v_{m}) von W_{1} ∩ W_{2} und ergänze sie zu Basen (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{r}) von W_{1} und (v_{1}, …, v_{m}, w′_{1}, …, w′_{s}) von W_{2}. Damit wird W_{1} + W_{2} von B = (v_{1}, …, v_{m}, w_{1}, …, w_{r}, w′_{1}, …, w′_{s}) erzeugt. Wir zeigen: B ist linear unabhängig, also Basis. Dazu sei

0 = \underbrace{∑_{i=1}^{m} λ_{i}v_{i} + ∑_{j=1}^{r} μ_{j}w_{j}}_{=v∈W_{1}} + \underbrace{∑_{k=1}^{s} μ′_{k}w_{k}}_{=−v∈W_{2}} .

Das bedeutet v ∈ W_{1} ∩ W_{2}, also μ_{j} = 0 und μ′_{k} = 0 und somit v = 0. Aus der linearen Unabhängigkeit von (v_{1}, …, v_{m}) folgt schließlich auch λ_{i} = 0. Damit ist ist dim(W_{1} + W_{2}) = m + r + s sowie dim(W_{1}) = m + r und dim(W_{2}) = m + s. □

Beispiel 8.15 Sei W_{1} = span(v_{1}, v_{2}, v_{3}) und W_{2} = span(v_{4}, v_{5}) mit v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 4 \end{matrix} ),

v_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 7 \end{matrix} ) sowie v_{4} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ), v_{5} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ). Nach Beispiel 7.10

gilt dim(W_{1}) = 2, insbesondere W_{1} = span(v_{1}, v_{2}). Die Dimension dim(W_{2}) = 2 ist klar. Setzen wir A = (v_{1}, v_{2}, v_{4}, v_{5}), so suchen wir zur Bestimmung von W_{1}∩W_{2} die Lösungsmenge x ∈ ℝ^{4} des LGS Ax = 0 durch elementare Zeilenumformungen. Die rechte Seite b = 0 kann weggelassen werden:

( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 0 & 1 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & −3 & 1 \\ 0 & −3 & −8 & 1 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & −3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} )

↦ ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & −1 & 0 & −5 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −6 \\ 0 & −1 & 0 & −5 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & −6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & −2 \end{matrix} )

Damit ergibt sich ( \begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{4} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}6 \\ −5 \\ 2 \end{matrix} ) · λ_{5} und λ_{5} ∈ ℝ beliebig. Das bedeutet

∑_{i=1,2,4,5} λ_{i}v_{i} = λ_{5} · (6v_{1} − 5v_{2} + 2v_{4} + v_{5}) = 0, d.h. Linearkombinationen von

\underbrace{5v_{2} − 6v_{1}}_{∈W_{1}} = \underbrace{2v_{4} + v_{5}}_{∈W_{2}} = ( \begin{matrix}4 \\ 3 \\ 1 \end{matrix} )

spannen W_{1}∩W_{2} auf. Somit ist dim(W_{1}∩W_{2}) = 1 und nach der Dimensionsformel (Satz 8.14) dim(W_{1} + W_{2}) = 3. ◁

Aus Satz 8.14 erhält man schrittweise eine allgemeine Dimensionsformel für Summen von Vektorräumen. Dabei entstehen komplizierte Durchschnitte (W_{l} ∩ (W_{1} +⋯+W_{l−1}) für l = 2, …, r, die sich im allgemeinen nicht besser ausdrücken lassen. Besonders transparent ist folgende Situation:

Definition 8.16 Sei V ein Vektorraum und W_{1}, …, W_{k} Untervektorräume von V. Ein Vektorraum W heißt direkte Summe der Untervektorräume W_{1}, …, W_{k}, bezeichnet mit

W = W_{1} ⊕ W_{2} ⊕ ⋯ ⊕ W_{k} ,

wenn gilt:

(DS1) W = W_{1} + ⋯ + W_{k}

(DS2) Von Null verschiedene Vektoren w_{1} ∈ W_{1}, …, w_{k} ∈ W_{k} sind linear unabhängig in V.

In diesem Fall gilt dim(W) = ∑_{i=1}^{k} dim(W_{i}).

Zusammenfassung Teil II

Begriffe

• Lineare Gleichungssysteme, Matrix-Schreibweise, erweiterte Koeffizientenmatrix

• Gaußsches Lösungsverfahren: spezielle Zeilenstufenform, Rangbedingung • Vektorräume, Untervektorräume, lineare Unabhängigkeit, Linearkombi-

nationen

• Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Summen und Durchschnitte von Vektorräumen

Methoden • Lösung linearer Gleichungssysteme

• Bestimmung des Rangs einer Matrix

• Überprüfung einer Familie von Vektoren auf lineare Unabhängigkeit • Zerlegung eines Vektors nach einer Basis

• Bestimmung von Basen für W_{1} +W_{2} und W_{1} ∩W_{2} für Untervektorräume W_{1}, W_{2} ⊂ V.

Teil III

Folgen und Reihen

9 Folgen und Grenzwerte

Unter einer Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen versteht man eine Abbildung a : ℕ → ℂ, d.h. jedem n ∈ ℕ wird eine komplexe Zahl a_{n} ∈ ℂ zugeordnet. Analog ist eine Folge reeller Zahlen definiert.

Definition 9.1 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} heißt konvergent, wenn es eine Zahl a ∈ ℂ gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß |a_{n} − a| < ϵ für alle n ≥ N. Die Zahl a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, geschrieben a = lim_{n→∞} a_{n}. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.

Wichtig ist, daß das N ∈ ℕ in der Definition von ϵ abhängt. Verkleinert man ϵ, dann muß im allgemeinen N vergrößert werden.

Im Fall der Konvergenz ist der Grenzwert einer Folge eindeutig: Angenommen, a, b wären Grenzwerte der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, dann gibt es zu jedem ϵ = \frac{1}{3}|a − b| > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < ϵ und |a_{n} − b| < ϵ. Nach der Dreicksungleichung gilt aber |a − b| = |(a − a_{n}) + (a_{n} − b)| ≤ |a_{n} − a| + |a_{n} − b| < 2ϵ, im Widerspruch zu 2ϵ = \frac{2}{3}|a − b|. Geometrisch bedeutet Definition 9.1, daß alle Folgenglieder a_{n} mit n ≥ N in der Kreisscheibe

K_{ϵ}(a) := {z ∈ ℂ : |z − a| < ϵ}

in ℂ mit Mittelpunkt a und Radius ϵ liegen, bzw. für reelle Folgen im offenen Intervall I_{ϵ}(a) = {x ∈ ℝ : |x−a| < ϵ} mit Mittelpunkt a und halber Länge (Radius) ϵ. Die Teilmengen K_{ϵ}(a) ⊂ ℂ bzw. I_{ϵ}(a) ⊂ ℝ heißen auch die ϵ-Umgebungen von a.

Beispiel 9.2 i) Die konstante Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} = a für alle n ∈ ℕ konvergiert gegen a.

ii) Die Folge (\frac{1}{n+1})_{n∈ℕ} konvergiert nach Satz 3.11.ii) gegen 0, ist also eine Nullfolge.

iii) Die Folge ((−1)^{n})_{n∈ℕ} divergiert: Angenommen, a ∈ ℂ wäre Grenzwert dieser Folge, dann gäbe es für ϵ = 1 ein N ∈ ℕ mit |(−1)^{n} − a| < 1 für alle n ≥ N. Damit wäre nach der Dreiecksungleichung

2 = |(−1)^{n+1} − (−1)^{n}| = |(−1)^{n+1} − a + a − (−1)^{n}|
≤ |(−1)^{n+1} − a| + |a − (−1)^{n}| < 2 ,  Widerspruch.  ◁

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent gegen a und gibt es für die Folge (b_{n})_{n∈ℕ} ein m ∈ ℤ mit a_{n} = b_{n+m} für alle n ≥ N, so ist auch (b_{n})_{n∈ℕ} konvergent mit lim_{n→∞} b_{n} = a. Damit können in einer konvergenten Folge die Folgenglieder a_{n} mit n ≤ N beliebig abgeändert werden, insbesondere auch weggelassen oder endlich viele Glieder vor a_{n} eingeschoben werden, ohne Konvergenz und Grenzwert zu ändern.

Satz 9.3 Es seien (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} Folgen mit lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b. Dann gilt:

i) lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = a + b

ii) lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = ab

iii) Ist b ≠ 0, dann gibt es ein N ∈ ℕ mit b_{n} ≠ 0 für alle n ≥ N, und

lim_{n→∞} \frac{a_{n+N}}{b_{n+N}} = \frac{a}{b}

Beweis. i) Zu gegebenem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{n} −a| < \frac{ϵ}{2} und |b_{n} −b| < \frac{ϵ}{2} für alle n ≥ N (man wähle die größere der Schranken N beider Folgen). Die Dreiecksungleichung liefert

|a_{n} + b_{n} − (a + b)| ≤ |a_{n} − a| + |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} für alle n ≥ N .

ii) Wähle N derart, daß |a_{n} − a| < min(1, \frac{ϵ}{2(|b|+1)}) und |b_{n} − b| < \frac{ϵ}{2(|a|+1)} für alle n ≥ N. Dann ist |a_{n}| = |a_{n} − a + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| < |a| + 1 und

|a_{n}b_{n} − ab| = |a_{n}(b_{n} − b) + (a_{n} − a)b| ≤ |a_{n}(b_{n} − b)| + |(a_{n} − a)b|

= |a_{n}| |b_{n} − b| + |a_{n} − a| |b| < (|a| + 1)\frac{ϵ}{2(|a| + 1)} + \frac{ϵ}{2(|b| + 1)}|b| < ϵ .

iii) Sei c := \frac{1}{2}|b| > 0. Wähle N derart, daß |b_{n} − b| < min(c, \frac{ϵ}{2}|b|^{2}) für alle n ≥ N. Für diese n gilt dann |b| = |(b − b_{n}) + b_{n}| ≤ |b − b_{n}| + |b_{n}|, also |b_{n}| ≥ |b| − |b − b_{n}| > \frac{1}{2}|b| > 0. Weiter folgt für n ≥ N

|\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b}| = |\frac{b − b_{n}}{b_{n}b} | = \frac{|b_{n} − b|}{|b| |b_{n}|} < \frac{2|b_{n} − b|}{|b|^{2}} < ϵ .

Somit gilt lim_{n→∞} \frac{1}{b_{N+n}} = \frac{1}{b}, und mit ii) folgt die Behauptung. □

Folgerung 9.4 Die Menge der konvergenten Folgen bildet einen Vektorraum mit Addition (a_{n})_{n∈ℕ} + (b_{n})_{n∈ℕ} := (a_{n} + b_{n})_{n∈ℕ} und skalarer Multiplikation λ · (a_{n})_{n∈ℕ} := (λa_{n})_{n∈ℕ}. Dieser Vektorraum wird oft mit c bezeichnet. Die Menge der Nullfolgen bildet einen Untervektorraum c_{0} ⊂ c. Ein weiterer Untervektorraum von c ist gegeben durch die Menge d der Folgen, in denen nur endlich-viele Folgenglieder ungleich Null sind. Insbesondere ist d ⊂ c_{0} Untervektorraum.

Für k∈ℕ seien Folgen δ_{k} = (δ_{kn})_{n∈ℕ} ∈ d definiert durch δ_{kn}= \{ \begin{matrix}1 & falls k = n , \\ 0 & sonst . \end{matrix}

Die Familie (δ_{k})_{k∈ℕ} ist Basis von d, da jede Folge aus d sich als eindeutige endliche Linearkombination der (δ_{k})_{k∈ℕ} schreiben läßt. Insbesondere sind d, und damit erst recht c_{0} und c_{0}, unendlich-dimensionale Vektorräume. Zu beachten ist, daß in c_{0} oder c die Familie (δ_{k})_{k∈ℕ} zwar linear unabhängig ist, aber kein Erzeugendensystem und damit keine Basis ist!

Satz 9.5 (elementare Grenzwerte) Im folgenden sei n ∈ ℕ^{×}.

i) lim_{n→∞} \frac{1}{n^{s}} = 0 für alle s ∈ ℚ_{+}^{×}. (Dabei ist n^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{n^{p}} ∈ ℝ.)

ii) lim_{n→∞} \sqrt[n]{a} = 1 für alle a ∈ ℝ_{+}^{×}.

iii) lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1.

iv) lim_{n→∞} z^{n} = 0 für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1.

v) lim_{n→∞} \frac{n^{k}}{z^{n}} = 0 für alle z ∈ ℂ mit |z| > 1 und alle k ∈ ℕ.

Beweis. i) Zu gegebenem ϵ > 0 wähle nach dem Archimedischen Axiom N ∈ ℕ derart, daß N > ϵ^{− \frac{1}{s}}. Dann gilt für n ≥ N zunächst \frac{1}{n} ≤ \frac{1}{N}, dann \frac{1}{n^{p}} ≤ \frac{1}{N^{p}} und

\sqrt[q]{\frac{1}{n^{p}}} ≤ \sqrt[q]{\frac{1}{N^{p}}}, also |\frac{1}{n^{s}} | ≤ |\frac{1}{N^{s}} | < ϵ.

ii) Für a ≥ 1 setze x_{n} := \sqrt[n]{a} − 1 > 0. Nach der Bernoullischen Ungleichung ist a = (1 + x_{n})^{n} ≥ 1 + nx_{n}, damit x_{n} < \frac{a}{n} und 0 < |\sqrt[n]{a} − 1| = x_{n} < ϵ für alle

n ≥ N > \frac{a}{ϵ}. Für 0 < a < 1 gilt lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1}{a}} = 1. Die Behauptung folgt dann aus

Satz 9.3.iii).

iii) Sei n ≥ 2. Nach der Binomialentwicklung gilt für x_{n} := \sqrt[n]{n} − 1 > 0

n = (1 + x_{n})^{n} ≥ 1 + \binom{n}{2}x_{n}^{2} = 1 + \frac{n(n − 1)}{2}x_{n}^{2} ,

also n − 1 ≥ \frac{n(n−1)}{2}x_{n}^{2} und schließlich x_{n} ≤ \sqrt{\frac{2}{n}} für n ≥ 2. Wähle N > \frac{2}{ϵ^{2}} , so folgt |\sqrt[n]{n} − 1| = x_{n} < ϵ für alle n ≥ N.

iv) Es gilt |z^{n} − 0| = |z|^{n}. Die Aussage folgt aus Satz 3.11.ii).

v) Betrachte n > 2k + 1 und |z| = 1 + x mit x > 0. Dann ergibt die Binomialentwicklung

(1 + x)^{n} > \binom{n}{k + 1}x^{k+1} = \frac{n(n − 1) ⋯ (n − k)}{(k + 1)!}x^{k+1} > n · (\frac{n}{2})^{k} \frac{x^{k+1}}{(k + 1)!} ,

also |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < \frac{2^{k}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{n}. Wähle N ∈ ℕ mit N > max (\frac{2^{k+1}(k+1)!}{x^{k+1}} · \frac{1}{ϵ} , 2k + 1), dann folgt |\frac{n^{k}}{z^{n}} | < ϵ für alle n ≥ N. □

Beispiel 9.6 Es sei n ∈ ℕ^{×}.

i) lim_{n→∞} \frac{2n^{2} + 3n}{3n^{2} + 4} = lim_{n→∞} \frac{2 + \frac{3}{n}}{3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{lim_{n→∞} 2 + \frac{3}{n}}{lim_{n→∞} 3 + \frac{4}{n^{2}}} = \frac{2}{3}

ii) Für k ∈ ℕ gilt: lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{k}} = lim_{n→∞}(\sqrt[n]{n})^{k} = ( lim_{n→∞}(\sqrt[n]{n}))^{k} = 1. ◁

Einige weitere Rechenregeln für Grenzwerte:

Satz 9.7 i) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiere gegen a ∈ ℂ. Dann gilt

lim_{n→∞} |a_{n}| = |a| , lim_{n→∞} \overline{a_{n}} = ā , lim_{n→∞} Re(a_{n}) = Re(a) , lim_{n→∞} Im(a_{n}) = Im(a) .

Insbesondere sind die Grenzwerte reeller Folgen reell, und es gilt

lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} Re(a_{n}) + i · lim_{n→∞} Im(a_{n}) .

ii) Es gelte lim_{n→∞} a_{n} = a und lim_{n→∞} b_{n} = b, ferner gebe es ein N ∈ ℕ mit a_{n} ≤ b_{n} für alle n ≥ N. Dann gilt a ≤ b.

iii) Zu einer reellen Folge (c_{n})_{n∈ℕ} gebe es konvergente reelle Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} und ein N ∈ ℕ derart, daß a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} für alle n ≥ N. Gilt lim_{n→∞} a_{n} = lim_{n→∞} b_{n} = a, dann konvergiert auch (c_{n})_{n∈ℕ} mit lim_{n→∞} c_{n} = a.

iv) Für eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen gebe es ein N ∈ ℕ und ein 0 < q < 1, so daß für alle n ≥ N gilt a_{n} ≠ 0 und |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q. Dann gilt

lim_{n→∞} a_{n} = 0.

Beweis. i) Nach Satz 5.4 gilt |Re(a_{n}) − Re(a)| = |Re(a_{n} − a)| ≤ |a_{n} − a|, damit folgt aus der Konvergenz von (a_{n})_{n∈ℕ} die Konvergenz von (Re(a_{n}))_{n∈ℕ}. Analog für Im(a_{n}) und \overline{a_{n}}. Für die Beträge folgt die Aussage aus Satz 3.8: ||a_{n}| − |a|| ≤ |a_{n} − a|. Der zweite Teil ist klar.

ii) Nach Voraussetzung gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß gleichzeitig a_{n} ≤ b_{n} sowie |a_{n} − a| < ϵ und |b_{n} − b| < ϵ gilt für alle n ≥ N. Nach Fallunterscheidung bedeutet das −ϵ < a_{n} − a < ϵ und −ϵ < b_{n} − b < ϵ, somit schließlich a − ϵ < a_{n} ≤ b_{n} < b + ϵ. Das ergibt a − b < 2ϵ für alle ϵ > 0, also a − b ≤ 0.

iii) Wie in ii) gilt a−ϵ < a_{n} ≤ c_{n} ≤ b_{n} < a+ϵ für alle n ≥ N, also |c_{n} −a| < ϵ. iv) Aus |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q folgt |a_{n+1}| ≤ q|a_{n}|, damit für n = N + k die Relation

|a_{n}| ≤ q|a_{n−1}| ≤ q^{2}|a_{n−2}| ⋯ ≤ q^{k}|a_{N}| = q^{n} \frac{|a_{N}|}{q^{N}} .

Zu jedem ϵ > 0 gibt es nach Satz 3.11.ii) ein N′ ∈ ℕ mit q^{n} < ϵ\frac{q^{N}}{|a_{N} |} für alle n ≥ N′. Damit gilt |a_{n} − 0| < ϵ für alle n ≥ max(N′, N). □

Beispiel 9.8 i) Für s ∈ ℚ_{+}^{∗} gilt 1 ≤ \sqrt[n]{n^{s}} ≤ \sqrt[n]{n^{k}} für ein k ≥ s und damit

lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{s}} = 1.

ii) Für 0 ≤ a < b gilt b ≤ \sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} ≤ \sqrt[n]{2(b^{n})} = b\sqrt[n]{2}, damit

lim_{n→∞} \sqrt[n]{a^{n} + b^{n}} = b.

Entsprechend der allgemeinen Definition beschränkter Teilmengen heißt eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} beschränkt, wenn es ein s ∈ ℝ gibt mit |a_{n}| ≤ s für alle n ∈ ℕ.

Satz 9.9 Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Beweis. Es sei a der Grenzwert einer konvergenten Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, dann gibt es zu ϵ = 1 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < 1 für alle n ≥ N. Dann ist |a_{n}| = |a_{n} − a + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| < |a| + 1 für alle n ≥ N, und insgesamt gilt |a_{n}| ≤ s := max (|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N}|, |a| + 1). □

Die Umkehrung wäre falsch: Aus der Beschränktheit einer Folge folgt nicht die Konvergenz, wie das Beispiel ((−1)^{n})_{n∈ℕ} zeigt.

Definition 9.10 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} reeller Zahlen heißt

i) monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt a_{n} ≤ a_{n+1} bzw. a_{n} < a_{n+1};

ii) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle n ∈ ℕ gilt a_{n} ≥ a_{n+1} bzw. a_{n} > a_{n+1};

iii) (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.

Bemerkung: Monotonie kann nicht für Folgen komplexer Zahlen definiert werden.

Satz 9.11 Jede beschränkte monotone Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergiert

i) gegen sup A, falls die Folge monoton wachsend ist,

ii) gegen inf A, falls die Folge monoton fallend ist,

wobei A := {a_{n} : n ∈ ℕ} ⊂ ℝ.

Beweis. i) Sei s := sup A, d.h. die kleinste obere Schranke. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein a_{N} ∈ A mit s − ϵ < a_{N}. Da (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend ist, gilt s − ϵ < a_{n} ≤ s, d.h. |a_{n} − s| < ϵ, für alle n ≥ N. ii) ist analog. □

Satz 9.12 (Eulersche Zahl e) Für n ∈ ℕ^{×} sei a_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n}. Dann gilt: Die Folge (a_{n})_{n≥1} ist konvergent, und für ihren Grenzwert e := lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} gilt 2 < e ≤ 3.

Genauer gilt: e ist irrational mit e = 2, 71828 . . .. Wir werden später sehen, daß e in der Analysis eine wichtige Rolle spielt.

Beweis. Wir zeigen: (a_{n})_{n∈ℕ^{×}} ist monoton wachsend und beschränkt. Monotonie folgt aus

\frac{a_{n}}{a_{n−1}} = \frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n−1})^{n−1}} = \frac{n}{n − 1}( \frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n}{n−1}} )^{n} = \frac{n}{n − 1}(\frac{n^{2} − 1}{n^{2}})^{n} = \frac{n}{n − 1}(1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n}

>^{Bernoulli} \frac{n}{n − 1}(1 − n\frac{1}{n^{2}} ) = 1 ,

d.h. a_{n} > a_{n−1} für alle n ≥ 2. Weiter gilt nach der binomischen Formel für n ≥ 2

(1 + \frac{1}{n})^{n} = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} = 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{n}{n} · \frac{n − 1}{n} ⋯ \frac{n − k + 1}{n} · \frac{1}{k!} < 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}

≤ 1 + ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k−1}} = 1 + ∑_{k=0}^{n−1} \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1 − \frac{1}{2^{n}}}{1 − \frac{1}{2}} < 3 .

Dabei wurde für k ≥ 1 die Ungleichung \frac{1}{1·2·3···k} ≤ \frac{1}{2^{k−1}} sowie im letzten Schritt die geometrische Summenformel benutzt. Also ist a_{n} beschränkt mit a_{n} < 3, und nach Satz 9.11 konvergiert die Folge. Eine untere Schranke ergibt sich z.B. für n = 2 zu (1 + \frac{1}{2})^{2} = \frac{9}{4} > 2. □

Oft sind Folgen rekursiv definiert durch einen Startwert a_{0} (oder mehrere Startwerte a_{0}, a_{1}, …, a_{N}) und eine Rekursionsformel.

Satz 9.13 (Folge zur Berechnung der Quadratwurzeln) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{∗}. Für einen beliebigen Startwert x_{0} > 0 konvergiert die rekursiv definierte Folge

x_{n+1} := \frac{1}{2}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}} ) für n ∈ ℕ

gegen \sqrt{a} ∈ ℝ_{+}^{∗}, d.h. lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt{a}.

Beweis. Nach Induktion ist x_{n} > 0 für alle n ∈ ℕ. Weiter gilt

x_{n+1}^{2} − a = \frac{1}{4}(x_{n} + \frac{a}{x_{n}} )^{2} − a = \frac{1}{4}(x_{n} − \frac{a}{x_{n}} )^{2} ≥ 0 ,

d.h. x_{n} ≥ \sqrt{a} für alle n ≥ 1. Damit ergibt sich, daß die Folge (x_{n})_{n≥1} monoton fallend ist:

x_{n} − x_{n+1} = \frac{1}{2x_{n}} (x_{n}^{2} − a) > 0 n ≥ 1 .

Nach Satz 9.11 konvergiert (x_{n})_{n∈ℕ} gegen einen Grenzwert x ≥ \sqrt{a}. Für diesen Grenzwert gilt die Gleichung x = \frac{1}{2}(x + \frac{a}{x}), mit der positiven Lösung x = \sqrt{a}. □

Das Rekursionsverfahren hat mehrere interessante Eigenschaften: 1) Es ist stabil, also unabhängig vom Startwert. 2) Man kann zeigen, daß die Folge sehr schnell (quadratisch) gegen den Grenzwert konvergiert, so daß schon wenige Folgenglieder eine brauchbare Näherung liefern.

Allgemeiner gilt (Beweis ist analog):

Satz 9.14 (Folge zur Berechnung der k-ten Wurzeln) Es sei a ∈ ℝ_{+}^{∗}. Für einen beliebigen Startwert x_{0} > 0 konvergiert die rekursiv definierte Reihe

x_{n+1} := \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) für n ∈ ℕ

gegen \sqrt[k]{a} ∈ ℝ_{+}^{∗}, d.h. lim_{n→∞} x_{n} = \sqrt[k]{a}.

10 Der Satz von Bolzano-Weierstraß. Cauchy-Folgen

Definition 10.1 Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen und n_{0} < n_{1} < n_{2} < … eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} = (a_{n_{0}}, a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, …) eine Teilfolge von (a_{n})_{n∈ℕ}.

Direkt aus der Definition folgt, daß jede Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} einer konvergenten Folge (a_{n})_{n∈ℕ} konvergent ist gegen den gleichen Grenzwert, d.h. für konvergente Folgen gilt lim_{n→∞} a_{n} = lim_{k→∞} a_{n_{k}}.

Definition 10.2 Eine Zahl h ∈ ℂ heißt Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{n∈ℕ}, wenn es eine Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} gibt, die gegen h konvergiert.

Satz 10.3 Eine Zahl h ∈ ℂ ist genau dann Häufungspunkt der Folge (a_{n})_{nh∈ℕ}, wenn für alle ϵ > 0 gilt: Die Menge {n ∈ ℕ : |h − a_{n}| < ϵ} ist unendlich.

Beweis. (⇒) Es gebe eine gegen h konvergente Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ}. Also gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n_{k}} − h| < ϵ für alle k ≥ N. Die Menge {n_{k} ∈ ℕ : k ≥ N} ist unendlich.

(⇐) Jede ϵ-Umgebung von h enthalte unendlich viele Folgenglieder. Wir konstruieren induktiv eine Abbildung k → n_{k} mit n_{k+1} > n_{k} und |a_{n_{k}} − h| < \frac{1}{k+1}, also eine gegen h konvergente Teilfolge.

i) Induktionsanfang: Wegen {n ∈ ℕ : |a_{n} − h| < 1} ≠ ∅ gibt es ein n_{0} ∈ ℕ mit |a_{n_{0}} − h| < 1. ii) Induktionsschritt k → k+1: Sei a_{n_{k}} gewählt mit |a_{n_{k}} −h| < \frac{1}{k+1}. Nach Voraussetzung ist die Menge \{n ∈ ℕ : |a_{n} − h| < \frac{1}{k+2} unendlich, insbesondere enthält sie eine Zahl m > n_{k}. Setze n_{k+1} := m. □

Beispiel 10.4 i) Die alternierende Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} := (−1)^{n} besitzt die beiden Häufungspunkte 1 und −1, denn (a_{2n})_{n∈ℕ} konvergiert gegen 1 und (a_{2n+1})_{n∈ℕ} gegen −1. ii) Die durch a_{n} := (−1)^{n} + \frac{1}{n+1} gegebenen Folge hat ebenfalls 1 und −1 als

Häufungspunkte, denn lim_{n→∞} a_{2n} = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n + 1}) = 1 und lim_{n→∞} a_{2n+1} =

lim_{n→∞}(−1 + \frac{1}{n + 1}) = −1.

iii) Die durch a_{n} = n definierte Folge hat keine Häufungspunkte: jede Teilfolge enthält unendlich viele Elemente, die paarweise einen Abstand ≥ 1 haben.

iv) Eine konvergente Folge hat ihren Grenzwert als einzigen Häufungspunkt, da jede Teilfolge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.

Satz 10.5 (Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.

Beweis. Wir zeigen den Satz zunächst für Folgen reeller Zahlen a_{n} ∈ ℝ. Wegen der Beschränktheit der Folge gibt es reelle Zahlen c < d mit a_{n} ∈ [c, d] für alle n ∈ ℕ. Wir konstruieren induktiv eine Intervallschachtelung (I_{k})_{k∈ℕ}, so daß I_{k} = [c_{k}, d_{k}] unendlich viele Folgenglieder a_{n} enthält, sowie eine zugehörige Folge (n_{k})_{k∈ℕ} natürlicher Zahlen mit n_{k+1} > n_{k} und a_{n_{k}} ∈ I_{k}.

i) Induktionsanfang: Wähle I_{0} = [c_{0}, d_{0}] mit c_{0} := c und d_{0} = d sowie ein a_{n_{0}} ∈ I_{0}. ii) Induktionsschritt k → k + 1. Sei I_{k} = [c_{k}, d_{k}] bereits konstruiert und m_{k} := \frac{1}{2}(c_{k} + d_{k}) der Mittelpunkt. Da I_{k} unendlich viele Folgenglieder enthält, können nicht beide Teilintervalle [c_{k}, m_{k}] und [m_{k}, d_{k}] nur endlich viele Folgenglieder enthalten. Setze I_{k+1} := [c_{k+1}, d_{k+1}] mit c_{k+1} := c_{k} und d_{k+1} := m_{k}, falls [c_{k}, m_{k}] unendlich viele Folgenglieder enthält, ansonsten I_{k+1} := [c_{k+1}, d_{k+1}] mit c_{k+1} := m_{k} und d_{k+1} := d_{k}. Offenbar gilt I_{k+1} ⊂ I_{k} und |I_{k+1}| = \frac{1}{2}|I_{k}| = \frac{1}{2^{k+1}} |I_{0}|. Da die Menge {n ∈ ℕ : a_{n} ∈ I_{k+1}} unendlich ist, enthält sie ein Element m > n_{k}. Setze n_{k+1} := m, d.h. es gilt a_{n_{k+1}} ∈ I_{k+1} und n_{k+1} > n_{k}.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl h ∈ ℝ mit h ∈ I_{k} für alle k ∈ ℕ. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit I_{k} ⊂ [h − ϵ, h + ϵ] für alle k ≥ N, d.h. |a_{n_{k}} − h| ≤ ϵ < 2ϵ für alle k ≥ N. Das bedeutet lim_{k→∞} a_{n_{k}} = h, und der Satz von Bolzano-Weierstraß ist im reellen Fall bewiesen.

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge komplexer Zahlen, dann bildet (Re(a_{n}))_{n∈ℕ} eine beschränkte Folgen reeller Zahlen. Nach obigem Beweis gibt es eine konvergente Teilfolge (Re(a_{n_{k}}))_{k∈ℕ} mit lim_{k→∞} Re(a_{n_{k}}) = h_{1}. Die Folge der Imaginärteile (Im(a_{n_{k}}))_{k∈ℕ} ist ebenfalls eine beschränkte Folge reeller Zahlen und enthält somit eine konvergente Teilfolge (Im(a_{(n_{k})_{l}}))_{l∈ℕ} mit lim_{l→∞} Im(a_{(n_{k})_{l}}) = h_{2}. Dann gilt auch lim_{l→∞} Re(a_{(n_{k})_{l}}) = h_{1} als Teilfolge einer konvergenten Folge. Insgesamt ist eine konvergente komplexe Teilfolge (a_{(n_{k})_{l}})_{l∈ℕ} von (a_{n})_{n∈ℕ} konstru-

iert mit lim_{l→∞} a_{(n_{k})_{l}} = h_{1} + ih_{2}. □

Nach Definition 10.2 kann man den Satz von Bolzano-Weierstraß auch so formulieren, daß jede beschränkte Folge komplexer Zahlen mindestens einen Häufungspunkt besitzt.

Definition 10.6 Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine beschränkte Folge reeller Zahlen.

• Der größte Häufungspunkt a^{∗} von (a_{n})_{n∈ℕ} heißt limes superior, geschrieben a^{∗} = lim sup a_{n}.

• Der kleinste Häufungspunkt a_{∗} von (a_{n})_{n∈ℕ} heißt limes inferior, geschrieben a_{∗} = lim inf a_{n}.

Für konvergente Folgen gilt a_{∗} = a^{∗} = lim_{n→∞} a_{n}.

Der Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß nutzt ganz entscheidend das Intervallschachtelungsprinzip. Unter Verwendung des Satzes von Bolzano-Weierstraß beweisen wir nun das Cauchysche Konvergenzkriterium, das es auch ohne Kenntnis des Grenzwertes erlaubt, die Konvergenz von Folgen zu entscheiden.

Satz 10.7 (Cauchysches Konvergenzkriterium) Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen konvergiert genau dann, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |a_{n} − a_{m}| < ϵ gilt für alle n, m ≥ N.

Beweis. (⇒) Die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} sei konvergent mit Grenzwert a. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a| < \frac{ϵ}{2} und |a_{m} − a| < \frac{ϵ}{2} für alle n, m ≥ N. Die Dreiecksungleichung liefert |a_{n}−a_{m}| = |a_{n}−a+(a−a_{m})| ≤ |a_{n}−a|+|a_{m}−a| < ϵ.

(⇐) Es gelte |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ N. Dann ist die Folge (a_{n})_{n∈ℕ} beschränkt, denn zu ϵ = 1 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{n} − a_{N}| < 1 für alle n ≥ N; somit gilt |a_{n}| ≤ max(|a_{0}|, |a_{1}|, …, |a_{N}|, |a_{N}| + 1). Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt (a_{n})_{n∈ℕ} eine konvergente Teilfolge (a_{n_{k}})_{k∈ℕ} mit a := lim_{k→∞} a_{n_{k}}. Wir zeigen, daß auch (a_{n})_{n∈ℕ} gegen a konvergiert: Zu beliebigem ϵ > 0 gibt es ein N′ ∈ ℕ, so daß gleichzeitig gilt |a_{n} − a_{m}| < \frac{ϵ}{2} für alle m, n ≥ N′ und |a_{n_{k}} − a| < \frac{ϵ}{2} für ein n_{k} ≥ N′. Die Dreiecksungleichung liefert |a_{n} −a| = |a_{n} −a_{n_{k}} +(a_{n_{k}} −a)| ≤ |a_{n} − a_{n_{k}}| + |a_{n_{k}} − a| < ϵ. □

Definition 10.8 Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen heißt Cauchy-Folge (oder Fundamentalfolge), wenn zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ existiert, so daß |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle n, m ≥ N.

Nach Satz 10.7 sind in ℂ genau die Cauchy-Folgen die konvergenten Folgen. Der Beweis benutzt Bolzano-Weierstraß, wobei der entscheidende Teil für reelle Folgen bewiesen wird, wo das Intervallschachtelungsprinzip zur Verfügung steht. Damit wird das Cauchysche Konvergenzkriterium letztendlich auf die Vollständigkeit von ℝ zurückgeführt. Bemerkenswert ist, daß auch die Umkehrung gilt:

Satz 10.9 Für einen archimedisch angeordneten Körper folgt das Intervallschachtelungsprinzip aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium.

Beweis. Es sei ([a_{n}, b_{n}])_{n∈ℕ} eine Intervallschachtelung. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |a_{N} − b_{N}| < ϵ. Wegen a_{n} < b_{N} für alle n ≥ N gilt |a_{n} − a_{m}| < ϵ für alle m, n ≥ N, d.h. (a_{n})_{n∈ℕ} ist eine Cauchy-Folge. Sei s := lim_{n→∞} a_{n} der Grenzwert. Da (a_{n})_{n∈ℕ} monoton wachsend ist, gilt a_{n} ≤ s für alle n ∈ ℕ. Aus a_{k} < b_{n} und Satz 9.7 für die konstante Folge (b_{n})_{k} = b_{n} folgt s ≤ b_{n} für alle n ∈ ℕ. Somit gilt s ∈ [a_{n}, b_{n}] für alle n ∈ ℕ. □

Wir werden sehen, daß sich Folgen in sehr viel allgemeineren Räumen als ℝ oder ℂ betrachten lassen. In diesen Fällen ist die Intervallschachtelung nicht mehr sinnvoll, während die Definition der Vollständigkeit über die Konvergenz von Cauchy-Folgen im wesentlichen die gleiche bleibt, solange ein Abstand erklärt ist.

11 Reihen

Ist (a_{n})_{n∈ℕ} eine Folge komplexer Zahlen, so werden durch

s_{0} := a_{0} , s_{1} := a_{0} + a_{1} , …, s_{m} := ∑_{k=0}^{m} a_{k}

die sogenannten Partialsummen definiert. Diese bilden dann die Folge der Partialsummen (s_{m})_{m∈ℕ}, die wieder auf Konvergenz untersucht werden kann. Eine solche Folge der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe, und für diese schreibt man

∑_{n=0}^{∞} a_{n}. Das Symbol hat eine doppelte Bedeutung: Zum einen ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} gleichbe-

deutend mit der Folge der Partialsummen (s_{m})_{m∈ℕ} mit s_{m} := ∑_{k=0}^{m} a_{k}. Konvergiert

diese Folge, dann meint man mit ∑_{n=0}^{∞} a_{n} auch den eindeutig bestimmten Grenz-

wert der Folge der Partialsummen. Über das Cauchysche Konvergenzkriterium für Folgen erhalten wir:

Satz 11.1 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} ist genau

dann konvergent, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß | ∑_{k=n}^{m} a_{k}| < ϵ

für alle m ≥ n > N.

Beweis. Klar wegen |s_{m} − s_{n−1}| = | ∑_{k=n}^{m} a_{k}|. □

Daraus ergibt sich, daß aus der Konvergenz von ∑_{n=0}^{∞} a_{n} auch die Konvergenz

von ∑_{n=p}^{∞} a_{n} folgt, und umgekehrt (wenn alle a_{n} definiert sind).

Satz 11.2 Die geometrische Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} konvergiert für z ∈ ℂ mit 0 < |z| < 1,

und in diesem Fall gilt ∑_{n=0}^{∞} z^{n} = \frac{1}{1 − z}.

Beweis. Nach Satz: 2.3 (analog zu beweisen für z ∈ ℂ \ {0, 1}) sind für z ∉ {0, 1} die Partialsummen gegeben durch

s_{n} := ∑_{k=0}^{n} z^{k} = \frac{1 − z^{n+1}}{1 − z} ,

und nach Satz 9.5.iv) ist die Folge (\frac{1−z^{n+1}}{1−z} )_{n∈ℕ} für |z| < 1 konvergent mit dem angegebenen Grenzwert. □

Beispiel 11.3 (periodische Dezimalbrüche) Für q = 0.\overline{162} := 162 ∑_{n=1}^{∞} 10^{−3n}

gilt q = \frac{162}{1000} · ∑_{n=0}^{∞} 10^{−3n} = \frac{162}{1000} · \frac{1}{1−10^{−3}} = \frac{162}{999} = \frac{18}{111} = \frac{6}{37}. ◁

Satz 11.4 Die harmonische Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n} ist divergent.

Beweis. Wir zeigen, daß die Folge der Partialsummen keine Cauchy-Folge ist. Für beliebige N ∈ ℕ^{×} gilt

s_{2N} − s_{N} = ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{k} ≥ ∑_{k=N+1}^{2N} \frac{1}{2N} = \frac{1}{2} .

Wäre (s_{n})_{n≥1} eine Cauchy-Folge, so gäbe es zu ϵ = \frac{1}{2} ein N ∈ ℕ mit |s_{n} −s_{m}| < \frac{1}{2} für alle n, m ≥ N, Widerspruch. □

Es ist im allgemeinen leichter, die Konvergenz einer Reihe zu beweisen, als den Grenzwert konkret anzugeben. Für den Konvergenzbeweis stehen mehrere Kriterien zur Verfügung.

Lemma 11.5 Sind ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} konvergent, so gilt

∑_{n=0}^{∞}(a_{n} + b_{n}) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} + ∑_{n=0}^{∞} b_{n}  und ∑_{n=0}^{∞}(za_{n}) = z ∑_{n=0}^{∞} a_{n}  (z ∈ ℂ) .

Beweis. Folgt aus Satz 9.3. □

Somit bilden konvergente Reihen einen Vektorraum.

Lemma 11.6 Ist ∑_{n=0}^{∞} a_{n} konvergent, so bildet (a_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge.

Beweis. Es sei s der Grenzwert der Reihe. Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit |s_{n} − s| < \frac{ϵ}{2} für alle n > N. Aus a_{n} = s_{n} − s_{n−1} folgt |a_{n} − 0| = |s_{n} − s_{n−1}| = |s_{n} − s + (s − s_{n−1})| ≤ |s_{n} − s| + |s_{n−1} − s| < ϵ für alle n ≥ N. □

Das ist nützlich in negierter Form: Ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, so kann die Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} nicht konvergent sein. Daraus ergibt sich, daß für z ∈ ℂ mit |z| ≥ 1 die

Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} nicht konvergieren kann, da (z^{n})_{n∈ℕ} dann keine Nullfolge ist.

Die Umkehrung von Lemma 11.6 wäre falsch: Ist (a_{n})_{n∈ℕ} Nullfolge, so kann zunächst nichts über die Konvergenz gesagt werden, wie das Beispiel der harmonischen Reihe zeigt.

Lemma 11.7 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} mit positiven reellen Gliedern a_{n} ≥ 0 konver-

giert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Beweis. Für a_{n} ≥ 0 ist die Folge der Partialsummen monoton. □

Beispiel 11.8 Die folgende Reihe ist konvergent: ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 1.

Beweis. Wegen \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k+1} (Partialbruchzerlegung) gilt

s_{m} := ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{k(k + 1)} = ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{k} − ∑_{k=1}^{m} \frac{1}{(k + 1)} = 1 − \frac{1}{m + 1} .

Die Folge (1 − \frac{1}{n+1})_{n≥1} ist konvergent mit dem angegebenen Grenzwert. ◁ Satz 11.9 Für s ∈ ℚ_{+}^{×} ist

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} \{ \begin{matrix}konvergent für & s > 1 \\ divergent für & s ≤ 1 \end{matrix}

Beweis. Für s ≤ 1 gilt für die Partialsummen

s_{n} = \frac{1}{1^{s}} + \frac{1}{2^{s}} + ⋯ + \frac{1}{n^{s}} ≥ \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n} ,

und für die (divergente) harmonische Reihe ist die Folge der Partialsummen unbeschränkt.

Für s > 1 betrachten wir die Teilfolge s_{2^{k}−1} der Partialsummen. Durch Zusammenfassen der Summanden a_{2^{j}}, … a_{2^{j+1}−1} entsteht

s_{2^{k}−1} = 1 + (\frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} ) + (\frac{1}{4^{s}} + ⋯ + \frac{1}{7^{s}} ) + ⋯ + (\frac{1}{(2^{k−1})^{s}} + ⋯ + \frac{1}{(2^{k} − 1)^{s}} )

≤ 1 + 2 · \frac{1}{2^{s}} + 4 · \frac{1}{4^{s}} + ⋯ + 2^{k−1} · \frac{1}{(2^{k−1})^{s}}

= ∑_{j=0}^{k−1} \frac{2^{j}}{(2^{j})^{s}} = ∑_{j=0}^{k−1} (\frac{1}{2^{s−1}} )^{j} = \frac{1 − (\frac{1}{2})^{(s−1)k}}{1 − (\frac{1}{2})^{s−1}} < \frac{2^{s−1}}{2^{s−1} − 1} .

Damit ist die Teilfolge (s_{2^{k}−1})_{k≥1} beschränkt. Da jedes n ∈ ℕ durch ein 2^{k} −1 ≥ n abgeschätzt werden kann und die Folge der Partialsummen monoton ist, ist auch (s_{n})_{n∈ℕ} selbst beschränkt und damit konvergent. □

Die Reihe ζ(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{z}} heißt Riemannsche Zeta-Funktion, wobei zunächst z ∈

ℚ mit z > 1 ist. Später wird sich zeigen, daß die Reihe auch für gewisse z ∈ ℂ sinnvoll ist. Über die Grenzwerte können wir zunächst nicht viel sagen. Später

werden wir z.B. ζ(2) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} zeigen.

Satz 11.10 (Konvergenzkriterium von Leibniz) Es sei (a_{n})_{n∈ℕ} eine mono-

ton fallende Nullfolge (insbesondere a_{n} ∈ ℝ_{+}). Dann ist die Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n}a_{n}

konvergent, und für den Grenzwert s gilt |s − ∑_{j=0}^{n}(−1)^{j}a_{j}| ≤ a_{n+1}.

Solche Reihen heißen alternierend.

Beweis. Für die geraden Partialsummen gilt s_{2k+2} − s_{2k} = a_{2k+2} − a_{2k+1} < 0, d.h. die Teilfolge (s_{2k})_{k∈ℕ} ist monoton fallend. Für die ungeraden Partialsummen gilt s_{2k+3} − s_{2k+1} = −a_{2k+3} + a_{2k+2} > 0, d.h. die Teilfolge (s_{2k+1})_{k∈ℕ} ist monoton wachsend. Weiter gilt s_{2k+1} − s_{2k} = −a_{2k+1} < 0, d.h. s_{2k} ≥ s_{2k+1} ≥ s_{1} für alle k ∈ ℕ. Da also (s_{2k})_{k∈ℕ} monoton und beschränkt ist, konvergiert die gerade Teilfolge gegen einen Grenzwert s_{g}, und analog konvergiert (s_{2k})_{k∈ℕ} gegen einen Grenzwert s_{u} ≤ s_{g}. Nach Satz 9.3 gilt s_{g}−s_{u} = lim_{k→∞}(s_{2k}−s_{2k+1}) = lim_{k→∞} a_{2k+1} = 0. Damit konvergiert die gesamte Folge der Partialsummen gegen den gemeinsamen Grenzwert s = s_{g} = s_{u}.

Die Fehlerabschätzung ergibt sich daraus, daß s zwischen s_{k} und s_{k+1} liegt und |s_{k} − s_{k+1}| = a_{k+1}. □

Beispiel 11.11 Die alternierende harmonische Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n+1} ist konvergent. Der Grenzwert liegt zwischen s_{1} = \frac{1}{2} und s_{0} = 1. Mit später bereitgestellten Methoden kann man ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n+1} = ln 2 zeigen.

Die alternierende Reihe ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n+1} ist konvergent. Der Grenzwert liegt zwischen s_{1} = \frac{1}{3} und s_{0} = 1. Mit später bereitgestellten Methoden kann man ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{2n+1} = \frac{π}{4} zeigen. ◁

12 Absolute Konvergenz von Reihen

Definition 12.1 Eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} heißt absolut konvergent, wenn auch die Reihe

∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| konvergent ist.

Satz 12.2 (Majorantenkriterium) Es seien ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} b_{n} Reihen und p ∈

ℕ derart, daß |a_{n}| ≤ |b_{n}| für alle n ≥ p.

i) Ist ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}| konvergent, so konvergieren auch ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|, und es

gilt

| ∑_{n=p}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| .

Insbesondere ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent.

ii) Ist ∑_{n=p}^{∞} a_{n} divergent, so ist auch ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| divergent.

Das Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe zeigt, daß aus Konvergenz nicht absolute Konvergenz folgt.

Beweis. ii) folgt aus i) durch Negation.

i) Zu jedem ϵ > 0 gibt es nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium ein N ∈ ℕ mit N ≥ p, so daß ∑_{k=n}^{m} |b_{k}| < ϵ für alle m ≥ n > N. Nach der Dreiecksungleichung gilt für die endliche Summe

| ∑_{k=n}^{m} a_{k}| = |a_{n} + ⋯ + a_{m}| ≤ |a_{n}| + ⋯ + |a_{m}| = ∑_{k=n}^{m} |a_{k}| ≤ ∑_{k=n}^{m} |b_{k}| < ϵ ,

so daß ∑_{n=p}^{∞} a_{n} und ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium konvergent sind. Aus Satz 9.7.i) folgt schließlich

| ∑_{n=p}^{∞} a_{n}| = | lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} a_{n}| = lim_{m→∞} | ∑_{n=p}^{m} a_{n}|
≤ lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} |a_{n}| \{ \begin{matrix}= ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}| \\ ≤ lim_{m→∞} ∑_{n=p}^{m} |b_{n}| = ∑_{n=p}^{∞} |b_{n}| \end{matrix}  □

Beispiel 12.3 i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} ist konvergent, da für n > 2 gilt:

\frac{n!}{n^{n}} = \frac{1}{n} · \frac{2}{n} ⋯ \frac{n − 1}{n} · \frac{n}{n} ≤ \frac{2}{n^{2}} , und ∑_{n=1}^{∞} \frac{2}{n^{2}} ist (absolut) konvergent.

ii) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n(n + 1)}} ist divergent, da \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}} ≥ \frac{1}{n+1}, und die harmonische Reihe ist divergent. ◁

Satz 12.4 (Quotientenkriterium) Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine Reihe mit a_{n} ≠ 0 für alle n ∈ ℕ, und es gebe ein N ∈ ℕ und ein 0 < q < 1, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q für alle n ≥ N. Dann konvergiert die Reihe absolut. Beweis. Für n ≥ N gilt dann |a_{n}| ≤ q|a_{n−1}| ≤ … (q)^{n−N}|a_{N}|, so daß die Reihe ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| durch die konvergente Reihe ∑_{n=N}^{∞} q^{n} \frac{|a_{N}|}{q^{N}} = \frac{|a_{N}|}{1 − q} majorisiert wird. □

Die Eigenschaft |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | ≤ q für ein 0 < q < 1 ist automatisch erfüllt, wenn die Folge (|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |)_{n∈ℕ} gegen ein α < 1 konvergiert: Nach Definition des Grenzwertes gibt es dann zu α < q < 1 ein N ∈ ℕ, so daß |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} − α + α| ≤

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Preliminary version – 31. März 2012

α + |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} − α| ≤ q für alle n ≥ N. Gilt lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = q > 1, dann ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, und die Reihe divergiert.

Wichtig ist, daß das q im Quotientenkriterium unabhängig von n sein muß.

Für die Reihe ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} mit s ∈ ℚ_{+}^{∗} ist zwar |(\frac{n}{n+1})^{s}| < 1 für alle n ≥ 1, aber zu

jedem q < 1 findet man ein N ∈ ℕ mit q < |(\frac{n}{n+1})^{s}| < 1 für alle n ≥ N. Über die Konvergenz kann das Quotientenkriterium in diesem Fall keine Aussage machen. Die Reihe ist für s > 1 absolut konvergent und für s ≤ 1 divergent.

Die Konvergenz der geometrischen Reihe kann nicht mit dem Quotientenkriterium begründet werden!

Beispiel 12.5 ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(\frac{n}{4})^{n} ist (absolut) konvergent, denn

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} \frac{(n + 1)^{n+1} · 4^{n} · n!}{n^{n} · 4^{n+1} · (n + 1)!} = lim_{n→∞} \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{n})^{n} = \frac{e}{4} < 1 .  ◁

Beispiel 12.6 (komplexe Binomialreihen) Über \binom{α}{k} := ∏_{j=1}^{k} \frac{α − j + 1}{j} für

k ∈ ℕ und α ∈ ℂ lassen sich komplexe Binomialkoeffizienten definieren. Wir betrachten für z ∈ ℂ die zugehörige binomische Reihe

B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} ,

die für α ∈ ℕ bei k = α abbricht und in die binomische Formel übergeht. Das Quotientenkriterium liefert lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} |\frac{α − n}{n + 1} · z| = |z|, so daß die bi-

nomische Reihe für |z| < 1 absolut konvergent ist und für |z| > 1 divergiert. ◁

Satz 12.7 (Wurzelkriterium) Für eine Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n} existiere ein N ∈ ℕ und

ein 0 < q < 1, so daß \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ q für alle n ≥ N. Dann konvergiert die Reihe

∑_{n=0}^{∞} a_{n} absolut.

Ist \sqrt[n]{|a_{n}|} ≥ 1 für unendlich viele n ∈ ℕ, so ist (a_{n})_{n∈ℕ} keine Nullfolge, und die Reihe ist divergent.

Beweis. Die Reihe ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| besitzt die konvergente Majorante ∑_{n=N}^{∞} q^{n}. □

Die Eigenschaft \sqrt[n]{|a_{n}|} ≤ q für ein 0 < q < 1 ist automatisch erfüllt, wenn lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} < 1, insbesondere wenn (\sqrt[n]{|a_{n}|})_{n∈ℕ} gegen α < 1 konvergiert.

Beispiel 12.8 Die Reihe ∑_{n=1}^{∞} n^{k}z^{n} für z ∈ ℂ mit |z| < 1 ist absolut konvergent:

Wir betrachten \sqrt[n]{|n^{k}z^{n}|} = \sqrt[n]{n^{k}}|z|. Wegen lim_{n→∞} \sqrt[n]{n^{k}} = 1 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß \sqrt[n]{n^{k}} < \frac{2}{1+|z|}. Damit kann im Wurzelkriterium q = \frac{2|z|}{1+|z|} < 1 gewählt werden. ◁

Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine Reihe und τ : ℕ → ℕ eine bijektive Abbildung. Dann

nennt man die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)} eine Umordnung der Reihe. Im Gegensatz zu end-

lichen Summen gilt das Kommutativgesetz “∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)}” nicht immer.

Wir zeigen, daß es bei absolut konvergenten Reihen gilt und zumindest für die alternierende harmonische Reihe nicht gilt.

Satz 12.9 (Umordnungssatz) Es sei ∑_{n=0}^{∞} a_{n} eine absolut konvergente Reihe.

Dann ist auch jede Umordnung dieser Reihe absolut konvergent mit dem gleichen Grenzwert.

Beweis. Es sei s = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} und τ : ℕ → ℕ bijektiv. Zu jedem ϵ > 0 gibt es wegen

der absoluten Konvergenz ein N ∈ ℕ, so daß ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < \frac{ϵ}{2}. Dann gilt

|s−∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| = | lim_{M→∞} ∑_{n=0}^{M} a_{n}−∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| = | lim_{M→∞} ∑_{n=N}^{M} a_{n}| = | ∑_{n=N}^{∞} a_{n}| ≤ ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < \frac{ϵ}{2} .

Sei nun ein N′ ∈ ℕ so gewählt, daß {0, 1, …, N − 1} ⊂ {τ(0), τ(1), …, τ(N′)}, d.h. N′ ≥ max(τ^{−1}(0), … τ^{−1}(N − 1)}. Dann gilt für alle m ≥ N′ nach der Dreiecksungleichung

| ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − s| ≤ | ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}| + | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n} − s| < ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| + \frac{ϵ}{2} < ϵ ,

denn in ∑_{n=0}^{m} a_{τ(n)} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n} heben sich a_{0}, a_{1}, …, a_{N−1} gegeneinander weg und

die Summe über die verbleibenden Terme ist wie angegeben beschränkt. Damit konvergiert ∑_{n=0}^{∞} a_{τ(n)} gegen den gleichen Grenzwert s. Die absolute Konvergenz

folgt durch Wiederholung des Beweises für die Reihe ∑_{n=0}^{∞} |a_{τ(n)}|. □

Der Umordnungssatz wird später benötigt, um Identitäten zwischen verschiedenen Reihen zu beweisen.

Wir zeigen nun am Beispiel der alternierenden harmonischen Reihe, die konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, daß der Umordnungssatz in diesem Fall nicht gilt. Wir betrachten folgende Umordnung:

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{τ(n)+1}}{τ(n)} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} − \frac{1}{6}) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{15} − \frac{1}{8}) + …
+ (\frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n+1}−1} − \frac{1}{2n+2}) + …

In dieser Umordnung kommen alle negativ zu zählenden Glieder \frac{1}{2n+2} vor, aber immer mehr verzögert gegenüber den positiven Gliedern. Nun gilt die Abschätzung

(\frac{1}{2^{n}+1} + \frac{1}{2^{n}+3} + ⋯ + \frac{1}{2^{n+1}−1} − \frac{1}{2n+2}) > 2^{n−1} \frac{1}{2^{n+1}} − \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{4} − \frac{1}{2n+2}
≥ \frac{1}{12} für n ≥ 2 .

Wie schon im Divergenzbeweis der harmonischen Reihe ist damit für ϵ = \frac{1}{12} das Cauchysche Konvergenzkriterium verletzt, so daß die umgeordnete Reihe divergiert. Man kann übrigens für die alternierende harmonische Reihe zu jedem x ∈ ℝ eine Umordnung derart finden, daß die umgeordnete Reihe gegen x konvergiert.

13 Euklidische, unitäre und normierte Vektorräume

Definition 13.1 Es sei 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ und V ein Vektorraum über 𝕂. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung ⟨ . ⟩ : V × V → 𝕂 mit

(S1) ⟨ . ⟩ ist linear in der zweiten Variablen, d.h.

⟨w, λ_{1}v_{1} + λ_{2}v_{2}⟩ = λ_{1}⟨w, v_{1}⟩ + λ_{2}⟨w, v_{2}⟩

für alle v_{1}, v_{2}, w ∈ V und λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝕂.

(S2) Es gilt ⟨w, v⟩ = \overline{⟨v, w⟩} (komplexe Konjugation) für alle v, w ∈ V.

(S3) Es gilt ⟨v, v⟩ ≥ 0 für alle v ∈ V und ⟨v, v⟩ = 0 genau dann, wenn v = 0.

Ein reeller bzw. komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer bzw. unitärer Vektorraum oder (in der Funktionalanalysis) Prä-Hilbert-Raum.

Achtung: Wir verwenden hier die Konvention der Physik. In der mathematischen Literatur wird das Skalarprodukt als linear in der ersten Komponente definiert. In unserer Konvention folgt aus (S1) und (S2) für die erste Komponente

⟨λ_{1}w_{1}+λ_{2}w_{2}, v⟩ = \overline{⟨v, λ_{1}w_{1}+λ_{2}w_{2}⟩} = \overline{λ_{1}⟨v, w_{1}⟩ + λ_{2}⟨v, w_{2}⟩} = \overline{λ_{1}}⟨w_{1}, v⟩+\overline{λ_{2}}⟨w_{2}, v⟩.

In reellen Vektorräumen ist das Skalarprodukt also auch in der ersten Variablen linear. Außerdem vereinfacht sich (S2) in reellen Vektorräumen zur Symmetrie ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩. Es sei bemerkt, daß aus (S2) folgt ⟨v, v⟩ ∈ ℝ, so daß (S3) sinnvoll ist.

Beispiel 13.2 (Standardskalarprodukt in ℝ^{n}) Durch

⟨x, y⟩ := x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + ⋯ + x_{n}y_{n} , für \begin{matrix}x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} , \\ y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℝ^{n} \end{matrix}

wird ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : ℝ^{n} ×ℝ^{n} → ℝ definiert. Dieses heißt das kanonische Skalarprodukt im ℝ^{n}. ◁

Beispiel 13.3 (Standardskalarprodukt in ℂ^{n}) Durch

⟨w, z⟩ := \overline{w_{1}}z_{1} + \overline{w_{2}}z_{2} + ⋯ + \overline{w_{n}}z_{n} , für \begin{matrix}w = (w_{1}, …, w_{n}) ∈ ℂ^{n} , \\ z = (z_{1}, …, z_{n}) ∈ ℂ^{n} \end{matrix}

wird ein Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : ℂ^{n} ×ℂ^{n} → ℂ definiert. Dieses heißt das kanonische Skalarprodukt im ℂ^{n}. ◁

Beispiel 13.4 Es sei V = ℝ^{2}. Dann definiert

⟨( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} )⟩ = (2x_{1} + x_{2})y_{1} + (x_{1} + 2x_{2})y_{2} = (2y_{1} + y_{2})x_{1} + (y_{1} + 2y_{2})x_{2}

ein Skalarprodukt. (S3) folgt aus ⟨x, x⟩ = 2x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn x_{1} = x_{2} = 0. Dieses Skalarprodukt ist verschieden vom kanonischen. Tatsächlich gibt es unendlich viele verschiedene Skalarprodukte auf 𝕂^{n}. ◁

Beispiel 13.5 Es sei

ℓ^{2} := {(a_{n})_{n∈ℕ} : ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2} < ∞}

der Vektorraum der quadrat-summierbaren komplexen Zahlenfolgen. Dann definiert

⟨a, b⟩ := ∑_{n=0}^{∞} \overline{a_{n}}b_{n} , a = (a_{n})_{n∈ℕ}, b = (b_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{2}

ein Skalarprodukt auf ℓ^{2}. Dabei wird verwendet, daß wegen |\overline{a_{n}}b_{n}| = |a_{n}| |b_{n}| ≤ \frac{1}{2}(|a_{n}|^{2} + |b_{n}|^{2}) die unendliche Reihe nach Majorantenkriterium absolut konvergiert. Ist ⟨a, a⟩ = 0, so folgt |a_{n}|^{2} = 0 für alle n, so daß (a_{n})_{n∈ℕ} die Nullfolge, also das Nullelement von ℓ^{2}, ist. ◁

Wir kommen nun zur wichtigsten Ungleichung für Skalarprodukte.

Satz 13.6 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) Es sei V ein Vektorraum über 𝕂 mit Skalarprodukt ⟨ , ⟩ : V × V → 𝕂. Dann gilt

|⟨w, v⟩|^{2} ≤ ⟨v, v⟩⟨w, w⟩ für alle v, w ∈ V

mit Gleichheit genau dann, wenn v und w linear abhängig sind.

Beweis. i) Sei w ≠ 0 (für w = 0 ist die Ungleichung offensichtlich erfüllt), somit ist ⟨w, w⟩ ≠ 0. Dann gilt für beliebiges λ ∈ ℂ

0 ≤ ⟨λw − v, λw − v⟩ = λ\overline{λ}⟨w, w⟩ − \overline{λ}⟨w, v⟩ − λ⟨v, w⟩ + ⟨v, v⟩

= ⟨w, w⟩|λ − \frac{⟨w, v⟩}{⟨w, w⟩}|^{2} + \frac{1}{⟨w, w⟩}(⟨w, w⟩⟨v, v⟩ − |⟨w, v⟩|^{2}) .

Insbesondere gilt die Ungleichung für λ = \frac{⟨w,v⟩}{∥w∥^{2}} und wird zur Ungleichung von Cauchy-Schwarz.

ii) Gilt das Gleichheitszeichen in Cauchy-Schwarz, so ist

⟨λw − v, λw − v⟩ = ⟨w, w⟩|λ − \frac{⟨w, v⟩}{⟨w, w⟩}|^{2}

für beliebiges λ ∈ ℂ. Damit gilt ⟨λw−v, λw−v⟩ = 0 für λ = \frac{⟨w,v⟩}{⟨w,w⟩}, somit v = λw. □

Definition 13.7 Es sei V ein Vektorraum über 𝕂. Eine Norm auf V ist eine Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ_{+} mit

(N1) ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0 ,

(N2) ∥λv∥ = |λ| ∥v∥ für alle v ∈ V, λ ∈ 𝕂,

(N3) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ für alle v, w ∈ V (Dreiecksungleichung)

Ein Vektorraum mit Norm heißt normierter Vektorraum.

Satz 13.8 Jeder euklidische und unitäre Vektorraum ist auch ein normierter Vektorraum mit ∥v∥ := \sqrt{⟨v, v⟩}.

Beweis. (N1) und (N2) sind klar, (N3) folgt aus Cauchy-Schwarz:

∥v + w∥^{2} = ⟨v + w, v + w⟩ = ⟨v, v⟩ + 2Re(⟨v, w⟩) + ⟨w, w⟩
≤ ⟨v, v⟩ + 2|⟨v, w⟩| + ⟨w, w⟩
≤ ⟨v, v⟩ + 2\sqrt{⟨v, v⟩⟨w, w⟩} + ⟨w, w⟩ = (∥v∥ + ∥w∥)^{2} .  □

Damit liefern die Beispiele 13.2–13.5 auch Beispiele für normierte Vektorräume. Dabei werden die durch die Standard-Skalarprodukte aus den Beispielen 13.2,13.3 und 13.5 induzierten Normen meist mit ∥ ∥_{2} bezeichnet. Weitere Beispiele sind:

Beispiel 13.9 i) V = 𝕂^{n} ist mit ∥x∥_{1} := ∑_{i=1}^{n} |x_{i}| für x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ 𝕂^{n} ein normierter Vektorraum (𝕂^{n}, ∥ ∥_{1}). (N1) und (N2) sind klar, (N3) folgt aus der Dreiecksungleichung in ℝ bzw. ℂ für jede Komponente.

ii) ∥x∥_{p} := ( ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} ist für jedes 1 ≤ p < ∞ eine Norm auf 𝕂^{n}. Vorerst können wir die Norm nur für p ∈ ℚ definieren. Der typische Beweis erfordert die Minkowskische Ungleichung, die erst später bewiesen wird. ◁

Beispiel 13.10 Es sei

ℓ^{1} := {(a_{n})_{n∈ℕ} : ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| < ∞}

der Vektorraum der absolut-konvergenten Reihen (oder der summierbaren komplexen Zahlenfolgen). Dann definiert

∥a∥_{1} := ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|

eine Norm auf ℓ^{1}. Tatsächlich gilt

∥a + b∥_{1} = ∑_{n=0}^{∞} |a_{n} + b_{n}| ≤ ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}| + ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}| = ∥a∥_{1} + ∥b∥_{1} .

Aus ∥a∥_{1} = 0 folgt a_{n} = 0 für alle n, so daß (a_{n})_{n∈ℕ} die Nullfolge ist. ◁

Beispiel 13.11 Sei M eine beliebige Menge und ℓ^{∞}(M) die Menge der beschränkten Abbildungen f : M → 𝕂. Mit der punktweisen Addition (f_{1} + f_{2})(m) := f_{1}(m) + f_{2}(m) und (λf)(m) := λf(m) wird ℓ^{∞}(M) zu einem Vektorraum. Dann wird durch

∥f∥_{∞} := sup_{m∈M} |f(m)|

eine Norm (die Supremums-Norm) erklärt. Tatsächlich gilt

∥f + g∥_{∞} := sup_{m∈M} |f(m) + g(m)| ≤ sup_{m∈M}(|f(m)| + |g(m)|)

≤ sup_{m′,m′′∈M}(|f(m′)| + |g(m′′)|) = ∥f∥_{∞} + ∥g∥_{∞} .

Ist ∥f∥_{∞} = 0, so ist f(m) = 0 für alle m, und f ist die Nullabbildung. Somit ist (ℓ^{∞}(M), ∥ ∥_{∞}) ein normierter Vektorraum.

Ein wichtiger Spezialfall ist ℓ^{∞} := ℓ^{∞}(ℕ). Der Vektorraum ℓ^{∞}({1, 2, …, n}) kann mit 𝕂^{n} identifiziert werden, und die Supremumsnorm mit ∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{∞} := max_{i=1,...,n} |x_{i}|. ◁

Satz 13.12 Sind a = (a_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{1} und b = (b_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{∞}, so gilt für die Folge ab := (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ} der Produkte ∥ab∥_{1} ≤ ∥a∥_{1}∥b∥_{∞}. Insbesondere ist ab ∈ ℓ^{1}.

Beweis. Die Folge ab hat wegen |b_{n}| ≤ ∥b∥_{∞} die konvergente Majorante a∥b∥_{∞} ∈ ℓ^{1}. □

Mit ∥a∥_{1}, ∥a_{2}∥ und ∥a∥_{∞} haben wir auf dem unendlich-dimensionalen Vektorraum aller (nicht notwendig konvergenten) Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} verschiedene Normen erklärt, so daß ℓ^{1}, ℓ^{2} und ℓ^{∞} verschiedene normierte Vektorräume werden. Die konstante Folge a_{n} = 1 liegt in ℓ^{∞}, nicht aber in ℓ^{1} und ℓ^{2}. Die harmonische Reihe a_{n} = \frac{1}{n+1} liegt in ℓ^{2}, nicht aber in ℓ^{1}. In endlich-dimensionalen Vektorräumen kann es diese Unterscheidung nicht geben:

Definition 13.13 Zwei Normen ∥ ∥_{a} und ∥ ∥_{b} auf einem Vektorraum V heißen äquivalent, wenn es positive Zahlen c, C > 0 gibt, so daß für beliebige x ∈ V gilt c∥x∥_{a} ≤ ∥x∥_{b} ≤ C∥x∥_{a}.

Satz 13.14 Je zwei Normen auf einem n-dimensionalen Vektorraum V über 𝕂 sind äquivalent.

Beweis. i) Zunächst zeigen wir für V = ℝ^{n}, daß eine beliebige Norm ∥ ∥ äquivalent ist zur Standardnorm ∥ ∥_{2} = \sqrt{⟨ , ⟩}. Es sei (e_{1}, …, e_{n}) die Standardbasis. Dann gilt für x = ∑_{i=1}^{n} x_{i}e_{i} nach Dreiecksungleichung und Cauchy-Schwarz

∥x∥ ≤ ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|∥e_{i}∥ ≤ \sqrt{∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} \underbrace{\sqrt{∑_{i=1}^{n} ∥e_{i}∥^{2}}}_{C} = C∥x∥_{2} .  (*)

Zur Umkehrung betrachten wir die Einheitssphäre S^{n−1} := {y ∈ ℝ^{n} : ∥y∥_{2} = 1} ⊂ ℝ^{n}. Sei c := inf_{y∈S^{n−1}} ∥y∥. Wir zeigen im folgenden Lemma: Das Infimum ist Minimum, d.h. es gibt ein a ∈ S^{n−1} mit ∥a∥ = c. Wegen 0 ∉ S^{n−1} ist dann c > 0, und es folgt c∥x∥_{2} ≤ ∥x∥ für alle x ∈ ℝ^{n} (klar für x = 0, ansonsten setze y := \frac{x}{∥x∥_{2}} ∈ S^{n−1}).

Damit ist der Beweis für V = ℝ^{n} abgeschlossen. Für V = ℂ^{n} entsteht für x = ∑_{i=1} x_{i}e_{i} mit x_{i} ∈ ℂ in (*) die Ungleichung ∥x∥ ≤ C\sqrt{∑_{i=1}^{n}((Re(x_{i}))^{2} + (Im(x_{i}))^{2})} = C∥(Re(x), Im(x))∥_{2}, so daß wir (Re(x), Im(x)) als Punkt im ℝ^{2n} auffassen können. Nach analoger Diskussion der Sphäre S^{2n−1} ist dann auch der Fall V = ℂ^{n} bewiesen.

ii) Sei nun V ein beliebiger n-dimensionaler Vektorraum und ∥ ∥_{a}, ∥ ∥_{b} zwei Normen auf V. Wir wählen eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von V. Dann sind

∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{a,B} := ∥x_{1}v_{1}+⋯+x_{n}v_{n}∥_{a} , ∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{b,B} := ∥x_{1}v_{1}+⋯+x_{n}v_{n}∥_{b}

zwei Normen auf 𝕂^{n}. Somit gibt es c, C > 0, so daß für alle x_{1}, …, x_{n} ∈ 𝕂 gilt

c∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{a,B} ≤ ∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{b,B} ≤ C∥(x_{1}, …, x_{n})∥_{a,B} .

Folglich ist c∥v∥_{a} ≤ ∥v∥_{b} ≤ ∥v∥_{a} für beliebige v ∈ V. □

Lemma 13.15 Sei ∥ ∥ eine beliebige Norm auf ℝ^{n} und S^{n−1} := {y ∈ ℝ^{n} : ∥y∥_{2} = 1} die Einheitssphäre bezüglich der Standard-Norm ∥ ∥_{2}. Sei c := inf_{y∈S^{n−1}} ∥y∥. Dann gibt es ein a ∈ S^{n−1} mit ∥a∥ = c.

Beweis. Nach Cauchy-Schwarz gilt 0 < ∥x∥ ≤ C für alle x ∈ S^{n−1}. Damit ist die Menge T := {∥x∥ : x ∈ S^{n−1}} ⊂ ℝ beschränkt, besitzt also ein Infimum c. Angenommen, c ist nicht Minimum. Dann muß T eine unendliche Menge von Punkten sein, und da c+ \frac{1}{n+1} keine untere Schranke von T ist, gibt es eine gegen c konvergente Folge von Punkten aus T. Somit gibt es auch eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten x_{k} ∈ S^{n−1}, für die die Folge (∥x_{k}∥)_{k∈ℕ} reeller Zahlen gegen c konvergiert.

Wir betrachten die Komponenten x_{ki} von x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}). Wegen ∑_{i=1}^{n} |x_{ki}|^{2} = 1 ist die Folge (x_{k1})_{k∈ℕ} beschränkt. Damit enthält sie nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine gegen a_{1} konvergente Teilfolge (x_{k_{m}1})_{m∈ℕ}. Analog konstruiert man eine gegen a_{2} konvergente Teilfolge von (x_{k_{m}2})_{m∈ℕ}, usw., bis schließlich eine Teilfolge von (x_{k}) erhalten ist, die komponentenweise gegen a = (a_{1}, …, a_{n}) konvergiert. Diese konvergente Teilfolge sei wieder mit (x_{k})_{k∈ℕ} bezeichnet. Dann gilt a_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2} = lim_{k→∞}(x_{k1}^{2} + ⋯ + x_{kn}^{2}) = 1, d.h. a ∈ S^{n−1}. Andererseits gilt nach Dreiecksungleichung und Cauchy-Schwarz

c ≤ ∥a∥ ≤ ∥a − x_{k}∥ + ∥x_{k}∥ ≤ C∥a − x_{k}∥_{2} + ∥x_{k}∥ für alle k ∈ ℕ .

Nun ist lim_{k→∞} ∥a − x_{k}∥_{2} = lim_{k→∞} \sqrt{|a_{1} − x_{k1}|^{2} + … |a_{n} − x_{kn}|^{2}} = 0 und lim_{k→∞} ∥x_{k}∥ = c, also ∥a∥ = c und damit c Minimum. □

Definition 13.16 Sei (V, ∥ ∥) normierter Vektorraum und (v_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten aus V. i) Die Folge (v_{k})_{k∈ℕ} heißt konvergent, wenn es ein v ∈ V gibt mit folgender Eigenschaft: Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ mit ∥v − v_{k}∥ < ϵ für alle k ≥ N. Im Konvergenzfall heißt v der Grenzwert der Folge (v_{k})_{k∈ℕ}, und wir schreiben v = lim_{k→∞} v_{k}.

ii) Die Folge (v_{k})_{k∈ℕ} heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß ∥v_{n} − v_{k}∥ < ϵ für alle n, k ≥ N.

Wie in ℝ oder ℂ gilt:

i) Im Konvergenzfall ist der Grenzwert eindeutig bestimmt.

ii) Jede konvergente Folge und jede Cauchy-Folge ist beschränkt.

iii) Jede konvergente Folge ist Cauchy-Folge.

Nach Satz 13.14 ist im endlich-dimensionalen Fall der Konvergenzbegriff unabhängig von der Wahl der Norm. Insbesondere konvergiert im ℝ^{n} eine Punktfolge (x_{k})_{k∈ℕ} mit x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}) genau dann gegen a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ℝ^{n}, wenn für jede Koordinate 1 ≤ i ≤ n die Folge x_{ki} gegen a_{i} konvergiert.

Definition 13.17 Ein normierter Vektorraum (V, ∥ ∥) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert. Ein vollständiger normierter Vektorraum wird Banach-Raum genannt. Ein euklidischer oder unitärer Vektorraum (V, ⟨ , ⟩), der bezüglich ∥v∥ = \sqrt{⟨v, v⟩} vollständig ist, heißt Hilbert-Raum.

Satz 13.18 Jeder endlich-dimensionale normierte Vektorraum ist vollständig.

Beweis. Nach Satz 13.14 genügt es in endlich-dimensionalen Vektorräumen, die Vollständigkeit bezüglich einer Norm nachzuweisen. Nach Wahl einer Basis können wir uns dann auf 𝕂^{n} beschränken. Sei also (x_{k})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge bezüglich der ∥ ∥_{1}-Norm von Punkten x_{k} = (x_{k1}, …, x_{kn}) ∈ 𝕂^{n}. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈ ℕ, so daß für alle k, l ≥ N gilt

∥x_{k} − x_{l}∥_{1} = |x_{k1} − x_{l1}| + ⋯ + |x_{kn} − x_{ln}| < ϵ .

Also ist (x_{ki})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in 𝕂 für jedes i = 1, …, n. Wegen der Vollständigkeit von 𝕂 konvergiert (x_{ki})_{k∈ℕ} gegen ein a_{i} ∈ 𝕂. Damit konvergiert (x_{k}) gegen a = (a_{1}, …, a_{n}). □

Satz 13.19 Die normierten Vektorräume ℓ^{1} und ℓ^{2} sind vollständig. Insbesondere ist ℓ^{2} ein Hilbert-Raum.

Beweis. Sei p = 1 oder p = 2. Sei (x_{(k)})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge von Zahlenfolgen x_{(k)} = (x_{(k)n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{p}. Für das n-te Folgenglied gilt |x_{(k)n}| ≤ ∥x_{(k)}∥_{p}, d.h. für jedes n ist (x_{(k)n})_{k∈ℕ} eine Cauchy-Folge in 𝕂, die somit gegen eine Grenzfolge x = (x_{n})_{n∈ℕ} konvergiert, x_{n} := lim_{k→∞} x_{(k)n}.

Wir zeigen: x = (x_{n}) ∈ ℓ^{p} mit ∥x − x_{(k)}∥_{p} → 0. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß ∥x_{(k)} − x_{(l)}∥_{p} < ϵ für alle k, l ≥ N (Voraussetzung der Cauchy-Folge). Insbesondere

∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{(l)n}|^{p} < ϵ^{p} für alle K ∈ ℕ , k, l ≥ N .

Da für festes n ∈ ℕ die Folge (x_{(l)n})_{l∈ℕ} konvergent ist, ergibt sich im Limes l → ∞

s_{K} := lim_{l→∞} ( ∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{(l)n}|^{p}) = ∑_{n=0}^{K} |x_{(k)n} − x_{n}|^{p} ≤ ϵ^{p} .

Für festes k ≥ N ist die Folge der Partialsummen (s_{K}) monoton und beschränkt, so daß im Limes K → ∞ folgt ∥x_{(k)} − x∥_{p} ≤ ϵ. □

Es wird sich später zeigen, daß (unter einer technischen Annahme, der Separabilität) jeder Hilbert-Raum vermöge einer Orthonormalbasis mit ℓ^{2} identifiziert werden kann.

Mit ähnlichen Techniken zeigt man: ℓ^{∞}(M) ist Banach-Raum für eine beliebige Menge M.

14 Polynome

Ein Polynom in x mit Koeffizienten in ℂ ist ein formaler Ausdruck der Form

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} , a_{i} ∈ ℂ .

Die Menge aller solcher Polynomome wird mit ℂ[x] bezeichnet, bzw. mit ℝ[x] wenn a_{i} ∈ ℝ. Die Unbestimmte x werden wir zunächst als x ∈ ℂ oder x ∈ ℝ auffassen; später werden Verallgemeinerungen wichtig. Es gibt eine offensichtliche Addition

( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) + ( ∑_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}) := ∑_{i=0}^{max(m,n)}(a_{i} + b_{i})x^{i} ,

wobei a_{i} = 0 für i > n und b_{i} = 0 für i > m gesetzt wird. Das Nullpolynom f(x) = 0 (alle a_{i} verschwinden) ist das neutrale Element. Außerdem erhält man durch Ausmultiplizieren und Ordnen nach Potenzen von x eine Multiplikation

( ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}) · ( ∑_{j=0}^{m} b_{j}x^{j}) =: ∑_{k=0}^{m+n} c_{k}x^{k} , c_{k} = ∑_{j=0}^{k} a_{k−j}b_{j} .

(Es wird wieder a_{i} = 0 für i > n und b_{j} = 0 für j > m gesetzt.) Die auftretenden Summanden ergeben sich aus den Diagonalen im folgenden Schema (mit k = max(m, n)):

a_{k}b_{0} a_{k}b_{1}  … a_{k}b_{k}
[figure: ⋮; ⋮]
a_{2}b_{0}  … a_{2}b_{k}
[figure]
a_{1}b_{0} a_{1}b_{1}  … a_{1}b_{k}
[figure]
a_{0}b_{0} a_{0}b_{1} a_{0}b_{2} … a_{0}b_{k}

Der maximale Exponent von x, für den der Koeffizient in f(x) ungleich Null ist, heißt der Grad des Polynoms und wird mit deg(f) bezeichnet. Genauer ist für f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}

deg(f) = \{ \begin{matrix}−∞ & für f = 0 \\ max\{i ∈ ℕ : a_{i} ≠ 0\} & sonst \end{matrix}

Konstante, aber nichtverschwindende, Polynome haben den Grad 0. Es gilt

deg(f + g) ≤ max(deg(f), deg(g)) , deg(f · g) = deg(f) + deg(g)

(mit (−∞) + n = −∞ und (−∞) + (−∞) = −∞).

Satz 14.1 (Division mit Rest) Sind f, g ∈ ℂ[x] und ist g ≠ 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ ℂ[x] mit

f = q · g + r , deg(r) < deg(g) .

Beweis. i) Wir beweisen zunächst die Eindeutigkeit. Sei f = q · g + r = q′ · g + r′ mit deg(r) < deg(g) und deg(r′) < deg(g), dann folgt

(q − q′) · g = r′ − r .

Wäre q ≠ q′, dann ist der Grad der linken Seite deg((q−q′)·g) > deg(g), während der Grad der rechten Seite deg(r′ − r) < deg(g) ist, Widerspruch. Also ist q = q′ und dann r = r′.

ii) Existenz der Polynome durch explizite Konstruktion mittels “Division mit

Rest”. Sei f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} und g = ∑_{i=0}^{m} b_{i}x^{i}, mit a_{n}, b_{m} ≠ 0. Für n < m ist q = 0

und r = f. Sei also n ≥ m. Wir setzen

q_{(1)} := \frac{a_{n}}{b_{m}} x^{n−m} , f_{(1)} := f − q_{(1)} · g .

Da der höchste Koeffizient von f durch Subtraktion entfernt wurde, gilt deg(f_{(1)}) < deg(f). Auf diese Weise konstruiert man eine Folge von Monomen q_{(k)} = c_{k}x^{i(k)}, so daß für f_{(k)} := f_{(k−1)} − q_{(k)} · g gilt deg(f_{(k)}) < deg(f_{(k−1)}). Das Verfahren bricht im l-ten Schritt ab, wenn deg(f_{(l)}) < deg(g). Dann ist r := f_{(l)} und q := q_{(1)} + ⋯ + q_{(l)}. □

Beispiel 14.2 Es sei f = x^{3} und g = 2x^{2} + x, also a_{3} = 1 und b_{2} = 2. Dann ist q_{(1)} = \frac{a_{3}}{b_{3}} x^{3−2} = \frac{1}{2}x und f_{(1)} = f − \frac{1}{2}x · (2x^{2} + x) = −\frac{1}{2}x^{2}. Im nächsten Schritt ist

q_{(2)} = \frac{− \frac{1}{2}}{2} x^{0} = −\frac{1}{4} und f_{(2)} = f_{(1)} + \frac{1}{4} · (2x^{2} + x) = \frac{1}{4}x. Hier bricht das Verfahren ab. Somit gilt x^{3} = (\frac{1}{2}x − \frac{1}{4})(2x^{2} + x) + \frac{1}{4}x. ◁

Ist r = 0 in Satz 14.1, so heißt g ein Teiler von f.

Definition 14.3 Eine Zahl α ∈ ℂ heißt Nullstelle eines Polynoms f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, wenn f(α) = ∑_{i=0}^{n} a_{n}α^{i} = 0.

Satz 14.4 Eine Zahl α ∈ ℂ ist genau dann Nullstelle eines Polynoms f ∈ ℂ[x], wenn x − α Teiler von f ist.

Beweis. Für deg(f) = 0 hat f keine Nullstellen, für deg(f) = −∞ ist f = 0 und x − α ein Teiler für beliebige α ∈ ℂ. Verbleibt deg(f) ≥ 1. Die Division mit Rest liefert eindeutig bestimmte Polynome q, r ∈ ℂ[x] mit f = q · (x − α) + r und deg(q) = deg(f) − 1, deg(r) < deg(x − α) = 1, also r ∈ ℂ. Dann ist f(α) = r. □

Hat auch q eine Nullstelle α_{2}, so läßt sich ein weiterer Linearfaktor x − α_{2} abspalten, usw. Aus der Abbruchbedingung der Division mit Rest folgt, daß ein Polynom vom Grad n ≥ 0 höchstens n Nullstellen haben kann.

Satz 14.5 (Identitätssatz für Polynome) Stimmen die Werte der Polynome

f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} und g(x) = ∑_{i=0}^{n} b_{i}x^{i} an n + 1 verschiedenen Stellen überein, dann

gilt a_{i} = b_{i} für alle i = 0, …, n und somit f(x) = g(x) für alle x ∈ ℂ.

Beweis. Das Polynom f − g hat n + 1 verschiedene Nullstellen und einen Grad ≤ n. Damit ist f − g das Nullpolynom. □

Folgerung 14.6 Die Polynome in x vom Grad ≤ n bilden einen n + 1dimensionalen Vektorraum P_{n}[x]. Durch B = {x^{0}, x^{1}, x^{2}, …, x^{n}} ist eine Basis in P_{n}[x] gegeben.

Beweis. Das Nullpolynom ist das Nullelement. Klar ist, daß P_{n}[x] durch B erzeugt wird. Ist ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} = 0, so folgt a_{i} = 0 nach dem Identitätssatz. □

Der Identitätssatz liefert die sehr wichtige Methode des 14.7 Koeffizientenvergleich. Gibt es für ein Polynom zwei Darstellungen, so sind die entsprechenden Koeffizienten einander gleich.

Satz 14.8 (Additionstheorem der Binomialkoeffizienten) Für alle s, t ∈ ℂ und n ∈ ℕ gilt

∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k} = \binom{s + t}{n} .

Beweis. i) Sei zunächst s, t ∈ ℕ. Dann gilt

(1 + x)^{s+t} = ∑_{n=0}^{s+t} \binom{s + t}{n}x^{n}

(1 + x)^{s} · (1 + x)^{t} = ( ∑_{k=0}^{s} \binom{s}{k}x^{k})( ∑_{l=0}^{t} \binom{t}{l}x^{l}) = ∑_{n=0}^{s+t} ( ∑_{k+l=n} \binom{s}{k}\binom{t}{l})x^{n}

Die Behauptung folgt aus ∑_{k+l=n} \binom{s}{k}\binom{t}{l} = ∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k} und Koeffizienten-

vergleich.

ii) Sei s ∈ ℂ und t ∈ ℕ. Interpretieren wir beide Seiten des Additionstheorems als Polynome in s, dann stimmen diese nach i) in unendlich vielen Stellen überein, nach dem Identitätssatz dann für alle s ∈ ℂ.

iii) Für s, t ∈ ℂ werden schließlich beide Seiten bei festem s als Polynome in t aufgefaßt, die nach ii) an unendlich vielen Stellen übereinstimmen, damit überall. □

Definition 14.9 Seien f, g ∈ ℂ[x] Polynome, mit g ≠ 0, und sei A ⊂ ℂ eine Teilmenge, die alle Nullstellen von g enthält. Dann heißt der für x ∈ ℂ \ A erklärte Quotient R(x) = \frac{f(x)}{g(x)} eine rationale Funktion.

Durch Polynomdivision läßt sich der Definitionsbereich maximal erweitern. Für rationale Funktionen gilt

Satz 14.10 (Partialbruchzerlegung) Für α_{0}, α_{1}, …, α_{n} ∈ ℂ und ν_{1}, …, ν_{n} ∈ ℕ^{×} sei f(x) = α_{0}(x − α_{1})^{ν_{1}} ⋯ (x − α_{n})^{ν_{n}} ein Polynom vom Grad deg(f) = ν_{1} + ⋯ + ν_{n}. Dann gibt es zu g ∈ ℂ[x] ein eindeutig bestimmtes Polynom q vom Grad deg(g) − deg(f) (mit q = 0 falls deg(g) < deg(f)) und eindeutig bestimmte Koeffizienten b_{k,j_{k}} ∈ ℂ mit k = 1, …, n und j_{k} = 1, … ν_{k}, so daß für alle x ∉ {α_{1}, …, α_{n}} gilt

\frac{g(x)}{f(x)} = q(x) + ∑_{k=1}^{n} ∑_{j_{k}=1}^{ν_{k}} \frac{b_{k,j_{k}}}{(x − α_{k})^{j_{k}}}

= q(x) + ∑_{k=1}^{n} (\frac{b_{k,1}}{(x − α_{k})^{1}} + \frac{b_{k,2}}{(x − α_{k})^{2}} + ⋯ + \frac{b_{k,ν_{k}}}{(x − α_{k})^{ν_{k}}} ) .

Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung.

Beweis. Das Polynom q wird durch Division mit Rest erhalten, g = q · f + r. Damit genügt es, den Satz für rationale Funktionen \frac{g}{f} mit deg(g) < deg(f) und q = 0 zu beweisen. Wir schreiben f(x) = (x − α_{1})^{ν_{1}}h(x) mit h(α_{1}) ≠ 0. Dann gilt für x ∉ {α_{1}, …, α_{n}}

\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1}{(x − α_{1})^{ν_{1}}} (\frac{g(x)}{h(x)} − \frac{g(α_{1})}{h(α_{1})} + \frac{g(α_{1})}{h(α_{1})})

= \frac{1}{(x − α_{1})^{ν_{1}}} (\frac{g(x)h(α_{1}) − g(α_{1})h(x)}{h(x) h(α_{1})} + \frac{g(α_{1})}{h(α_{1})}) .

Da g(x)h(α_{1}) − g(α_{1})h(x) die Nullstelle x = α_{1} hat, gibt es ein Polynom g′(x) vom Grad deg(g) − 1 mit

g(x)h(α_{1}) − g(α_{1})h(x) = (x − α_{1}) · h(α_{1}) · g′(x) ,

und es folgt

\frac{g(x)}{f(x)} = \frac{b_{1,ν_{1}}}{(x − α_{1})^{ν_{1}}} + \frac{g′(x)}{f′(x)} ,  b_{1,ν_{1}} = \frac{g(α_{1})}{h(α_{1})} ,  f′(x) = (x − α_{1})^{ν_{1}−1}h(x)

Iteration des Verfahrens liefert die Behauptung. □

Beispiel 14.11 Wir berechnen \frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} . Für die Nullstelle α_{1} = 0 ist wegen

h(x) = (x + 1)^{2} und g(x) = 1 zunächst b_{1,2} = 1 und xg′(x) = 1 − (x + 1)^{2}, also

\frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}} − \frac{2 + x}{x(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}} − \frac{1}{(x + 1)^{2}} − \frac{2}{x(x + 1)^{2}} .

Im nächsten Schritt folgt −\frac{2}{x(x + 1)^{2}} = −\frac{2}{x} + \frac{2(1 + 1 + x)}{(x + 1)^{2}}, insgesamt also

\frac{1}{x^{2}(x + 1)^{2}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{(x + 1)^{2}} − \frac{2}{x} + \frac{2}{x + 1} .

Als Anwendung finden wir mit ζ(2) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} :

∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 1)^{2}} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + 1)^{2}} − 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n + 1)} = 2ζ(2) − 3 . ◁

15 Potenzreihen

Potenzreihen sind Verallgemeinerungen von Polynomen auf unendliche Summen,

also Reihen, P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} = a_{0}+∑_{n=1}^{∞} a_{n}z^{n} mit a_{n} ∈ ℂ und einer Unbestimmten

z ∈ ℂ. Beispiele sind die geometrische Reihe ∑_{n=0}^{∞} z^{n} und die binomische Reihe

B_{s}(z) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}z^{n}. Später werden auch die in einen anderen Ursprung z_{0} ∈ ℂ

verschobenen Potenzreihen P (z, z_{0}) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} betrachtet. Im allgemeinen

werden diese Reihen nicht für alle z ∈ ℂ konvergieren.

Satz 15.1 Konvergiert eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} in einem Punkt z_{0} ∈

ℂ, dann konvergiert sie absolut in jedem Punkt z ∈ ℂ mit |z| < |z_{0}|.

Beweis. Die Folge (a_{n}z_{0}^{n})_{n∈ℕ} ist als Nullfolge insbesondere beschränkt, d.h. es gilt |a_{n}z_{0}^{n}| ≤ S für alle n ∈ ℕ. Dann ist |a_{n}z^{n}| = q^{n}|a_{n}z_{0}^{n}| ≤ q^{n}S mit q := |\frac{z}{z_{0}} | < 1.

Damit besitzt ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} die konvergente Majorante ∑_{n=0}^{∞} q^{n}S, so daß die Reihe für

|z| < |z_{0}| absolut konvergent ist. □

Dieser Satz liefert für jede Potenzreihe P (z) die Existenz eines Konvergenzkreises mit Radius

R(P) := sup{r ∈ ℝ : P (r) konvergiert } ∈ ℝ_{+} ∪ {∞} .

Man nennt R(P) den Konvergenzradius von P.

Satz 15.2 Die Potenzreihe P ist für alle z ∈ ℂ mit |z| < R(P) absolut konvergent und für alle z ∈ ℂ mit |z| > R(P) divergent.

Beweis. i) Für |z| < R(P) gibt es ein r ∈ ℝ mit |z| < r < R(P), so daß P (r) konvergent ist. Dann ist P (z) absolut konvergent nach Satz 15.1.

ii) Sei |z| > R(P). Wäre P (z) konvergent, so wäre nach Satz 15.1 P (r) (sogar absolut) konvergent für alle R(P) < r < |z|, im Widerspruch zur Supremumseigenschaft von R(P). □

Der Konvergenzradius einer Potenzreihe P (z) kann unendlich sein; in diesem Fall ist P (z) absolut konvergent für alle z ∈ ℂ. Der Konvergenzradius R(P) ist 0, wenn P (z) nur für z = 0 konvergiert. Die Bestimmung des Konvergenzradius von P = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} kann über das Wurzelkriterium oder das Quotientenkriterium

versucht werden:

i) R(P) = \frac{1}{L}, wenn L = lim sup \sqrt[n]{|a_{n}|} ist (Cauchy-Hadamard),
ii) R(P) = \frac{1}{q}, wenn \{|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} |\}_{n≥1} gegen q konvergiert (Euler).

Über Konvergenz von P (z) auf dem Rand des Konvergenzkreises, d.h. für |z| = R(P), kann keine Aussage gemacht werden.

Beispiel 15.3 Für P (z) := ∑_{n=0}^{∞} z^{n} ist nach Satz 11.2 R(P) = 1.

Für P (z) = B_{α}(z) := ∑_{n=0}^{∞} \binom{α}{n}z^{n} ist nach Beispiel 12.6 R(P) = 1.

Für den Polylogarithmus P (z) = Li_{s}(z) := ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{n^{s}} ist R(P) = 1.

Absolut konvergente Reihen können nach Satz 12.9 beliebig umgeordnet werden. Dadurch wird es möglich, zwei Reihen innerhalb des gemeinsamen Konvergenzkreises zu multiplizieren und nach gemeinsamen Potenzen von z umzuordnen, ähnlich zum Produkt von Polynomen auf Seite 64:

Satz 15.4 Konvergieren die Potenzreihen f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} und g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n}

im Punkt z ∈ ℂ absolut, so gilt

f(z) · g(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k})z^{n} .

Beweis. Wegen der absoluten Konvergenz gibt es A, B ∈ ℝ_{+}^{×} mit ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}z^{n}| ≤ A

und ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}z^{n}| ≤ B. Nach dem Cauchy-Kriterium gibt es zu jedem ϵ > 0 ein N ∈

ℕ mit ∑_{n=k}^{m} |a_{n}z^{n}| < \frac{ϵ}{3B} und gleichzeitig ∑_{n=k}^{m} |b_{n}z^{n}| < \frac{ϵ}{3A} für alle m ≥ k ≥ N. Wir betrachten die Partialsummen f_{N}(z) = ∑_{n=0}^{2N} a_{n}z^{n}, g_{N}(z) = ∑_{n=0}^{2N} b_{n}z^{n} und h_{N}(z) := ∑_{n=0}^{2N} ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}z^{n}. Dann ist

|f_{N}(z)g_{N}(z) − h_{N}(z)|

= | ∑_{n=0}^{4N} ∑_{k=0}^{min(2N,n)} a_{k}b_{n−k}z^{n} − ∑_{n=0}^{2N} ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k}z^{n}| = | ∑_{n=2N+1}^{4N} ∑_{k=0}^{2N} a_{k}b_{n−k}z^{n}|

= | ∑_{n=2N+1}^{3N} ∑_{k=0}^{N} a_{k}b_{n−k}z^{n} + ∑_{n=2N+1}^{3N} ∑_{k=N+1}^{2N} a_{k}b_{n−k}z^{n} + ∑_{n=3N+1}^{4N} ∑_{k=0}^{2N} a_{k}b_{n−k}z^{n}|

≤ ∑_{k=0}^{N} |a_{k}z^{k}| ∑_{n=2N+1}^{3N} |b_{n−k}z^{n−k}| + ∑_{k=N+1}^{2N} |a_{k}z^{k}| ∑_{n=2N+1}^{3N} |b_{n−k}z^{n−k}|

+ ∑_{k=0}^{2N} |a_{k}z^{k}| ∑_{n=3N+1}^{4N} |b_{n−k}z^{n−k}|

< \frac{ϵ}{3A} ∑_{k=0}^{N} |a_{k}z^{k}| + B ∑_{k=N+1}^{2N} |a_{k}z^{k}| + \frac{ϵ}{3A} ∑_{k=0}^{2N} |a_{k}z^{k}| ≤ ϵ .

Somit gilt lim_{m→∞} f_{m}(z)g_{m}(z) = lim_{m→∞} h_{m}(z). Analog ergibt sich

( ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}z^{n}|)( ∑_{n=0}^{∞} |b_{n}z^{n}|) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} |a_{n−k}| |b_{k}|)|z|^{n} .

Aus | ∑_{k=0}^{n} a_{n−k}b_{k}z^{n}| ≤ ∑_{k=0}^{n} |a_{n−k}| |b_{k}||z|^{n} folgt nun die absolute Konvergenz von

f(z) · g(z). □ Satz 15.5 (Multiplikation der Binomialreihen) i) Für alle s, t ∈ ℂ

und z ∈ ℂ mit |z| < 1 gilt B_{s}(z) · B_{t}(z) = B_{s+t}(z).

ii) Für alle x ∈ ℝ mit |x| < 1 und alle s ∈ ℚ gilt B_{s}(x) = (1 + x)^{s}

Beweis. i) Nach Satz 14.8 gilt

B_{s}(z) · B_{t}(z) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} \binom{s}{k}\binom{t}{n − k})z^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s + t}{n}z^{n} = B_{s+t}(z) .

ii) Aus B_{p}(x) = (1 + x)^{p} für p ∈ ℕ folgt mit s = \frac{p}{q} und q ∈ ℕ^{×}

\underbrace{B_{\frac{p}{q}} (x) ⋯ B_{\frac{p}{q}} (x)}_{q mal} = B_{p}(x) = (1 + x)^{p} ,

also B_{\frac{p}{q}} (x) = (1 + x)^{\frac{p}{q}} wegen der Eindeutigkeit der Wurzel reeller Zahlen. Für negative s benutzt man B_{s}(x) · B_{−s}(x) = B_{0}(x) = 1. □

Daraus ergibt sich z.B.

\sqrt{1 + x} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{n}x^{n} = 1 + \frac{\frac{1}{2}}{1} x + \frac{\frac{1}{2}}{1} · \frac{(\frac{1}{2} − 1)}{2}x^{2} + \frac{\frac{1}{2}}{1} · \frac{(\frac{1}{2} − 1)}{2} \frac{(\frac{1}{2} − 2)}{3}x^{3} + …

= 1 + \frac{1}{2}x − \frac{1}{2 · 4}x^{2} + \frac{1 · 3}{2 · 4 · 6}x^{3} − \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6 · 8}x^{4} + …

\frac{1}{\sqrt{1 + x}} = ∑_{n=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{n}x^{n} = 1 + \frac{−\frac{1}{2}}{1} x + \frac{−\frac{1}{2}}{1} · \frac{(−\frac{1}{2} − 1)}{2}x^{2} + …

= 1 − \frac{1}{2}x + \frac{1 · 3}{2 · 4}x^{2} − \frac{1 · 3 · 5}{2 · 4 · 6}x^{3} + \frac{1 · 3 · 5 · 7}{2 · 4 · 6 · 8}x^{4} + …

Als weiteres Beispiel können wir die (sehr wichtige) Exponentialreihe einführen und untersuchen:

Satz 15.6 i) Für alle z ∈ ℂ ist die Exponentialreihe exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!}

absolut konvergent, und es gilt | exp(z)| ≤ exp(|z|).

ii) Für alle w, z ∈ ℂ gilt exp(w) · exp(z) = exp(w + z).

iii) Für N ∈ ℕ mit |z| < 1 + \frac{N}{2} gilt | exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!}.

iv) Es gilt exp(z) = lim_{n→∞}(1 + \frac{z}{n})^{n}, insbesondere e = exp(1).

Beweis. i) Das Quotientenkriterium liefert lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = lim_{n→∞} \frac{|z|}{n+1} = 0 < 1, damit ist exp(z) für alle z ∈ ℂ absolut konvergent. Die Ungleichung | exp(z)| ≤ exp(|z|) folgt aus Satz 12.2.

ii) Für t ∈ ℂ ist nach Satz 15.4

exp(wt) · exp(zt) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} \frac{w^{n−k}}{(n − k)!} \frac{z^{k}}{k!} )t^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}( ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}w^{n−k}z^{k})t^{n}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{(w + z)^{n}t^{n}}{n!} = exp((w + z)t) .

iii) Für |z| ≤ \frac{N+2}{2} gilt

| exp(z) − ∑_{n=0}^{N} \frac{z^{n}}{n!} | = | ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} | ≤ ∑_{n=N+1}^{∞} \frac{|z|^{n}}{n!}

= \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!}(1 + \frac{|z|}{N + 2} + \frac{|z|^{2}}{(N + 2)(N + 3)} + …)

≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{|z|}{N + 2})^{k} ≤ \frac{|z|^{N+1}}{(N + 1)!} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{2^{k}} = \frac{2|z|^{N+1}}{(N + 1)!} .

71 iv) Aus ii) folgt exp(z) = ( exp(\frac{z}{n}))^{n} für alle n ∈ ℕ^{×}. Damit gilt

Preliminary version – 31. März 2012

| exp(z) − (1 + \frac{z}{n})^{n}| = |( exp(\frac{z}{n}))^{n} − (1 + \frac{z}{n})^{n}|

= |( exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})) ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{z}{n}))^{k}(1 + \frac{z}{n})^{n−k−1}|

≤ | exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} .

Offenbar gilt 1 + \frac{|z|}{n} ≤ exp(\frac{|z|}{n}) und deshalb

∑_{k=0}^{n−1} ( exp(\frac{|z|}{n}))^{k}(1 + \frac{|z|}{n})^{n−k−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n−1} ≤ n( exp(\frac{|z|}{n}))^{n} = n exp(z) .

Schließlich gilt nach iii) für N = 1 und |\frac{z}{n}| < \frac{3}{2}, also n ≥ \frac{3}{2}|z|,

| exp(\frac{z}{n}) − (1 + \frac{z}{n})| ≤ 2|\frac{|z|^{2}}{2n^{2}}

und damit | exp(z)−(1+ \frac{z}{n})^{n}| ≤ \frac{|z|^{2}}{n^{2}} ·n exp(z). Für n → ∞ folgt die Behauptung. □

Diese Eigenschaften haben mehrere Folgerungen.

i) Wegen exp(0) = 1 existiert für alle z ∈ ℂ das Inverse ( exp(z))^{−1} = exp(−z) ∈ ℂ, damit ist exp(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ.

ii) Die Exponentialreihe konvergiert sehr schnell; im Schritt s_{N} → s_{N+1} der Partialsummen verbessert sich die Konvergenz um den Faktor N + 2. Damit kann die Eulersche Zahl e numerisch gut berechnet werden. Die Folge e = lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n} konvergiert viel schlechter.

iii) Es gilt exp s = e^{s} für alle s ∈ ℚ.

iv) Im Reellen folgt aus x_{1} > x_{2} > 0 die Beziehung exp(x_{1}) > exp(x_{2}). Über exp(−x) = \frac{1}{exp(x)} folgt dann exp(x_{1}) > exp(x_{2}) für alle x_{1} > x_{2}. Damit ist die zugehörige reelle Exponentialfunktion streng monoton wachsend auf ℝ.

Restgliedabschätzungen wie bei der Exponentialfunktion werden oft benötigt.

Satz 15.7 Eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} habe einen Konvergenzradius

R(P) > 0. Dann gibt es zu jedem 0 < r < R(P) und jedem p ∈ ℕ eine Konstante

c_{p} ∈ ℝ, so daß | ∑_{n=p}^{∞} a_{n}z^{n}| < c_{p}|z|^{p} für alle z ∈ ℂ mit |z| ≤ r.

Beweis. Setze c_{p} := ∑_{k=0}^{∞} |a_{k+p}|r^{k}. Dann gilt | ∑_{n=p}^{∞} a_{n}z^{n}| ≤ ∑_{n=p}^{∞} |a_{n}||z|^{n} =

∑_{k=0}^{∞} |a_{k+p}||z|^{k}|z|^{p} ≤ c_{p}|z|^{p}. □

Eine wichtige Anwendung ist folgende Aussage über mögliche Nullstellen einer Potenzreihe:

Satz 15.8 Eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}, mit a_{k} ≠ 0 für mindestens ein k,

habe einen Konvergenzradius R(P) > 0. Dann gibt es ein 0 < r < R(P), so daß höchstens endlich viele Nullstellen in der Kreisscheibe \overline{K_{r}(0)} = \{z ∈ ℂ : |z| ≤ r\} liegen.

Beweis. Es sei N = min(k : a_{k} ≠ 0). Zu beliebigem 0 < r < R(P) gibt es nach Satz 15.7 ein c > 0 mit |P (z) − a_{N}z^{N} | ≤ c|z|^{N+1}. Wäre die Aussage falsch, so enthielte jeder Kreis mit Radius \frac{r}{k} um 0, mit k ∈ ℕ^{×}, eine Nullstelle z_{k} ≠ 0 von P. Für diese gilt |a_{N}z_{k}^{N}| ≤ c|z_{k}|^{N+1}, also |a_{N}| ≤ c|z_{k}| ≤ \frac{r}{k}. Für k → ∞ ergibt sich ein Widerspruch zu a_{N} ≠ 0. □

Satz 15.9 (Identitätssatz für Potenzreihen) Für zwei Potenzreihen f(z) =

∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} und g(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}z^{n} mit positiven Konvergenzradien gebe es eine Null-

folge (z_{k})_{k∈ℕ} mit f(z_{k}) = g(z_{k}). Dann gilt a_{n} = b_{n} für alle n ∈ ℕ.

Beweis. Folgt für P (z) = f(z) − g(z) aus Satz 15.8. □

Gilt z.B. f(z) = g(z) innerhalb einer Kreisscheibe um 0 oder auch nur entlang eines die 0 enthaltenden Kurvenstücks, so ist f = g innerhalb des gemeinsamen Konvergenzkreises.

Wiederholung

• Folgen, Konvergenz, Grenzwert

• elementare Grenzwerte, Eulersche Zahl

• Satz von Bolzano-Weierstraß

• Cauchy-Folgen, Vollständigkeit über Cauchy-Kriterium

• Reihen: Konvergenz, geometrische Reihe, Leibniz-Kriterium

• absolute Konvergenz: Majorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Umordnungssatz • Skalarprodukt, Ungleichung von Cauchy-Schwarz, Beispiel ℓ^{2}

• Norm, Äquivalenz im Endlichdimensionalen, Konvergenz von Folgen, Vollständigkeit

• Polynome: Polynomdivision, Nullstellen

• Potenzreihen: Konvergenzradius, Multiplikationssatz

• Binomialreihe, Exponentialreihe

• Identitätssätze für Polynome und Potenzreihen

Teil IV

Metrische Räume und Stetigkeit

16 Metrische Räume

Aus einer Norm läßt sich ein Abstand erhalten. Dieser ist auf allgemeineren Räumen definiert, insbesondere werden Vektorräume nicht vorausgesetzt.

Definition 16.1 Ein metrischer Raum ist eine Menge X zusammen mit einer Abbildung d : X × X → ℝ_{+}, dem Abstand oder der Metrik, wenn gilt:

(D1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ,

(D2) d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie),

(D3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung).

Jeder normierte Vektorraum ist auch metrischer Raum mit Abstand d(x, y) := ∥x − y∥. Für den 𝕂^{n} mit der aus dem Skalarprodukt erhaltenen Standardnorm gilt der Satz des Pythagoras d(x, y) = \sqrt{|x_{1} − y_{1}|^{2} + ⋯ + |x_{n} − y_{n}|^{2}}.

Beispiel 16.2 Auf der Sphäre S^{2} = {x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : ∥x∥_{2}^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1} läßt sich neben einem aus einer Norm auf dem umgebenen ℝ^{3} geerbten Abstand folgende Metrik einführen: zu zwei Punkten x, y ∈ S^{2}, x ≠ y gibt es einen eindeutigen Großkreis G durch diese Punkte. Dieser Großkreis ist der Schnitt von S^{2} mit der Ebene durch (0, x, y). Dann wird der Abstand erklärt als Winkel d(x, y) := |∡(x, 0, y)| zwischen x, y auf G. ◁

Über die Metrik führen wir den zentralen Begriff der offenen Teilmengen ein:

Definition 16.3 Es sei (X, d) ein metrischer Raum, a ∈ X und r > 0. Dann heißt die Teilmenge

K_{r}(a) := {x ∈ X : d(a, x) < r} ⊂ X

die offene Kugel in (X, d) mit Mittelpunkt a und Radius r.

Diese Kugeln können je nach Metrik verschiedene Formen haben:

Beispiel 16.4 Betrachtet werde X = ℝ^{2} mit den Metriken d_{p}(x, y) = ∥x − y∥_{p}, die aus den Normen ∥ ∥_{p}, 1 ≤ p ≤ ∞, aus Beispiel 13.9 induziert werden. Dann haben die Einheitskugeln mit r = 1 um a = 0 folgende Gestalt:

[figure: −1; 1; −1; 1; p = 1; p = ∞]

Definition 16.5 Es sei (X, d) ein metrischer Raum.

i) Eine Teilmenge U ⊂ X heißt Umgebung eines Punktes a ∈ X, wenn es eine offene Kugel K_{ϵ}(a) ⊂ U gibt. Speziell heißt K_{ϵ}(a) die ϵ-Umgebung von a.

ii) Eine Teilmenge U ⊂ X heißt offen, wenn jeder Punkt x ∈ U eine in U enthaltene ϵ-Umgebung besitzt, d.h. ∀x ∈ U ∃ϵ > 0 : K_{ϵ}(x) ⊂ U. Außerdem werden die gesamte Menge X ⊂ X und die leere Menge ∅ ⊂ X als offen erklärt.

iii) Die Gesamtheit aller offenen Teilmengen von (X, d) heißt die von d erzeugte Topologie auf X.

iv) Eine Teilmenge A ⊂ X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist.

v) Sei Y ⊂ X eine Teilmenge. Ein Punkt y ∈ X heißt Randpunkt von Y, wenn es in jeder Umgebung von y sowohl Punkte aus Y als auch aus X \ Y gibt. Die Menge aller Randpunkte von Y heißt der Rand von Y und wird mit ∂Y bezeichnet.

Damit sind X und ∅ sowohl offen als auch abgeschlossen in X.

Satz 16.6 In einem metrischen Raum (X, d) gilt:

i) Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.

ii) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

iii) Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

iv) Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

v) Hausdorffsches Trennungsaxiom: Zu je zwei Punkten x, y ∈ X mit x ≠ y gibt es disjunkte offene Umgebungen U von x und V von y, d.h. U ∩ V = ∅.

Beweis. i) Seien U_{1}, …, U_{n} ⊂ X offen und U := ⋂_{i=1}^{n} U_{i}. Entweder ist U = ∅ (und alles klar), oder es gibt ein x ∈ U. Damit ist x ∈ U_{i} für alle i, und da U_{i} offen ist, gibt es K_{ϵ_{i}}(x) ⊂ U_{i}. Sei ϵ := min_{i=1,...,n}(ϵ_{i}), so folgt K_{ϵ}(x) ⊂ U_{i} für alle i und damit K_{ϵ}(x) ⊂ U.

ii) klar.

iii) Für A_{i} ⊂ X folgt X\(⋂_{i} A_{i}) = ⋃_{i}(X\A_{i}). Nach ii) ist ⋂_{i} A_{i} abgeschlossen für A_{i} abgeschlossen.

iv) Für A_{i} ⊂ X folgt X \ (⋃_{i=1}^{n} A_{i}) = ⋂_{i=1}^{n}(X \ A_{i}). Nach i) ist ⋃_{i=1}^{n} A_{i} abgeschlossen für A_{i} abgeschlossen.

v) Sei ϵ = d(x, y). Dann sind K\frac{ϵ}{3} (x) und K\frac{ϵ}{3} (y) disjunkt nach Dreiecksungleichung. □

Satz 16.7 Sei (X, d) ein metrischer Raum und Y ⊂ X. Dann gilt:

i) Y^{∘} := {y ∈ Y : y ∉ ∂Y } ist offen in X.

ii) Ȳ := Y ∪ ∂Y ist abgeschlossen in X.

iii) ∂Y ist abgeschlossen in X.

Man nennt Ȳ den Abschluß von Y in X und Y^{∘} das Innere von Y.

Beweis. i) Für Y^{∘} = ∅ ist alles klar. Ansonsten sei x ∈ Y^{∘} beliebig. Da x kein Randpunkt von Y ist und jede Umgebung von x auch x ∈ Y selbst enthält, muß es eine offene Umgebung U von x geben, die vollständig in Y liegt. Diese Umgebung kann kein a ∈ ∂Y enthalten, da sie sonst auch Umgebung von a wäre und damit Punkte aus X \ Y enthielte. Somit ist U ∩ ∂Y = ∅ und U ⊂ Y^{∘}.

ii) Für X = Ȳ := Y ∪ ∂Y ist alles klar. Ansonsten gibt es ein x ∈ X \ Ȳ. Da X offen ist und x ∉ ∂Y, gibt es eine offene Umgebung U von x, die Y nicht trifft, d.h. U ⊂ X \ Y. Wie in i) folgt dann U ∩ ∂Y = ∅, also U ⊂ X \ Ȳ. Damit ist Ȳ abgeschlossen.

iii) X \ ∂Y = Y^{∘} ∪ (X \ Y)^{∘} ist offen. □

Definition 16.8 Für eine Teilmenge Y ⊂ X eines metrischen Raumes (X, d) wird der Durchmesser definiert als diam(Y) := sup_{x,y∈Y} d(x, y). Eine Teilmenge Y ⊂ X heißt beschränkt, wenn diam(Y) < ∞.

Beispiel 16.9 Die n-dimensionale Einheitsvollkugel B^{n} := {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} ≤ 1} ist abgeschlossen im ℝ^{n}. Ihr Rand ist die Einheitssphäre S^{n−1} := ∂B^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥_{2} = 1}, sie ist ebenfalls abgeschlossen im ℝ^{n}. Es ist dann sinnvoll, offene Teilmengen von S^{n−1} zu betrachten. Jeder Durchschnitt der S^{n−1} mit einer offenen Teilmenge des ℝ^{n} definiert eine offene Teilmenge von S^{n−1}. Im Sinne dieser Teilmengen ist S^{n−1} dann offen und abgeschlossen zugleich. Es gilt diam(B^{n}) = 2. ◁

Verschiedene Metriken (und Normen) könnten verschiedene Topologien erzeugen. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen ist das in der Tat der Fall, im endlich-dimensionalen Fall nach Satz 13.14 aber nicht.

Definition 16.10 Sei (X, d) ein metrischer Raum und (x_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten aus X. Die Folge (x_{k}) heißt konvergent, wenn es ein a ∈ X gibt mit folgenden äquivalenten Eigenschaften:

i) Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein n ∈ ℕ mit d(a, x_{k}) < ϵ für alle k ≥ n.

ii) Zu jeder Umgebung U von a gibt es ein n ∈ ℕ mit x_{k} ∈ U für alle k ≥ n.

iii) Es gilt lim_{k→∞} d(x_{k}, a) = 0.

Im Konvergenzfall heißt a ∈ X der Grenzwert der Folge (x_{k})_{k∈ℕ}, und man schreibt lim_{k→∞} x_{k} = a.

Eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus X heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ϵ > 0 ein k ∈ ℕ existiert, so daß d(x_{n}, x_{m}) < ϵ für alle m, n ≥ k. Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.

Aus der Dreiecksungleichung folgt:

i) Existiert der Grenzwert, so ist er eindeutig bestimmt.

ii) Jede konvergente Folge in einem beliebigen metrischen Raum (X, d) ist Cauchy-Folge. (Die Umkehrung gilt nur in vollständigen metrischen Räumen.)

Die folgende Eigenschaft ist eine sehr nützliche Charakterierung abgeschlossener Mengen:

Satz 16.11 Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge Y ⊂ X ist genau dann abgeschlossen in X, wenn für jede in X konvergente Folge (y_{k})_{k∈ℕ} mit y_{k} ∈ Y gilt lim_{k→∞} y_{k} = x ∈ Y.

Beweis. (⇒) Sei Y ⊂ X abgeschlossen und x = lim_{k→∞} y_{k} mit y_{k} ∈ Y. Angenommen, x ∉ Y, also x ∈ X \ Y. Da X \ Y offen ist, gibt es in X \ Y eine ϵ-Umgebung U_{ϵ} um x. Da x der Grenzwert der Folge (y_{k}) ist, gibt es ein n ∈ ℕ, so daß y_{k} ∈ U_{ϵ} ⊂ X \ Y für alle k ≥ n, Widerspruch.

(⇐) Die Grenzwerte aller konvergenten Folgen von Punkten aus Y liegen in Y. Wir zeigen: X \ Y ist offen. Angenommen, es gibt einen Punkt x̃ ∈ X \ Y, der keine ϵ-Umgebung in X \Y besitzt. Anders formuliert: Jede ϵ-Umgebung von x̃ enthält einen Punkt aus Y. Somit gibt es zu jedem k ∈ ℕ ein y_{k} ∈ Y mit d(x̃, y_{k}) < ϵ_{k} := \frac{1}{k+1}. Auf diese Weise wird eine Folge (y_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus Y konstruiert, die gegen x̃ konvergiert. Nach Voraussetzung ist x̃ ∈ Y, Widerspruch. □

17 Stetigkeit

Definition 17.1 Es seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume und a ∈ X. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig im Punkt a ∈ X, wenn zu jeder Umgebung V ⊂ Y von f(a) ∈ V eine Umgebung U ⊂ X von a ∈ U gibt mit f(U) ⊂ V. Die Abbildung f : X → Y heißt stetig auf X, wenn f in jedem Punkt a ∈ X stetig ist.

Stetigkeit bedeutet also, daß eine genügend kleine Umgebung von a unter f nicht auseinandergerissen wird. Insbesondere kann V als ϵ-Umgebung gewählt werden, und die zugehörige Umgebung U von a einthält zumindest eine offene Kugel um a:

Folgerung 17.2 Die Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig in a, wenn für alle ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so daß

d_{Y} (f(x), f(a)) < ϵ für alle x ∈ X mit d_{X}(x, a) < δ .

Zu beachten ist, daß δ von ϵ und im allgemeinen auch von a abhängt: wird ϵ verkleinert, so muß im allgemeinen auch δ verkleinert werden, damit die Relationen richtig bleiben.

Definition 17.3 Sei (X, d) ein metrischer Raum und D ⊂ X. Dann nennen wir eine Abbildung f : D → 𝕂 eine (komplexwertige für 𝕂 = ℂ, reellwertige für 𝕂 = ℝ) Funktion. Die Teilmenge D ⊂ X heißt Definitionsbereich, das Bild f(D) ⊂ 𝕂 Wertebereich.

Entsprechend heißt eine Funktion f : D → 𝕂 stetig im Punkt a ∈ D, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so daß gilt:

|f(x) − f(a)| < ϵ für alle x ∈ D mit d(x, y) < δ .

Beispiel 17.4 Die Funktion f(z) = z^{2} ist stetig auf ganz ℂ.

Beweis. Sei z_{0} ∈ ℂ fest gewählt und ϵ > 0 beliebig. Es gilt |f(z) − f(z_{0})| = |z^{2} − z_{0}^{2}| = |z − z_{0}| |z + z_{0}| ≤ |z − z_{0}|(|z − z_{0}| + 2|z_{0}|). Es genügt deshalb, δ(δ + 2|z_{0}|) ≤ ϵ zu wählen, z.B. δ := min(1, \frac{ϵ}{1+2|z_{0}|}). ◁

Beispiel 17.5 Die Funktion f(z) = exp(z) ist stetig in ganz ℂ.

Beweis. Sei z_{0} ∈ ℂ fest gewählt und ϵ > 0 beliebig. Es gilt

| exp(z) − exp(z_{0})| = | exp(z_{0}) · (exp(z − z_{0}) − 1)| ≤ exp(|z_{0}|)| exp(z − z_{0}) − 1| .

Nach der Abschätzung in Satz 15.6.iii) für N = 0 gilt für |z −z_{0}| < 1 die Relation | exp(z − z_{0}) − 1| < 2|z − z_{0}|. Somit genügt es, δ := min(1, \frac{ϵ}{2 exp(|z_{0}|)} zu wählen. ◁ Beispiel 17.6 Für k ∈ ℕ^{×} ist die Wurzelfunktion f : ℝ_{+} → ℝ_{+}, f(x) := \sqrt[k]{x} stetig. Beweis. Sei x_{0} > 0. Für y ≥ 0 gilt y^{k} ≤ (1+y)^{k} −1, also (\sqrt[k]{\frac{x}{x_{0}}} −1)^{k} ≤ \frac{x}{x_{0}} −1 und

\sqrt[k]{x}− \sqrt[k]{x_{0}} ≤ \sqrt[k]{x − x_{0}} für x ≥ x_{0} bzw. (Tausch x_{0} ↔ x) |\sqrt[k]{x}− \sqrt[k]{x_{0}}| ≤ \sqrt[k]{|x − x_{0}|} für alle x, x_{0} ∈ ℝ_{+}. Dann genügt es, δ = ϵ^{k} zu wählen. ◁

Ein historisch bedeutsames Beispiel ist die nirgends stetige Funktion f : ℝ →

ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}1 für & x ∈ ℚ \\ 0 für & x ∉ ℚ \end{matrix}

Eine wichtige Klasse stetiger Abbildungen ist:

Definition 17.7 Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen heißt Lipschitz-stetig, wenn es eine Konstante L ≥ 0 gibt, so daß für alle x, x′ ∈ X gilt

d_{Y} (f(x), f(x′)) ≤ L · d_{X}(x, x′) .

Jede Lipschitz-stetige Abbildung ist stetig: Man wähle δ := \frac{ϵ}{L} für L ≠ 0 und δ = 1 für L = 0.

Satz 17.8 Es sei (V, ∥ ∥) ein normierter Vektorraum. Dann ist die Norm, aufgefaßt als Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ zwischen metrischen Räumen, Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante 1.

Beweis. Zu zeigen ist |∥x∥ − ∥y∥| = d(∥x∥, ∥y∥) ≤ d(x, y) = ∥x − y∥. Das folgt aus den Dreiecksungleichungen ∥x∥ = ∥x − y + y∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥ und ∥y∥ = ∥y − x + x∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥x∥. □

Beispiel 17.9 Folgende Funktionen Lipschitz-stetig:

i) die konstante Funktion f(x) = c (mit L = 0),

ii) lineare Funktionen f(x) = ax + b (mit L = |a|),

iii) f(x) = |x|, f(x) = Re(x), f(x) = Im(x), f(x) = \overline{x} jeweils mit L = 1. ◁

Satz 17.10 (Folgenkriterium der Stetigkeit) Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen X, Y ist genau dann stetig im Punkt a ∈ X, wenn für \underline{jede} Folge (x_{k})_{k∈ℕ} von Punkten aus X mit lim_{k→∞} x_{k} = a gilt

lim_{k→∞} f(x_{k}) = f(a) .

Beweis. (⇒) Sei f : X → Y stetig in a. Dann gibt es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0, so daß d(f(x), f(a)) < ϵ für alle x ∈ X mit d(x, a) < δ. Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige gegen a konvergente Folge in X, dann gibt es nach Definition des Grenzwertes ein N ∈ ℕ, so daß d(x_{n}, a) < δ für alle n ≥ N. Also ist d(f(x_{n}), f(a)) < ϵ für alle n ≥ N wegen der Stetigkeit von f in a, und f(a) ist Grenzwert der Folge (f(x_{n}))_{n∈ℕ} in Y.

(⇐) Die Folgenbedingung sei für alle gegen a konvergenten Folgen erfüllt. Angenommen, f wäre nicht stetig in a. Das bedeutet: Es gibt ein ϵ > 0, so daß für alle δ > 0 gilt: Aus d(x, a) < δ folgt d(f(x), f(a)) ≥ ϵ. Wähle δ = \frac{1}{n+1} und für jedes n ∈ ℕ einen Punkt x_{n} ∈ X mit d(x_{n}, a) < \frac{1}{n+1}. Damit gibt es eine gegen a konvergente Folge (x_{n})_{n∈ℕ}, für die gilt d(f(x_{n}), f(a)) ≥ ϵ für alle n ∈ ℕ, im Widerspruch zu lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(a). □

Satz 17.11 Sei X metrischer Raum. Eine Abbildung f : X → 𝕂^{n} mit f(x) = (f_{1}(x), …, f_{n}(x)) ist genau dann stetig im Punkt a ∈ X, wenn jede Komponentenfunktion f_{i} : X → 𝕂 stetig in a ist.

Beweis. Die Folge (f(x_{k}))_{k∈ℕ} ist genau dann in 𝕂^{n} konvergent gegen f(a), wenn jede Komponente (f_{i}(x_{k}))_{k∈ℕ} gegen f_{i}(a) konvergiert. (Siehe die Bemerkung im Anschluß an Definition 13.16.) □

Die üblichen Rechenregeln für komplexe Zahlen übertragen sich punktweise auf Funktionen f, g : X → ℂ (mit c ∈ ℂ):

(f + g)(x) := f(x) + g(x) , (f · g)(x) := f(x) · g(x) , (cf)(x) := c · f(x) ,
\frac{f}{g} (x) := \frac{f(x)}{g(x)}  falls g(x) ≠ 0 für alle x ∈ X ,
f̄(x) := \overline{f(x)} ,  (Re f)(x) := Re(f(x)) , (Im f)(x) := Im(f(x)) .

Die Rechenregeln für Grenzwerte aus Satz 9.3 übertragen sich auf stetige Funktionen:

Satz 17.12 Die Funktionen f, g : X → ℂ seien stetig in a ∈ X. Dann gilt: i) Die Funktionen f + g, f · g sind stetig in a.

ii) Ist g(a) ≠ 0, so ist auch g(x) ≠ 0 in einer Umgebung V ⊂ X von a, und die Funktion \frac{f}{g} : V → ℂ ist stetig in a ∈ V.

Beweis. i) Ist (x_{n})_{n∈ℕ} eine beliebige Folge in X mit lim_{n→∞} x_{n} = a, so gilt lim_{n→∞} f(x_{n}) = f(a) und lim_{n→∞} g(x_{n}) = g(a). Satz 9.3 liefert lim_{n→∞}(f + g)(x_{n}) = (f +g)(a) und lim_{n→∞}(f ·g)(x_{n}) = (f ·g)(a). Nach dem Folgenkriterium sind dann f + g und f · g stetig.

ii) Wir zeigen: Ist g stetig in a ∈ X, dann enthält V := {x ∈ X : |g(x)| ≥ \frac{1}{2}|g(a)|\} ⊂ X eine offene Kugel um a. Für g(a) = 0 ist V = X, ansonsten gibt es zu ϵ = \frac{1}{2}g(a) ein δ > 0, so daß für alle x ∈ X mit d(x, a) < δ gilt |g(x)−g(a))| < ϵ. Dann gilt (Lemma 3.8)

|g(x)| ≥ | |g(a)| − |g(x) − g(a)|| ≥ \frac{1}{2}|g(a)| für d(x, a) < δ .

Somit ist X ∩ K_{δ}(a) ⊂ V, und X ∩ K_{δ}(a) enthält als offene Teilmenge eine offene Kugel. Damit ist V Umgebung von a.

Sei nun (x_{n})_{n∈ℕ} eine gegen a konvergente Folge von Punkten x_{k} ∈ V, dann konvergiert (\frac{f}{g} (x_{n}))_{n∈ℕ} gegen \frac{f}{g} (a). □

Folgerung 17.13 Die Menge der stetigen Funktionen auf einem metrischen Raum X bildet einen Vektorraum C(X). Die Menge C_{b}(X) = {f ∈ C(X) : sup_{x∈X} |f(x)| < ∞} der stetigen beschränkten Funktionen bildet einen Untervektorraum, der mit der durch ∥f∥_{∞} := sup_{x∈X} |f(x)| definierten Supremums-Norm zu einem normierten Vektorraum wird.

Wir werden später zeigen, daß (C_{b}(X), ∥ ∥) vollständig ist und daß für kompakte metrische Räume K gilt C(K) = C_{b}(K).

Beispiel 17.14 i) Die reellwertige Funktion f(x) = x^{s} für x ∈ ℝ_{+}^{∗} und s ∈ ℚ ist stetig, aber nicht beschränkt

ii) Jedes Polynom ist auf ganz ℂ stetig, aber nur die konstanten Polynome sind beschränkt.

iii) Jedes Polynom in mehreren Variablen

f(x_{1}, …, x_{m}) = ∑_{k_{1}=0}^{n_{1}} ⋯ ∑_{k_{m}=0}^{n_{n}} a_{k_{1}...,k_{m}}x_{1}^{k_{1}} ⋯ x_{m}^{k_{m}}

ist stetig auf ℂ^{m} bzw. 𝕂^{m}, aber nicht beschränkt.

iv) Jede rationale Funktion ist stetig auf ihrem Definitionsbereich, aber nicht notwendig beschränkt.

v) Die Projektion

p : ℝ^{n+1} \ \{0\} → S^{n} , p(x) = \frac{x}{∥x∥_{2}}

ist stetig und beschränkt. ◁

Sind f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen zwischen metrischen Räumen, dann hatten wir die zusammengesetzte Abbildung g ∘ f : X → ℂ erklärt durch (g ∘ f)(x) := g(f(x)).

Satz 17.15 Seien f : X → Y stetig in a und g : Y → Z stetig in f(a), dann ist f ∘ g : X → Z stetig in a.

Beweis. Konvergiert (x_{n})_{n∈ℕ} gegen a, dann konvergiert (f(x_{n}))_{n∈ℕ} gegen f(a) und schließlich (g(f(x_{n})))_{n∈ℕ} gegen g(f(a)). □

Beispiel 17.16 i) Mit f : X → ℂ sind auch |f|, \overline{f}, Re f und Im f stetig als Komposition mit den stetigen Funktionen g(y) = |y| usw.

ii) Für stetige Funktionen f, g : X → ℂ sind auch max(f, g) = \frac{1}{2}(f + g + |f − g|) und min(f, g) = \frac{1}{2}(f + g − |f − g|) stetig.

Satz 17.17 Jede Potenzreihe f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} ist im Inneren ihres Konvergenz-

kreises stetig.

Beweis. Es sei R(f) der Konvergenzradius von f(z) und |z_{0}| < r < R(f). Wegen

der absoluten Konvergenz der Reihe gibt es zu ϵ > 0 ein N ∈ ℕ mit ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}|r^{n} <

\frac{ϵ}{3}. Da das Polynom ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} stetig ist, gibt es ein r − |z_{0}| > δ > 0, so daß

| ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z_{0}^{n}| < \frac{ϵ}{3} für alle z ∈ ℂ mit |z − z_{0}| < δ. Dann ist |z| ≤

|z − z_{0}| + |z_{0}| < δ + |z_{0}| < r, so daß

|f(z) − f(z_{0})| ≤ | ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z^{n} − ∑_{n=0}^{N−1} a_{n}z_{0}^{n}| + ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}z| + ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}z_{0}| < ϵ . □

18 Grenzwerte von Funktionen

Stetigkeit ist eng verbunden mit dem Begriff des Grenzwertes für Funktionen.

Definition 18.1 Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Ein Punkt a ∈ X heißt Häufungspunkt einer Teilmenge D ⊂ X, wenn jede ϵ-Umgebung K_{ϵ}(a) von a unendlich viele Punkte aus D enthält.

Ein Häufungspunkt von D ist nicht notwendigerweise in D enthalten. Für die offene Kreisscheibe D = K_{r}(a) := {z ∈ ℂ : |a − z| < r} sind alle Punkte des abgeschlossenen Kreises \overline{K_{r}(a)} := \{z ∈ ℂ : |a − z| ≤ r\} Häufungspunkte, aber die Randpunkte |z − a| = r gehören nicht zu D.

Definition 18.2 Es sei a ∈ X ein Häufungspunkt von D ⊂ X. Eine Funktion f : D → ℂ hat in a den Grenzwert λ, wenn die fortgesetzte Funktion F : D ∪{a} →

ℂ mit F (x) = \{ \begin{matrix}f(x) & für x ≠ a \\ λ & für x = a \end{matrix} in a stetig ist. In diesem Fall schreibt man

λ = lim_{x→a} f(x).

Die Stetigkeit von F in a kann wieder über ϵ-δ-Techniken oder Folgen überprüft werden. Gehört a zum Definitionsbereich von f, dann ist f nach Satz 17.10 in a genau dann stetig, wenn lim_{x→a} f(x) = f(a). Damit gibt es folgende Möglichkeiten für Unstetigkeiten einer Funktion f im Punkt a:

i) f hat in a keinen Grenzwert,

ii) f hat in a einen Grenzwert ungleich f(a).

Die Bedeutung des Grenzwertes von Funktionen besteht darin, daß man Funktionen unter Umständen stetig über den Definitionsbereich hinaus fortsetzen kann.

Beispiel 18.3 Für z ∈ D := ℂ \ \{0\} sei f(z) = \frac{exp(cz)−1}{z} für c ∈ ℂ. Wir zeigen: lim_{z→0} f(z) = c. Auf D gilt

\frac{exp(cz) − 1}{z} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(cz)^{n}}{zn!} = c + ∑_{k=1}^{∞} \frac{c(cz)^{k}}{(k + 1)!} .

Nach Satz 15.7 gibt es zu r = 1 ein c_{1} ∈ ℝ mit

|\frac{exp(cz) − 1}{z} − c| ≤ | ∑_{k=1}^{∞} \frac{c(cz)^{k}}{(k + 1)!}| < c_{1}|z| .

für alle |z| < 1. Wähle δ = min(1, \frac{ϵ}{c_{1}} ). Damit ist die Funktion F (z) =

\{ \begin{matrix}\frac{exp(cz) − 1}{z} für & z ≠ 0 \\ c für & z = 0 \end{matrix} stetig auf ganz ℂ.

Man kann übrigens beweisen, daß f(z) = exp(cz) die einzige Lösung der beiden Bedingungen f(w)f(z) = f(w + z) für alle z, w ∈ ℂ und lim_{z→0} \frac{f(z)−1}{z} = c ist (siehe Königsberger, Analysis 1, §8.1). ◁

Für des Rechnen mit Grenzwerten gelten die üblichen Regeln (der Beweis ist ähnlich wie in Satz 9.3 und Satz 17.12.

Satz 18.4 Gilt lim_{x→a} f(x) = λ und lim_{x→a} g(x) = μ, so folgt lim_{x→a}(f +g)(x) = λ + μ, lim_{x→a}(f · g)(x) = λ · μ und, falls μ ≠ 0, lim_{x→a} \frac{f}{g} (x) = \frac{λ}{μ}.

Ist die Komposition g ∘ f definiert und ist lim_{x→a} f(x) = y und g stetig in y, dann folgt lim_{x→a} g ∘ f(x) = g(y).

Im Reellen kann man zusätzlich einseitige Grenzwerte definieren:

Definition 18.5 Es sei a ein Häufungspunkt von D ⊂ ℝ und D_{−} := D∩ ]−∞, a[ und D_{+} := D∩ ]a, ∞[ . Eine Funktion f : D → ℂ hat in a linksseitig bzw. rechtsseitig den Grenzwert λ, falls die Einschränkung von f auf D_{−} bzw. D_{+} den Grenzwert λ hat. In diesem Fall schreibt man

λ = lim_{x↗a} f(x) = f(a−) bzw. λ = lim_{x↘a} f(x) = f(a+) .

Ist a ∈ D und f(a) = f(a−) bzw. f(a) = f(a+), dann heißt f in a linksseitig bzw. rechtsseitig stetig.

Beispiel 18.6 Es sei f(x) = [x] ∈ ℤ der ganze Teil einer reellen Zahl x, d.h.

[x] = sup{g ∈ ℤ : g ≤ x}. Dann hat f in g ∈ ℤ linksseitig den Grenzwert g − 1 und rechtsseitig den Grenzwert g und ist rechtsseitig stetig. ◁

Über die einseitigen Grenzwerte kann man den Grenzwert einer im Reellen definierten Funktion in ±∞ definieren:

Definition 18.7 Der Definitionsbereich D ⊂ ℝ einer Funktion f : D → ℂ sei nach oben unbeschränkt. Eine Zahl λ ∈ ℂ heißt Grenzwert von f in ∞, wenn es zu jedem ϵ > 0 ein N gibt mit |f(x)−λ| < ϵ für alle x ∈ D mit x > N. In diesem Fall schreibt man lim_{x→∞} f(x) = λ. Analog ist ein Grenzwert in −∞ definiert.

Beispiel 18.8 lim_{x→∞}(\sqrt{x^{2} + x} − x) = \frac{1}{2} für x ≥ 0. Beweis. Für x > 1 gilt unter Verwendung der Binomialreihe

\sqrt{x^{2} + x} − x = x(\sqrt{1 + \frac{1}{x}} − 1) = x ∑_{n=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{n}\frac{1}{x^{n}} = \frac{1}{2} + ∑_{k=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k + 1}\frac{1}{x^{k}}

Da der Konvergenzradius gleich 1 ist, gibt es nach Satz 15.7 ein c_{1} ∈ ℝ mit

| ∑_{k=1}^{∞} \binom{\frac{1}{2}}{k + 1}\frac{1}{x^{k}} | < c_{1} \frac{1}{x} für alle x > 1. ◁

Dieses Beispiel demonstriert bereits das allgemeine Prinzip der Zurückführung von Grenzwerten in ∞ auf Grenzwerte in 0:

Lemma 18.9 Setzt man g(ξ) = f(\frac{1}{ξ}) für \frac{1}{ξ} ∈ D, dann gilt: f besitzt genau dann in ∞ einen Grenzwert, wenn g rechtsseitig in 0 einen Grenzwert besitzt, und dann

gilt lim_{x→∞} f(x) = g(0+).

Analog gilt gegebenenfalls lim_{x→−∞} f(x) = g(0−).

Schließlich führen wir ±∞ als uneigentliche Grenzwerte reellwertiger Funktionen ein:

Definition 18.10 Eine Funktion f : D → ℝ hat in x_{0} ∈ ℝ ∪ {−∞, ∞} den uneigentlichen Grenzwert ∞ bzw. −∞, wenn es zu jedem M ∈ ℝ eine Umgebung V ⊂ D \ {x_{0}} gibt, so daß für alle x ∈ V gilt f(x) > M bzw. f(x) < M.

Beispiel 18.11 Für Polynome f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} mit n ≥ 1 gilt

lim_{x→∞} f(x) = \{ \begin{matrix}∞ falls & a_{n} > 0 \\ −∞ falls & a_{n} < 0 \end{matrix}

Ist a_{n} > 0, so gilt

lim_{x→−∞} f(x) = \{ \begin{matrix}∞ falls & n gerade \\ −∞ falls & n ungerade \end{matrix}

Für a_{n} < 0 tauschen sich die Vorzeichen. ◁

19 Der Zwischenwertsatz

Wir geben zunächst eine äquivalente Charakterisierung der globalen Stetigkeit:

Satz 19.1 Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig auf ganz X (d.h. in jedem Punkt a ∈ X), wenn das Urbild f^{−1}(V) jeder offenen Menge V ⊂ Y offen in X ist.

Beweis. (⇒) Ist f^{−1}(V) = ∅, so ist diese Menge offen. Ansonsten gibt es zu jedem Punkt a ∈ f^{−1}(V), also f(a) ∈ V, wegen der Offenheit von V eine ϵ-Umgebung K_{ϵ}(f(a)) ⊂ V. Wegen der Stetigkeit von f existiert eine δ-Umgebung K_{δ}(a) ⊂ X mit f(K_{δ}(a)) ⊂ K_{ϵ}(f(a)) ⊂ V. Also ist K_{δ}(a) ⊂ f^{−1}(V) ⊂ X, d.h. f^{−1}(V) ist offen.

(⇐) Sei a ∈ X beliebig. Eine beliebige offene Umgebung V ⊂ Y von f(a) enthält eine offene Kugel K_{ϵ}(f(a)) ⊂ Y. Deren Urbild f^{−1}(K_{ϵ}(f(a)) ist nach Voraussetzung offen, enthält also eine δ-Umgebung von a. Damit ist f stetig. □

Durch Bildung der Komplemente folgt: Eine Abbildung f : X → Y ist genau dann stetig auf ganz X, wenn das Urbild f^{−1}(A) jeder abgeschlossenen Menge A ⊂ Y abgeschlossen in X ist.

Insbesondere gilt:

Satz 19.2 Für eine stetige Funktion f : X → ℝ gilt:

i) U := {x ∈ X : f(x) < c} ist offen, ebenso U′ := {x ∈ X : f(x) > c}.

ii) A := {x ∈ X : f(x) ≤ c} ist abgeschlossen, ebenso A′ := {x ∈

X : f(x) ≥ c}.

iii) N := {x ∈ X : f(x) = c} ist abgeschlossen. □

Beispiel 19.3 In einem beliebigen normierten Vektorraum (V, ∥ ∥) sind der Einheitsball B_{V} = {v ∈ V : ∥v∥ ≤ 1} und die Einheitsphäre S_{V} = {v ∈ V : ∥v∥ = 1} abgeschlossen als Urbild von [0, 1] bzw. {1} unter der (nach Satz 17.8) stetigen Abbildung ∥ ∥ : V → ℝ. ◁

Definition 19.4 Ein metrischer Raum X heißt zusammenhängend, wenn X und ∅ die einzigen Teilmengen von X sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Damit besitzen nichtzusammenhängende metrische Räume X eine Zerlegung X = U ∪ V mit U, V offen und U, V ≠ ∅ und U ∩ V = ∅. Die (Nicht-)Existenz solcher Zerlegungen ist abhängig von der Wahl der Metrik.

In ℝ führt diese Definition auf Intervalle:

Satz 19.5 Eine Teilmenge X ⊂ ℝ mit mindestens zwei verschiedenen Punkten ist genau dann zusammenhängend, wenn X ein Intervall ist.

Beweis. (⇒) Sei X = I ein Intervall. Angenommen, I = U ∪V mit U, V offen und U, V ≠ ∅ und U ∩ V = ∅. Dann gibt es Punkte u ∈ U ⊂ I und v ∈ V ⊂ I mit u < v oder u > v. Sei u < v, dann ist [u, v] ⊂ I. Sei s := sup{[u, v] ∩ U}. Dann gibt es eine gegen s konvergente Folge von Punkten aus [u, v] ∩ U. Da U = I \ V in I abgeschlossen ist, ist s ∈ U, also ist ]s, v] ⊂ V. Andererseits ist U offen in I, enthält also auch eine Kugel K_{ϵ}(s), Widerspruch.

Sei umgekehrt X kein Intervall. Dann gibt es u < s < v ∈ ℝ mit u, v ∈ X und s ∉ X. Also sind U = X ∩] − ∞, s[ und V = X ∩]s, ∞[ offen, disjunkt und nichtleer, außerdem ist X = U ∪ V. Somit ist X nicht zusammenhängend. □

Theorem 19.6 Es sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen X, Y. Ist X zusammenhängend, so ist auch f(X) zusammenhängend.

Beweis. Wäre f(X) nicht zusammenhängend, so gäbe es disjunkte nichtleere offene Mengen U, V mit f(X) = U ∪ V. Wegen der Stetigkeit von f sind f^{−1}(U) und f^{−1}(V) offen, nichtleer und disjunkt, denn f(x) liegt entweder in U oder in V. Somit wäre X = f^{−1}(U) ∪ f^{−1}(V), Widerspruch. □

Satz 19.7 (Zwischenwertsatz) Sei X ein zusammenhängender metrischer Raum, a, b ∈ X und f : X → ℝ stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

Beweis. Nach Satz 19.6 ist f(X) zusammenhängend. Ist f(a) ≠ f(b), dann ist f(X) nach Satz 19.5 ein Intervall. Für f(a) = f(b) ist nichts zu zeigen. □

Für Funktionen auf Intervallen gilt insbesondere:

Folgerung 19.8 (Zwischenwertsatz für Intervalle) Es seien a < b reelle Zahlen und f : [a, b] → ℝ stetig. Dann existiert zu jedem γ ∈ [f(a), f(b)] bzw. γ ∈ [f(b), f(a)] ein c ∈ [a, b] mit γ = f(c). □

Der Zwischenwertsatz beschreibt die anschauliche Tatsache, daß man stetige Funktionen lückenlos durchzeichnen kann. Das ist eine weitere Version der Vollständigkeit von ℝ. Der Zwischenwertsatz ist nützlich in vielen Existenzbeweisen:

Satz 19.9 (Existenz n-ter Wurzeln) Jedes reelle Polynom P (x) = x^{n}−α mit α > 0 hat eine positive Nullstelle.

Beweis. Es ist P (0) = −α < 0 und P (1 + α) = (1 + α)^{n} − 1 > 0 (binomische Formel). Da Polynome stetig sind, hat P in [0, 1 + α] mindestens eine Nullstelle y mit y^{n} = α. □

Satz 19.10 Jedes reelle Polynom P (x) = ∑_{i=0}^{2n+1} a_{i}x^{i} ungeraden Grades (a_{2n+1} ≠ 0) besitzt in ℝ mindestens eine Nullstelle.

Beweis. (für a_{2n+1} > 0) Wegen lim_{x→∞} P (x) = ∞ und lim_{x→−∞} P (x) = −∞ gibt es reelle Zahlen a < b mit P (a) < 0 und P (b) > 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es mindestens eine Punkt c ∈ [a, b] mit P (c) = 0. □

Manche Aufgaben, die intuitiv schwer zugänglich sind, finden ihre Lösung im Zwischenwertsatz:

Übung 19.11 An einem fest gewählten Ort x der Erde sei T (t) die Lufttemperatur zum Zeitpunkt t. Zu Beginn sei T (a) = T_{0}. Anschließend variiere die Lufttemperatur stetig mit der Zeit, und zum Zeitpunkt t = b > a werde wieder die Temperatur T (b) = T_{0} erreicht. Dann gibt es stets zwei Zeitpunkte a ≤ t_{0} < t_{1} ≤ b mit der halben Zeitdifferenz t_{1} − t_{0} = \frac{b−a}{2} und gleicher Lufttemperatur T (t_{0}) = T (t_{1}).

Beweis: Definiere f : [a, \frac{a+b}{2}] → ℝ durch f(t) = T (t) − T (t + \frac{b−a}{2}). Dann ist f stetig, und es gilt f(a) = T (a) − T (\frac{a+b}{2}) sowie f(\frac{a+b}{2}) = T (\frac{a+b}{2}) − T (b) = −f(a). Damit gilt: Entweder ist f(a) = 0 und damit T (a) = T (\frac{a+b}{2}), oder f(a) und f(\frac{a+b}{2}) haben verschiedene Vorzeichen. Da f stetig ist, hat f eine Nullstelle t_{0} ∈ ]a, \frac{a+b}{2}[. Für diese gilt T (t_{0}) = T (t_{0} + \frac{b−a}{2}). ♢

Übung 19.12 Zwei Punkte der Erdoberfläche (die Meeresoberfläche eingeschlossen) heißen antipodal, wenn Ihre Verbindungsgerade den Erdmittelpunkt enthält. Es gilt: Zu jedem Zeitpunkt gibt es unendlich viele Paare antipodaler Punkte der Erdoberfläche, die die gleiche Lufttemperatur haben. (Die Lufttemperatur wird dabei als stetige Funktion T : Erdoberfläche → ℝ aufgefaßt, und die Erdoberfläche als metrischer Raum.)

Beweis: Angenommen, es gibt zumindest zwei antipodale Punkte mit verschiedener Lufttemperatur (sonst ist nichts zu zeigen). Diese seien z.B. Nordpol N und Südpol S. Wir laufen entlang eines beliebigen Längenkreises von N nach S und registrieren die Differenz f(x) := T (x)−T (x′), wobei x auf dem Längenkreis liegt und x′ sein antipodaler Punkt auf dem gleichen Längenkreis ist. Wegen N′ = S und f(S′) = N gilt f(N) = −f(S) ≠ 0. Somit hat f eine Nullstelle. ♢

Definition 19.13 Sei X ⊂ ℝ. Eine Funktion f : X → ℝ heißt

i) monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, wenn für alle x, y ∈ X mit x < y gilt f(x) ≤ f(y) bzw. f(x) < f(y);

ii) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für alle x, y ∈ X mit x < y gilt f(x) ≥ f(y) bzw. f(x) > f(y);

iii) (streng) monoton, wenn sie (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist.

Jede streng monotone (reellwertige) Funktion auf X ⊂ ℝ ist injektiv und besitzt damit eine Umkehrfunktion g : f(X) → ℝ, die im gleichen Sinn streng monoton ist. In diesem Fall gehen die Graphen von f und g durch Spiegelung an der Diagonalen y = x auseinander hervor:

G(f) = {(x, y) : y = f(x) , x ∈ X} ⇔ G(g) = {(y, x) : y = f(x) , x ∈ X} .

Satz 19.14 Es sei I ⊂ ℝ ein Intervall und f : I → ℝ eine stetige streng monotone Funktion. Dann bildet f das Intervall I bijektiv auf das Intervall I′ := f(I) ab, und die Umkehrfunktion f^{−1} : I′ → I ist ebenfalls streng monoton (im gleichen Sinn) und stetig.

Beweis. Nach Satz 19.6 ist I′ := f(I) zusammenhängend, nach Satz 19.5 ein Intervall. Damit bildet f als streng monotone Funktion I bijektiv auf I′ ab. Entsprechend wird jedes Teilintervall von I bijektiv auf ein Teilintervall abgebildet, und zwar (wegen der strengen Monotonie) offene Intervalle auf offene und abgeschlossene Intervalle auf abgeschlossene. Insbesondere ist das Urbild in I′ unter f^{−1} jeder offenen Umgebung in I wieder offen. Damit ist f^{−1} stetig. □

Die Voraussetzung, daß I ⊂ ℝ ein Intervall ist, ist wesentlich. Es gibt bijektive stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen, deren Umkehrung nicht stetig ist. Wir werden später sehen, daß x ↦ exp(ix) eine bijektive stetige Abbildung f : [0, 2π[ → S^{1} definiert, deren Umkehrabbildung nicht stetig ist.

Definition 19.15 Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen X, Y heißt Homöomorphismus, falls f bijektiv ist und sowohl f : X → Y als auch f^{−1} : Y → X stetig ist. Die metrischen Räume X, Y heißen homöomorph, falls es einen Homöomorphismus f : X → Y gibt.

Beispiel 19.16 X = ℝ_{+} ist homöomorph zum Intervall I = [0, 1[ vermöge der Abbildung f(x) = \frac{x}{1+x} =: y. Die Umkehrung ist f^{−1}(y) = \frac{y}{1−y}. Als rationale Funktionen sind f, f^{−1} stetig. ◁

20 Die Exponentialfunktion

20.1 Logarithmus und komplexe Potenzen

Die Exponentialfunktion exp(z) := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} ist nach Beispiel 17.5 in jedem Punkt

z ∈ ℂ stetig. Insbesondere ist auch die reelle Exponentialfunktion exp : ℝ → ℝ stetig und nach Bemerkung iv) im Anschluß an Satz 15.6 streng monoton wachsend. Wegen exp(0) = 1 und lim_{x→∞} exp(x) = ∞ nimmt exp auf ℝ_{+} jeden Wert y ≥ 1 genau einmal an. Dann folgt aus exp(−x) = \frac{1}{exp(x)}, daß exp auf ℝ_{−} jeden Wert 0 < y ≤ 1 genau einmal annimmt, d.h. exp : ℝ → ℝ_{+}^{×} ist bijektiv. Somit existiert die Umkehrfunktion, der (natürliche) Logarithmus:

ln : ℝ_{+}^{×} → ℝ mit ln(x) := {y ∈ ℝ : exp(y) = x} ,

und nach Satz 19.14 ist ln : ℝ_{+}^{×} → ℝ stetig und streng monoton wachsend. Speziell ist ln(1) = 0.

Satz 20.1 Es gilt die Funktionalgleichung ln(xy) = ln(x) + ln(y) für alle x, y ∈

ℝ_{+}^{×} sowie lim_{x→0} \frac{ln(1 + x)}{x} = 1.

Beweis. i) Setze ξ := ln(x) und η := ln y, dann ist exp(ξ + η) = exp(ξ) · exp(η) = x · y. Einsetzen in ln liefert die Behauptung.

ii) Sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge mit x_{n} ≠ 0 für alle n und y_{n} := ln(1+x_{n}). Wegen ln(1) = 0 ist auch (y_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge. Dann gilt \frac{ln(1+x_{n})}{x_{n}} = \frac{y_{n}}{exp(y_{n})−1}, und nach Beispiel 18.3 konvergiert (\frac{y_{n}}{exp(y_{n})−1})_{n∈ℕ} gegen 1. □

Die Funktionalgleichung des Logarithmus führt auf folgende Definition allgemeiner komplexer Potenzen:

x^{z} := exp(z ln x) , x ∈ ℝ_{+}^{×} , z ∈ ℂ .

Insbesondere gilt e^{z} = exp(z) für alle z ∈ ℂ und x^{0} = 1 für alle x ∈ ℝ_{+}^{×}. Die so definierten komplexen Potenzen haben folgende Eigenschaften:

i) Als Komposition stetiger Funktionen ist x ↦ x^{z} stetig in jedem Punkt x ∈ ℝ_{+}^{×} (dabei ist z festgehalten), und z ↦ x^{z} ist stetig in jedem Punkt z ∈ ℂ (dabei ist x festgehalten).

ii) Für reelle Exponenten a ∈ ℝ ist x ↦ x^{a} streng monoton wachsend falls a > 0 und streng monoton fallend falls a < 0 (für a = −b mit b > 0 gilt x^{−b} = exp(−b ln x) = \frac{1}{exp(b ln x)} = \frac{1}{x^{b}}). Folglich bildet die Funktion x ↦ x^{a} den Definitionsbereich ℝ_{+}^{×} bijektiv auf ℝ_{+}^{×} ab.

iii) Für x, y ∈ ℝ_{+}^{×}, a, b ∈ ℝ und z, w ∈ ℂ gelten die Identitäten

(x^{a})^{b} = x^{a·b} , x^{z} · y^{z} = (xy)^{z} .

1) (x^{a})^{b} := exp(b ln(x^{a})) = exp(b ln(exp(a ln x))) = exp(ba ln x) = x^{ab}, dabei ist x^{a} ∈ ℝ_{+}^{×} entscheidend.

2) x^{z} · y^{z} = exp(z ln x) · exp(z ln y) = exp(z(ln x + ln x)) = exp(z ln(xy)) = (xy)^{z}.

iv) Es gelten folgende Grenzwerte:

lim_{x→∞} x^{a} = \{ \begin{matrix}∞ für & a > 0 \\ 0 für & a < 0 \end{matrix}  lim_{x→0} x^{a} = \{ \begin{matrix}0 für & a > 0 \\ ∞ für & a < 0 \end{matrix}
lim_{x→∞} \frac{ln x}{x^{a}} = 0 für a > 0 ,  lim_{x→0} x^{a} ln x = 0 für a > 0 .

Die erste Zeile folgt aus der Tatsache, daß x ↦ x^{a} streng monoton ist und ℝ_{+}^{×} bijektiv auf ℝ_{+}^{×} abbildet. In der ersten Gleichung der zweiten Zeile verwende lim_{y→∞} \frac{y}{exp(ay)} = 0 für a > 0 und setze y = ln x. v) Als Konsequenz aus lim_{x→0} x^{a} = 0 für a > 0 kann x ↦ x^{a} stetig nach

x = 0 fortgesetzt werden, so daß f_{a}(x) = \{ \begin{matrix}x^{a} für & x > 0 \\ 0 für & x = 0 \end{matrix} eine stetige

Funktion f_{a} : ℝ_{+} → ℝ_{+} ist (für a > 0).

Satz 20.2 Für alle s ∈ ℂ und x ∈ ] − 1, 1[ gilt

(1 + x)^{s} = B_{s}(x) = ∑_{n=0}^{∞} \binom{s}{n}x^{n} ,  ln(1 + x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} x^{n} .

Beweis. Für s ∈ ℚ hatten wir (1 + x)^{s} = B_{s}(x) bereits in Satz 15.5.ii) gezeigt. Für z ∈ ℂ mit |z| < 1 und s ∈ ℂ^{×} schreiben wir

\frac{B_{s}(z) − 1}{s} = ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(s, z) , f_{n}(s, z) := \frac{1}{s}\binom{s}{n}z^{n} = \frac{(s − 1) ⋯ (s − n + 1)}{n!}z^{n} .

Es gilt |\frac{f_{n+1}(s, z)}{f_{n}(s, z)}| = \frac{|s − n|}{n + 1}|z|, so daß für |z| < 1 und |s| < M die Reihe

∑_{n=1}^{∞} f_{n}(s, z) nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent ist. Sie definiert

deshalb für festes s eine stetige Funktion in z, andererseits kann sie für festes z umgeordnet werden in eine Potenzreihe in s, die in jedem Punkt s ∈ ℂ mit |s| < M, insbesondere in s = 0, stetig ist. Wegen f_{n}(0, z) = \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} gilt somit

L(z) := lim_{s→0} \frac{B_{s}(z) − 1}{s} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n} , |z| < 1 .

Zusammen mit dem Additionstheorem B_{s+t}(z) = B_{s}(z) · B_{t}(z) aus Satz 15.5.i) folgt aus Beispiel 18.3, daß für festes z gilt B_{s}(z) = exp(sL(z)). Für s = 1 ergibt sich B_{1}(z) = (1 + z) = exp(L(z)) für alle z ∈ ℂ mit |z| < 1. Für z = x ∈ ] − 1, 1[ wird durch Logarithmieren ln(1 + x) = L(x) und dann B_{s}(x) = exp(sL(x)) = (1 + x)^{s} erhalten. □

Die Logarithmus-Reihe ln(1+x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} x^{k} ist zunächst nur für |x| < 1

erklärt. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert sie auch für x = 1 (alternierende harmonische Reihe). Da die Logarithmus-Funktion ln(1+x) für x > −1 erklärt ist, ist zu vermuten, daß die alternierende harmonische Reihe gegen ln 2 konvergiert. Nach dem Leibniz-Kriterium gilt für 0 ≤ x < 1

| ln(1 + x) − ∑_{k=1}^{n} \frac{(−1)^{k−1}}{k} x^{k}| ≤ \frac{x^{k+1}}{k + 1} .

Alle Funktionen in dieser Ungleichung sind stetig in x = 1, so daß wir im Limes x → 1 erhalten

| ln(2) − ∑_{k=1}^{n} \frac{(−1)^{k−1}}{k} | ≤ \frac{1}{k + 1}  ⇒  ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} = ln 2 .

20.2 Trigonometrische Funktionen

Für die Exponentialfunktion gilt \overline{exp(z)} = exp(z̄), deshalb für rein imaginäre Zahlen z = ix mit x ∈ ℝ zunächst \overline{exp(ix)} = exp(−ix) = \frac{1}{exp(ix)}, also

|e^{ix}|^{2} = exp(ix) exp(−ix) = 1 .

Damit liegt jeder Punkt e^{ix} auf dem Einheitskreis S^{1} = {z ∈ ℂ ; |z| = 1}. Wir definieren

cos x := Re(e^{ix}) = \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{−ix}) , sin x := Im(e^{ix}) = \frac{1}{2i}(e^{ix} − e^{−ix}) .

Damit gilt für alle x ∈ ℝ

e^{ix} = cos x + i sin x , cos^{2} x + sin^{2} x = 1 .

Insbesondere sind sin, cos : ℝ → [−1, 1] stetige Funktionen.

Satz 20.3 Es gelten die Additionstheoreme

cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y , sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y ,

die Potenzreihendarstellungen

cos x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} , sin x = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}

sowie der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1.

Beweis. Zum Beweis der Additionstheoreme zerlegt man e^{i(x+y)} = e^{ix} · e^{iy} nach Real- und Imaginärteil. Die Potenzreihen ergeben sich aus der Exponentialfunktion unter Beachtung, daß i^{n} reell ist für n gerade und rein imaginär für n ungerade. Der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sin x}{x} = 1 folgt aus der Reihendarstellung des Sinus und Satz 15.7. □

Wir kommen nun zur Definition der Zahl π:

Satz 20.4 Der Cosinus hat im Intervall [0, 2] genau eine Nullstelle, die mit \frac{π}{2} bezeichnet wird. Es gilt cos \frac{π}{2} = 0 und sin \frac{π}{2} = 1.

Beweis. Wir zeigen, daß cos : [0, 2] → [−1, 1] streng monoton fallend ist mit cos 0 = 1 > 0 und cos 2 < 0. Der Zwischenwertsatz liefert dann die Existenz einer Nullstelle, aus der Monotonie folgt ihre Eindeutigkeit. Insbesondere is 0 < π < 4.

Die Reihen für cos und sin sind alternierend. Für x ∈ ]0, 2] bilden die Beträge der Summanden a_{k} in der Cosinusreihe bzw. der Sinusreihe eine streng monoton fallende Nullfolge ab k = 1 bzw. k = 0. Nach der Fehlerabschätzung im Leibniz-Kriterium (Satz 11.10) gilt damit für x ∈ ]0, 2]

\underbrace{1 − \frac{x^{2}}{2}}_{s_{1}} < cos x < \underbrace{1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}}_{s_{3}} ,  \underbrace{x − \frac{x^{3}}{6}}_{s_{1}} < sin x < \underbrace{x}_{s_{0}} ,

insbesondere ist cos 2 < −\frac{1}{3} und sin x > 0 für x ∈ ]0, 2]. Die Monotonie des Cosinus folgt aus der Differenzengleichung

cos x − cos y = cos(\frac{x+y}{2} + \frac{x−y}{2}) − cos(\frac{x+y}{2} − \frac{x−y}{2}) = −2 sin \frac{x−y}{2} sin \frac{x+y}{2} .

Ist 0 ≤ y < x ≤ 2, so ist die rechte Seite negativ. □

Somit gelten e^{\frac{iπ}{2}} = i und damit e^{iπ} = −1, e^{\frac{3iπ}{2}} = −i und e^{2πi} = 1 und damit

e^{i(x+ \frac{π}{2} )} = ie^{ix} , e^{i(x+π)} = −e^{ix} , e^{i(x+ \frac{3π}{2} )} = −ie^{ix} , e^{i(x+2π)} = e^{ix} .

Zerlegung nach Real- und Imaginärteil liefert die folgenden Periodizitäten für Cosinus und Sinus:

cos(x+\frac{π}{2}) = − sin x , cos(x+π) = − cos x , cos(x+\frac{3π}{2}) = sin x , cos(x+2π) = cos x ,
sin(x+\frac{π}{2}) = cos x , sin(x+π) = − sin x , sin(x+\frac{3π}{2}) = − cos x , sin(x+2π) = sin x .

Wegen cos x = cos(−x) sind ±\frac{π}{2} die einzigen Nullstellen des Cosinus im Intervall [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] Aus cos(x+π) = − cos x folgt dann, daß x_{k} = \frac{(2k+1)π}{2} mit k ∈ ℤ die einzigen Nullstellen des Cosinus sind, und entsprechend sind x_{k} = kπ die einzigen Nullstellen des Sinus.

Satz 20.5 e^{z} = 1  ⇔  z = 2iπk für k ∈ ℤ.

Beweis. (⇐) ist klar. Umgekehrt sei z = x + iy mit x, y ∈ ℝ, dann gilt |e^{z}| = e^{x}|e^{iy}| = e^{x}, also x = 0 und dann 1 = e^{iy} = cos y + i sin y. Folglich ist cos y = 1 und sin y = 0, der Sinus liefert zunächst y = kπ mit k ∈ ℤ, wegen cos(0 + π) = − cos(0) = −1 und der 2π-Periodizität sind aber nur y = 2πk Lösungen. □

Folglich besitzt jede komplexe Zahl z ≠ 0 die Darstellung z = re^{iϕ} mit r = |z| ∈ ℝ_{+}^{×} und ϕ ∈ ℝ, wobei ϕ nur bis auf Addition eines Vielfachen von 2π bestimmt ist.

20.3 Weitere trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Außerhalb der Nullstellen von cos bzw. sin werden Tangens und Cotangens definiert als

tan x := \frac{sin x}{cos x} ,  x ∈ ℝ \ \{(k + \frac{1}{2})π , k ∈ ℤ\}
cot x := \frac{cos x}{sin x} ,  x ∈ ℝ \ \{kπ , k ∈ ℤ\}

Diese sind stetig und π-periodisch, und als Hauptzweig wählt man das Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ für den Tangens und das Intervall ]0, π[ für den Cotangens.

Satz 20.6 i) cos ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend und bildet somit [0, π] bijektiv auf [−1, 1] ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arccos : [−1, 1] → [0, π].

ii) sin ist im Intervall [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] streng monoton wachsend und bildet somit [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] bijektiv auf [−1, 1] ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arcsin : [−1, 1] → [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}].

iii) tan ist im Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ streng monoton wachsend und bildet ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ bijektiv auf ℝ ab. Die damit existierende stetige Umkehrfunktion ist arctan : ℝ → ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[.

Beweis. i) cos ist nach dem Beweis von Satz 20.4 streng monoton fallend in [0, \frac{π}{2}], und wegen cos(π−x) = − cos(−x) = − cos x ist cos auch in [\frac{π}{2}, π] streng monoton fallend.

ii) folgt aus i) mit sin x = cos(\frac{π}{2} − x).

iii) Da sin in [0, \frac{π}{2}[ streng monoton wächst und cos dort streng monoton fällt und beide nichtnegativ sind, ist tan streng monoton wachsend in [0, \frac{π}{2}[. Wegen tan(−x) = − tan x ist tan streng monoton wachsend in [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}[. Wegen sin \frac{π}{2} = 1 und cos \frac{π}{2} = 0 ist tan nach oben unbeschränkt in [0, \frac{π}{2}[, so daß tan das Intervall ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ bijektiv auf ℝ abbildet. □

Satz 20.7 Es gilt arctan x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}x^{2n+1} für x ∈ ] − 1, 1[.

Beweis. Zunächst ist tan x = \frac{1}{i} \frac{e^{ix}−e^{−ix}}{e^{ix}+e^{−ix}} = \frac{1}{i} \frac{e^{2ix}−1}{e^{2ix}+1}. Auflösen nach e^{2ix} ergibt

e^{2ix} = \frac{1 + i tan x}{1 − i tan x}  ⇒^{x=arctan y} e^{2i arctan y} = \frac{1 + iy}{1 − iy} .

Im Beweis von Satz 20.2 hatten wir (1 + z) = exp(L(z)) für z ∈ ℂ mit |z| < 1

gezeigt, wobei L(z) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}}{n} z^{n}. Somit gilt \frac{1 + iy}{1 − iy} = exp(L(iy) − L(−iy)).

Für gerades n = 2k ist (iy)^{2k} = (−iy)^{2k}, deshalb heben sich in L(iy) − L(−iy) die geraden Potenzen von y auf und die ungeraden verdoppeln sich:

L(iy) − L(−iy) = 2 ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{2n + 1}(iy)^{2n+1} = 2i ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}y^{2n+1} .

Aus exp(2i arctan y) = exp(L(iy) − L(−iy)) und Satz 20.5 folgt

arctan y + 2kπ = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}y^{2n+1} , k ∈ ℤ

für alle y ∈ ℝ. Einsetzen von y = 0 liefert k = 0. □

Interessant ist der Punkt x = 1, denn tan \frac{π}{4} = \frac{sin( \frac{π}{2} − \frac{π}{4} )}{cos \frac{π}{4}} = \begin{matrix}cos & \frac{π}{4} \\ cos & \frac{π}{4} \end{matrix} = 1, also \frac{π}{4} = arctan 1. Die Arcustangensreihe ist für x = 1 nicht mehr absolut konvergent,

jedoch konvergent nach dem Leibniz-Kriterium. Da | tan x − ∑_{n=0}^{N} \frac{(−1)^{n}}{2n+1} x^{2n+1}|

stetig ist und durch den nachfolgenden Term \frac{|x|^{2N+3}}{2N+3} abgeschätzt werden kann,

konvergiert die Reihe für x = 1 gegen arctan 1, also \frac{π}{4} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2n + 1}. Über das

Additionstheorem des Tangens kann \frac{π}{4} = 4 arctan \frac{1}{5} − arctan \frac{1}{239} gezeigt werden, was eine sehr viel schneller konvergierende Reihendarstellung liefert.

Aus der Exponentialfunktion werden auch die folgenden hyperbolischen Funktionen Cosinus hyperbolicus, Sinus hyperbolicus, Tangens hyperbolicus, Cotangens hyperbolicus erhalten:

cosh x := \frac{1}{2}(e^{x} + e^{−x}) ,  sinh x = \frac{1}{2}(e^{x} − e^{−x}) ,  tanh x := \frac{sinh x}{cosh x} ,

Alle diese Funktionen sind stetig in ℝ, und coth x := \frac{cosh x}{sinh x} ist stetig in ℝ^{×}. Es gelten cosh^{2} x − sinh^{2} x = 1, die Additionstheoreme

cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y ,
sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y ,

die Potenzreihendarstellungen

cosh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!} , sinh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!}

sowie der Grenzwert lim_{x→0} \frac{sinh x}{x} = 1. Weiter gilt:

i) cosh wächst streng monoton auf ℝ_{+} mit Bild cosh(ℝ) = {y ∈ ℝ : y ≥ 1}, die Umkehrfunktion ist arcosh : {y ∈ ℝ : y ≥ 1} → ℝ_{+} ii) sinh wächst streng monoton auf ℝ mit Bild sinh(ℝ) = ℝ, die Umkehr-

funktion ist arsinh : ℝ → ℝ,

iii) tanh wächst streng monoton auf ℝ mit Bild tanh(ℝ) = ] − 1, 1[, die Umkehrfunktion ist artanh : ] − 1, 1[ → ℝ.

Diese Umkehrfunktionen lassen sich durch den Logarithmus darstellen:

arcosh(x) = ln(x + \sqrt{x^{2} − 1}) ,  arsinh(x) = ln(x + \sqrt{x^{2} + 1}) ,
artanh(x) = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 − x} .

21 Kompakte Mengen

Definition 21.1 Sei A Teilmenge eines metrischen Raumes X. Unter einer offenen Überdeckung von A versteht man eine Familie (U_{i})_{i∈I} von offenen Teilmengen U_{i} ⊂ X mit A ⊂ ⋃_{i∈I} U_{i}, d.h. zu jedem Punkt x ∈ A gibt es ein i ∈ I mit x ∈ U_{i}.

i) Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X heißt überdeckungskompakt oder kurz kompakt, wenn es zu \underline{jeder} offenen Überdeckung (U_{i})_{i∈I} von A endlich viele Indizes i_{1}, …, i_{n} ∈ I gibt, so daß A ⊂ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{n}}. (Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft)

ii) Eine Teilmenge K eines metrischen Raums X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge von Punkten aus K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert in K liegt. (Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft)

Es wird in i) also nicht gefordert, daß man A durch endlich viele offene Teilmengen von X überdecken kann. Das geht immer, denn A läßt sich durch X selbst überdecken, und X ist offen. Die Forderung ist, daß man jede exotische unendliche Überdeckung von A auf eine endliche Überdeckung reduzieren kann. Insbesondere wird durch Definition 21.1 für A = X die Kompaktheit und Folgenkompaktheit metrischer Räume erklärt.

Satz 21.2 Es sei X ein metrischer Raum.

i) Jede kompakte Teilmenge A ⊂ X ist auch folgenkompakt.

ii) Jede folgenkompakte Teilmenge K ⊂ X ist beschränkt und abgeschlossen.

Beweis. i) Sei (a_{k})_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten aus A und K = {a_{k} : k ∈ ℕ}. Ist K endlich, so hat (a_{k}) eine konstante Teilfolge. Sei K also unendlich. Angenommen, K hat keinen Häufungspunkt in A. Dann besitzt jeder Punkt x ∈ A eine offene Umgebung U(x) ⊂ X, die nur endlich viele Punkte aus K enthält. Die offenen Umgebungen U(x) bilden eine offene Überdeckung von A. Da A kompakt ist, genügen bereits endlich viele U(x_{1}), …, U(x_{n}) zur Überdeckung, und A enthielte nur endlich viele Punkte aus K, Widerspruch. Sei a ∈ A Häufungspunkt von K. Dann enthält jede offene Kugel um a mit Radius \frac{1}{l+1} unendlich viele Punkte aus K. Setze k_{l} := min(k : d(a_{k}, a) < \frac{1}{l+1}). Dann ist (a_{k_{l}})_{l∈ℕ} eine Teilfolge von (a_{k}), die gegen a konvergiert.

ii) Angenommen, K wäre unbeschränkt. Dann gäbe es zu beliebigem y ∈ K eine Folge (x_{k})_{k∈ℕ} mit d(x_{k}, y) > k, welche keine konvergente Teilfolge besitzt, Widerspruch. Wäre K nicht abgeschlossen, dann gäbe es eine konvergente Folge von Punkten aus K mit Grenzwert außerhalb K, Widerspruch. □

Satz 21.2.i) besagt also:

Folgerung 21.3 (Bolzano-Weierstraß) Sei A ⊂ X kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und {y_{k}}_{k∈ℕ} eine Folge von Punkten aus A. Dann gibt es einen Punkt a ∈ A und eine Teilfolge {y_{k_{l}}}_{l∈ℕ} von {y_{k}}_{k∈ℕ}, die gegen a konvergiert. □

Es läßt sich (mit größerem Schreibaufwand) zeigen, daß in beliebigen metrischen Räumen kompakt und folgenkompakt äquivalente Eigenschaften sind. In allgemeinen topologischen Räumen fallen beide Arten der Kompaktheit jedoch auseinander. Wir beschränken uns hier auf den Beweis, daß in endlichdimensionalen normierten Vektorräumen die Umkehrung gilt, indem wir zeigen:

Satz 21.4 Für eine Teilmenge K eines endlich-dimensionalen normierten Vektorraums V sind folgende Aussagen äquivalent:

i) K ist beschränkt und abgeschlossen.

ii) K ist kompakt (Heine-Borel).

iii) K ist folgenkompakt (Bolzano-Weierstraß).

Wegen Satz 21.2 ist nur i)⇒ii) zu zeigen. Wir formulieren zunächst einen Zwischenschritt als eigenen Satz:

Satz 21.5 Sei X ein metrischer Raum, Y ⊂ X eine kompakte Teilmenge und A ⊂ Y eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist A kompakt.

Beweis. X \ A ist offen. Ist (U_{i})_{i∈I} eine offene Überdeckung von A, dann ist Y ⊂ X = (X \ A) ∪ ⋃_{i∈I} U_{i}. Da Y kompakt, genügen endlich viele U_{i} mit X \ A zur Überdeckung von Y und damit auch von A. □

Beweis von Satz 21.2. Sei zunächst V = ℝ^{n}. Wegen Satz 21.5 genügt es zu zeigen, daß der abgeschlossene Quader

Q = [a_{1}, b_{1}] × ⋯ × [a_{n}, b_{n}] = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} : a_{ν} ≤ x_{ν} ≤ b_{ν}} ⊂ ℝ^{n}

kompakt ist, denn jede beschränkte abgeschlossene Teilmenge von ℝ^{n} liegt in einem abgeschlossenen Quader.

Sei (U_{i})_{i∈I} eine unendliche offene Überdeckung von Q_{0} = Q, die nicht auf eine endliche reduziert werden kann. Durch Halbierung aller Kanten zerlegen wir Q in 2^{n} gleich große Teilquader der halben Größe. Es gibt dann mindestens einen abgeschlossenen Teilquader, den wir mit Q_{1} bezeichnen, der nicht durch endlich viele U_{i} überdeckt werden kann. Durch Wiederholung des Verfahrens finden wir eine Folge

Q = Q_{0} ⊃ Q_{1} ⊃ Q_{2} ⊃ …

von abgeschlossenen Quadern mit diam(Q_{k}) = \frac{1}{2^{k}} diam(Q), so daß jeder von ihnen nicht durch endlich viele U_{i} überdeckt werden kann.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es einen Punkt x ∈ Q_{k} für alle k. Dieser Punkt x liegt in irgendeiner Umgebung U_{j} mit j ∈ I. Da U_{j} offen, gibt es ein ϵ > 0, so daß K_{ϵ}(x) ⊂ U_{i}. Dann finden wir aber auch ein p ∈ ℕ mit diam(Q_{p}) = \frac{1}{2^{p}} diam(Q) < ϵ. Somit gilt Q_{p} ⊂ U_{j}, d.h. die Quader lassen sich im Widerspruch zur Annahme durch endlich viele U_{i} überdecken. Also ist Q kompakt.

Sei nun V beliebiger n-dimensionaler reeller normierter Vektorraum^{1}. Wähle eine Basis B = (v_{1}, …, v_{n}) von Vektoren v_{j} ∈ V und setze

K′ = {(λ_{1}, …, λ_{n}) : ∑_{j=1}^{n} λ_{j}v_{j} ∈ K} ⊂ ℝ^{n} .

Ist K beschränkt und abgeschlossen, so auch K′, und K′ ist kompakt. Sei (U_{i})_{i∈I} eine Überdeckung von K ⊂ V. Jede Teilmenge U_{i} ⊂ V definiert eine Teilmenge

U′_{i} = {(λ_{i1}, …, λ_{in}) : ∑_{j=1}^{n} λ_{ij}v_{j} ∈ U_{i}} ⊂ ℝ^{n} .

Dann ist (U′_{i})_{i∈I} eine Überdeckung von K′, und es gibt endlich viele Indizes i_{1}, …, i_{p} mit K′ ⊂ U′_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U′_{i_{p}}. Dann ist auch K ⊂ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{p}}, d.h. K ist kompakt. □

Daraus ergibt sich folgende Formulierung des Satzes von Bolzano-Weierstraß:

Folgerung 21.6 Jede beschränkte Folge in einem endlich-dimensionalen normierten Vektorraum V besitzt eine konvergente Teilfolge. □

Satz 21.7 Es sei (V^{n}, ∥ ∥) ein n-dimensionaler normierter Vektorraum. Dann gilt: Die Vollkugel B^{n} := {x ∈ V^{n} : ∥x − a∥ ≤ r} ⊂ V^{n} um a ∈ V^{n} mit Radius r und die Sphäre S^{n−1} := {x ∈ V^{n} : ∥x − a∥ = r} ⊂ V^{n} sind kompakt.

98 Beweis. Die Norm ist nach Satz 17.8 Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante 1, also sind B^{n} und S^{n−1} abgeschlossen nach Satz 19.2, außerdem beschränkt (klar) und damit kompakt nach Satz 21.4. □

1Für komplexe Vektorräume identifiziere ℂ^{n} mit ℝ^{2n}.

Preliminary version – 31. März 2012

Die Umkehrung von Satz 21.2.ii) gilt nicht in beliebigen metrischen Räumen. Es läßt sich z.B. zeigen, daß die Einheitsvollkugel in einem normierten Vektorraum V genau dann kompakt ist, wenn V endlich-dimensional ist.

Nach diesen Vorbereitungen können wir eine wichtige Eigenschaft stetiger Abbildungen beweisen:

Theorem 21.8 Sei f : X → Y eine stetige Abbildung zwischen metrischen Räumen X, Y. Ist A ⊂ X kompakt, dann ist auch f(A) ⊂ Y kompakt.

Beweis. Sei (U_{i})_{i∈ℕ} eine offene Überdeckung von f(A). Aus der Stetigkeit von f folgt, daß V_{i} := f^{−1}(U_{i}) offen ist. Dann ist A ⊂ ⋃_{i∈I} V_{i}, aber tatsächlich genügen endlich viele V_{i} zur Überdeckung: A ⊂ V_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ V_{i_{n}}, also f(A) ⊂ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{n}}. □

Beispiel 21.9 Die Abbildung [0, 2π[ ∋ t ↦ e^{it} ∈ S^{1} kann kein Hömöomorphismus sein, da ansonsten f^{−1}(S^{1}) nach Theorem 21.8 kompakt wäre. ◁

Aus Theorem 21.8 ergibt sich der Extremwertsatz, den wir an vielen Stellen brauchen werden:

Satz 21.10 (Extremwertsatz) Sei A ⊂ X eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und f : X → ℝ eine stetige Funktion. Dann ist die Einschränkung f|_{A} auf A beschränkt (d.h. |f(y)| < ∞ für alle y ∈ A) und nimmt ihr Supremum und Infimum auf A an, d.h. es gibt p, q ∈ A mit

f(p) = sup{f(y) : y ∈ A}  und  f(q) = inf{f(y) : y ∈ A} .

Anders gesagt: Das Supremum ist sogar das globale Maximum, das Infimum sogar das globale Minimum der stetigen Funktion f auf A.

Beweis. Nach Satz 21.8 ist f(A) ⊂ ℝ kompakt und nach Satz 21.2 beschränkt (und abgeschlossen), besitzt also ein Supremum M und Infimum m. Nach Definition von Supremum und Infimum gibt es gegen m bzw. M konvergente Folge von Punkten aus f(A). Wegen der Abgeschlossenheit von f(A) liegen die Grenzwerte in f(A) selbst, d.h. m, M ∈ f(A). □

Der Extremwertsatz ist ein mächtiges Hilfsmittel in Beweisen. Wir können hier einen Beweis angeben für den

Theorem 21.11 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom vom Grad ≥ 1 mit komplexen Koeffizienten besitzt in ℂ mindestens eine Nullstelle.

Beweis. Es genügt, das Polynom P (z) = z^{n}+a_{n−1}z^{n−1}+… a_{1}z+a_{0} zu betrachten. i) Wir zeigen: |P | nimmt auf ℂ ein Minimum an. Für |z| ≥ 1 gilt:

P (z) = z^{n}(1 + r(z)) ,  r(z) := \frac{a_{n−1}}{z} + ⋯ + \frac{a_{0}}{z^{n}} ,
|r(z)| ≤ \frac{A}{|z|} mit A := |a_{n−1}| + ⋯ + |a_{0}| .

Damit gilt |r(z)| ≤ \frac{1}{2} für |z| ≥ R := max(1, 2A) und weiter |P (z)| ≥ \frac{|z|}{2} ≥ A für alle z ∈ ℂ mit |z| ≥ R. Auf der kompakten Kreisscheibe \overline{K_{0}(R)} um 0 mit Radius R nimmt die stetige Funktion |P (z)| ein Minimum an, wegen |P (0)| = |a_{0}| ≤ A ist dieses dann das Minimum in ganz ℂ.

ii) Wir zeigen: Ist P (z_{0}) ≠ 0, dann hat |P (z)| in z_{0} kein Minimum. (Also wird das Minimum |P (z_{0})| = 0 in einem Punkt z_{0} ∈ \overline{K_{0}(R)} angenommen.) Dazu betrachten wir das Polynom Q(w) := \frac{P (w+z_{0})}{P (z_{0})}. Wegen Q(0) = 1 gilt Q(w) = 1 + b_{1}w^{1} + ⋯ + b_{n}w^{n}. Da P nicht konstant ist, verschwinden nicht alle b_{i}. Sei 1 ≤ k ≤ n der kleinste Index mit b_{k} ≠ 0. Durch Skalieren^{2} w ↦ βw mit β^{k} = −\frac{1}{b_{k}} erreicht man Q(βw) = 1 − w^{k} + w^{k+1}Q′(w) für ein neues Polynom Q′(w). Dieses ist auf \overline{K_{0}(R)} beschränkt: |Q′(w)| ≤ c mit c > 0. Somit gilt |w^{k+1}Q′(w)| < |w|^{k} für alle w ∈ ℂ mit 0 < |w| < min(1, \frac{1}{c}, R). Wählt man w_{0} ∈ ℝ mit 0 < w_{0} < min(1, \frac{1}{c}, R), so ergibt sich

|Q(βw_{0})| ≤ 1 − w_{0}^{k} + |w_{0}^{k+1}Q′(w_{0})| < 1 ,

also |P (z + βw_{0})| < |P (z_{0})|. □

Beispiel 21.12 Für reelle Zahlen a, b, c ∈ ℝ mit a, b, ab − c^{2} > 0 sei

E := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : ax^{2} + by^{2} + 2cxy = 1} (Ellipse) .

Wir zeigen: E ist beschränkt und abgeschlossen, damit kompakt. Denn a(x + \frac{cy}{a})^{2} + \frac{ba−c^{2}}{a} y^{2} = 1 und b(y + \frac{cy}{b})^{2} + \frac{ba−c^{2}}{b} x^{2} = 1, somit sind |y| < \sqrt{\frac{a}{ba−c^{2}}} und

|x| < \sqrt{\frac{b}{ba−c^{2}}} beschränkt. Weiter ist E = f^{−1}(1) abgeschlossen als Urbild der abgeschlossen Menge {1} unter der stetigen Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ mit f(x, y) = ax^{2} + by^{2} + 2cxy.

Folglich besitzt jede stetige Funktion f : E → ℝ auf E ein lokales Minimum und ein lokales Maximum. Ein Beispiel ist die Abstandsfunktion d_{(u,v)}(x, y) = \sqrt{(x − u)^{2} + (y − v)^{2}} eines festen Punkt (u, v) ∈ ℝ^{2} zu (x, y) ∈ E. Somit gilt: Es gibt einen Punkt (x_{0}, y_{0}) ∈ E, in dem der Abstand d(E, (u, v)) := inf_{(x,y)∈E} \sqrt{(x − u)^{2} + (y − v)^{2}} von (u, v) zu E minimal wird, d(E, (u, v)) = d_{(u,v)}(x_{0}, y_{0}). ◁

100 Definition 21.13 Seien (X, d_{X}) und (Y, d_{Y}) metrische Räume. Eine Abbildung f : X → Y heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 existiert, so daß

2Eine komplexe Zahl b ≠ 0 schreibt sich als b = |b|(cos α + i sin α), dann gilt β^{k} = b für β := \sqrt[k]{|b|}(cos \frac{α}{k} + i sin \frac{α}{k}).

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d_{Y} (f(x_{1}), f(x_{2})) < ϵ für alle x_{1}, x_{2} ∈ X mit d_{X}(x_{1}, x_{2}) < δ .

Der Unterschied zur bisher betrachteten Stetigkeit (Definition 17.2) ist, daß δ nur von ϵ, nicht aber von einem Punkt aus X abhängt. In den Beispielen 17.4 und 17.5 hatten wir jeweils eine z_{0}-Abhängigkeit von δ erhalten. Die Beispiele 17.9 und 17.6 sind gleichmäßig stetig.

Satz 21.14 Seien X, Y metrische Räume und sei X kompakt. Dann ist jede stetige Abbildung f : X → Y auch gleichmäßig stetig.

Beweis. Sei ϵ > 0 global vorgegeben. Wegen der Stetigkeit von f gibt es zu jedem Punkt a ∈ X ein δ(a) > 0, so daß d_{Y} (f(x), f(a)) < \frac{ϵ}{2} für alle x ∈ K_{2δ(a)}(a). Zunächst ist X = ⋃_{a∈X} K_{δ(a)}(a). Da X aber kompakt ist, gibt es endlich viele Punkte a_{1}, …, a_{k} mit X = K_{δ(a_{1})}(a_{1}) ∪ ⋯ ∪ K_{δ(a_{k})}(a_{k}). Wir setzen δ := min(δ(a_{1}), …, δ(a_{k})).

Seien nun zwei Punkte x_{1}, x_{2} ∈ X mit d_{X}(x_{1}, x_{2}) < δ gegeben. Der Punkt x_{1} liege in der j-ten Umgebung, d.h. x_{1} ∈ K_{δ(a_{j})}(a_{j}). Dann ist d_{X}(x_{1}, a_{j}) < δ(a_{j}) und d_{X}(x_{2}, a_{j}) ≤ d_{X}(x_{2}, x_{1}) + d_{X}(x_{1}, a_{j}) < δ(a_{j}) + δ < 2δ(a_{j}). Aus der Stetigkeit im Punkt a_{j} folgt:

d_{Y} (f(x_{1}), f(x_{2})) ≤ d_{Y} (f(x_{1}), f(a_{j})) + d_{Y} (f(x_{2}), f(a_{j})) < ϵ

für alle x_{1}, x_{2} mit d_{X}(x_{1}, x_{2}) < δ. □

Beispiel 21.15 Die Funktion f(x) = \frac{1}{x} ist stetig in jedem Punkt x ∈ ]0, 1], aber nicht gleichmäßig stetig: Zu ϵ = 1 und δ_{n} = \frac{1}{n+1} gilt für x_{n} = \frac{δ}{2} und x′_{n} = δ einerseits |x − x′| < \frac{1}{n+1} und andererseits |f(x_{n}) − f(x′_{n})| = n + 1 ≥ 1. ◁

Wiederholung

• Metrik, metrische Räume, offene und abgeschlossene Teilmengen, Umgebungen

• Konvergenz von Folgen, Cauchy-Folgen, Vollständigkeit

• Definition 17.1 stetiger Abbildungen, äquivalente Charakterisierungen: ϵ-δ und Folgenkriterium.

• Eigenschaften stetiger Abbildungen:

– Bild zusammenhängender Mengen ist zusammenhängend: Zwischenwertsatz

– Urbild offener Mengen ist offen (äquivalent zur Stetigkeit)

– Urbild abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen (äquivalent zur Stetigkeit)

– Bild kompakter Mengen ist kompakt

– stetige Abbildungen auf kompakten Mengen sind gleichmäßig stetig

• Grenzwerte von Funktionen

• Expontentialfunktion, Logarithmus, komplexe Potenzen, trigonometrische Funktionen, hyperbolische Funktionen

Teil V

Differentialrechnung

22 Die Ableitung

Wir behandeln hier die Differentiation von Funktionen, die auf Intervallen I ⊂ ℝ definiert sind. Die Funktionen dürfen aber komplexwertig sein, z.B. f(x) = x^{s} für s ∈ ℂ und f(x) = e^{ix}, jeweils mit x ∈ I ⊂ ℝ.

Definition 22.1 Eine Funktion f : I → ℂ heißt differenzierbar im Punkt x_{0} ∈ I,

wenn der Grenzwert f′(x_{0}) = lim_{{x→x_{0} \atop x≠x_{0}}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} existiert, d.h. wenn die Funkti-

on ϕ(x) = \{ \begin{matrix}\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} & für x ≠ x_{0} \\ f′(x_{0}) & für x = x_{0} \end{matrix} in einer Umgebung von x_{0} stetig ist. Dieser

Grenzwert f′(x_{0}) heißt Ableitung oder Differentialquotient von f in x_{0}, manchmal auch bezeichnet mit (Df)(x_{0}) oder \frac{df}{dx}(x_{0}). Die Funktion f heißt differenzierbar in I, wenn sie in jedem Punkt x_{0} ∈ I differenzierar ist.

Äquivalent dazu ist f′(x_{0}) = lim_{{h→0 \atop h≠0}} \frac{1}{h}(f(x_{0} + h) − f(x_{0})). Dabei ist h so zu wählen,

daß x_{0} + h ∈ I gilt. Zur Vereinfachung der Schreibweise werde vereinbart, daß lim_{h→0} und lim_{x→x_{0}} stets h ≠ 0 und x ≠ x_{0} bedeuten. Für reellwertige Funktionen ist \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} die Steigung der Sekante des Graphen von f durch die beiden Punkte (x, f(x)) und (x_{0}, f(x_{0})). Im Grenzübergang x → x_{0} geht die Sekante in die Tangente an den Graphen im Punkt x_{0} über.

Beispiel 22.2 Es sei a < 0 und b > 0. Die Funktion f(x) = |x| ist nicht diffe-

renzierbar in x_{0} = 0 ∈ [a, b]. Denn \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} = \frac{|x|}{x} = \{ \begin{matrix}1 für & x > 0 \\ −1 für & x < 0 \end{matrix}

Zu jedem c ∈ ℂ und ϵ = \frac{1}{2} gibt es für alle δ > 0 ein x ∈ [a, b] mit |x − 0| < δ und |\frac{|x|}{x} − c| ≥ \frac{1}{2}. Dagegen wäre f(x) = |x| differenzierbar in [a, 0] und in [0, b] mit Ableitung f′(x) = −1 bzw. f′(x) = 1. ◁

Satz 22.3 i) f(x) = x^{n} für x ∈ ℝ und n ∈ ℕ ⇒ f′(x) = nx^{n−1} (und f′(x) = 0 für n = 0)

ii) f(x) = e^{cx} für x ∈ ℝ und c ∈ ℂ ⇒ f′(x) = ce^{cx}
(insbesondere f(x) = a^{x} ⇒ f′(x) = a^{x} ln a)
iii) f(x) = ln x für x ∈ ℝ_{+}^{×} ⇒ f′(x) = \frac{1}{x}

Beweis. i) \frac{ξ^{n}−x^{n}}{ξ−x} = ∑_{k=0}^{n−1} x^{k}ξ^{n−1−k}. Die rechte Seite konvergiert für ξ → x gegen nx^{n−1}.

ii) \frac{e^{c(x+h)}−e^{cx}}{h} = e^{cx} \frac{e^{ch}−1}{h}. Nach Beispiel 18.3 ist lim_{h→0} \frac{e^{ch}−1}{h} = c.

iii) \frac{ln(x+h)−ln x}{h} = \frac{1}{x} \frac{ln(1+ \frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}. Nach Satz 20.1 ist lim_{y→0} \frac{ln(1+y)}{y} = 1. □

Satz 22.4 (Lineare Approximierbarkeit) Eine Funktion f : I → ℂ ist genau dann differenzierbar in x_{0} ∈ I, wenn es eine Konstante c ∈ ℂ gibt, so daß für die Funktion ψ : I → ℂ mit f(x) = f(x_{0})+c(x−x_{0})+ψ(x) gilt lim_{x→x_{0}} \frac{ψ(x)}{x−x_{0}} = 0. In diesem Fall ist f′(x_{0}) = c.

Beweis. (⇒) Sei f differenzierbar in x_{0} mit f′(x_{0}) = c. Für x ≠ x_{0} gilt \frac{ψ(x)}{x−x_{0}} = \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − f′(x_{0}). Der Grenzwert der rechten Seite für x → x_{0} ist 0.

(⇐) Es gelte f(x) = f(x_{0}) + c(x − x_{0}) + ψ(x) mit lim_{x→x_{0}} \frac{ψ(x)}{x−x_{0}} = 0. Dann ist 0 = lim_{x→x_{0}} (\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − c), d.h. der Grenzwert c = lim_{x→x_{0}} \frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} existiert. □

Für reellwertige Funktionen f : I → ℝ ist der Graph der Funktion g(x) = f(x_{0}) + f′(x_{0})(x − x_{0}) die Tangente an den Graphen von f im Punkt x_{0}.

Satz 22.5 Ist f : I → ℂ differenzierbar in x_{0} ∈ I, dann ist f in x_{0} auch stetig.

Beweis. Nach Satz 22.4 gilt insbesondere lim_{x→x_{0}} ψ(x) = 0, also lim_{x→x_{0}} f(x) = lim_{x→x_{0}} (f(x_{0}) + c(x − x_{0}) + ψ(x)) = f(x_{0}). □

Satz 22.6 Die Funktionen f, g : I → ℂ seien in x ∈ I differenzierbar. Dann sind auch f + g, f · g und für g(x) ≠ 0 auch \frac{f}{g} differenzierbar in x, und es gilt

(f + g)′(x) = f′(x) + g′(x)
(f · g)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)  (Produktregel bzw. Leibniz-Regel)
(\frac{f}{g})′(x) = \frac{f′(x)g(x) − f(x)g′(x)}{(g(x))^{2}}  (Quotientenregel)

Beweis. Man schreibt die Differenzenquotienten wie folgt:

\frac{(f + g)(x+h) − (f + g)(x)}{h} = \frac{f(x+h) − f(x)}{h} + \frac{g(x+h) − g(x)}{h} ,

\frac{(f · g)(x + h) − (f · g)(x)}{h} = \frac{f(x+h) − f(x)}{h}g(x+h) + f(x)\frac{g(x+h) − g(x)}{h} ,

\frac{(\frac{f}{g})(x+h) − (\frac{f}{g})(x)}{h} = \frac{1}{g(x)g(x+h)}(\frac{f(x+h) − f(x)}{h}g(x) − f(x)\frac{g(x+h) − g(x)}{h}).

Da g nach Satz 22.5 in x stetig ist, ist in der letzten Gleichung nach Satz 17.12.ii) g(x + h) ≠ 0 für δ > h > 0. Nach Satz 18.4 haben die Grenzwerte für h → 0 die behaupteten Eigenschaften. □

Beispiel 22.7 i) Polynome f(x) = ∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k} sind differenzierbar in jedem

Punkt x ∈ ℝ, und es gilt f′(x) = ∑_{k=1}^{n} ka_{k}x^{k−1}.

ii) Rationale Funktionen f(x) = \frac{∑_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}}{∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l}} sind differenzierbar außerhalb der Nullstellen des Nennerpolynoms, und es gilt f′(x) = \frac{∑_{k=0}^{n} ∑_{l=0}^{m}(k−l)a_{k}b_{l}x^{k+l−1}}{( ∑_{l=0}^{m} b_{l}x^{l})^{2}} . Insbesondere gilt für die in der Partialbruchzerle-

gung (Satz 14.10) entstehenden elementaren Funktionen g(x) = \frac{1}{(x−a)^{k}}, daß g′(x) = \frac{−k}{(x−a)^{k+1}} .

iii) cos, sin sind als Summen von Exponentialfunktionen differenzierbar in jedem Punkt x ∈ ℝ, und es gilt cos′(x) = − sin(x) und sin′(x) = cos(x). (Verwende \frac{1}{2}(e^{ix} + e^{−ix})′ = \frac{1}{2}(ie^{ix} − ie^{−ix}) und analog für sin).

iv) tan und cot sind als Quotienten der differenzierbaren Funktionen sin und cos differenzierbar in jedem Punkt des Definitionsbereiches, und es gilt tan′(x) = \frac{sin′(x) cos(x)−sin(x) cos′(x)}{cos^{2}(x)} = \frac{1}{cos^{2}(x)} und cot′(x) =

\frac{cos′(x) sin(x)−cos(x) sin′(x)}{sin^{2}(x)} = −\frac{1}{sin^{2}(x)}. ◁

Satz 22.8 (Kettenregel) Die Funktion f : I → J ⊂ ℝ sei differenzierbar in x_{0} ∈ I, und die Funktion g : J → ℂ sei differenzierbar in f(x_{0}) ∈ J. Dann ist auch die zusammengesetzte Funktion g ∘ f : I → ℂ differenzierbar in x_{0}, und es gilt (g ∘ f)′(x_{0}) = g′(f(x_{0})) · f′(x_{0}).

Beweis. Sei y_{0} := f(x_{0}) und γ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{g(y)−g(y_{0})}{y−y_{0}} für & y ≠ y_{0} \\ g′(y_{0}) für & y = y_{0} \end{matrix} . Nach Vorausset-

zung ist γ : J → ℂ stetig in y_{0}, und es gilt g(y) − g(y_{0}) = (y − y_{0})γ(y) für alle y ∈ J. Dann erhalten wir

(g ∘ f)′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{g(f(x)) − g(f(x_{0}))}{x − x_{0}} = lim_{x→x_{0}} \frac{γ(f(x)) · (f(x) − f(x_{0}))}{x − x_{0}}

= lim_{x→x_{0}} γ(f(x)) · lim_{x→x_{0}} \frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}}

= γ(f(x_{0})) · f′(x_{0}) = g′(f(x_{0}) · f′(x_{0}) .  □

Beispiel 22.9 i) Für f(x) = x^{z} mit z ∈ ℂ und x ∈ ℝ_{+}^{×} gilt f′(x) = zx^{z−1}: Setze g(y) = e^{zy} und g̃(x) = ln x, dann ist f(x) = (g ∘ g̃)(x) = e^{z ln x} und

f′(x) = ze^{z ln x} · \frac{1}{x}.

ii) Für f(x) = \sqrt{1 + x} mit x > −1 gilt f′(x) = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}: Setze g(y) = y^{\frac{1}{2}} mit g′(y) = \frac{1}{2}y^{\frac{1}{2} −1} und g̃(x) = 1 + x. ◁

Satz 22.10 (Differentiation der Umkehrfunktion) Es sei g = f^{−1} die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion f : I → ℝ. Ist f differenzierbar in y_{0} ∈ I mit f′(y_{0}) ≠ 0, dann ist g differenzierbar in x_{0} := f(y_{0}), und es gilt

g′(x_{0}) = \frac{1}{f′(y_{0})} = \frac{1}{f′(g(x_{0}))}.

Beweis. Wie im Beweis von Satz 22.8 ist ϕ(y) := \{ \begin{matrix}\frac{f(y)−f(y_{0})}{y−y_{0}} für & y ≠ y_{0} \\ f′(y_{0}) für & y = y_{0} \end{matrix} eine in

y_{0} stetige Funktion ϕ : I → ℝ mit f(y) − f(y_{0}) = (y − y_{0})ϕ(y) für alle y ∈ I und f′(y_{0}) = ϕ(y_{0}). Wegen der strengen Monotonie von f und ϕ(y_{0}) ≠ 0 ist ϕ(y) ≠ 0 für alle y ∈ I. Dann folgt mit y := g(x) und x = f(y)

\frac{y − y_{0}}{f(y) − f(y_{0})} = \frac{g(x) − g(x_{0})}{x − x_{0}} = \frac{1}{ϕ(g(x))} .

Für x → x_{0} folgt aus der Stetigkeit von g in x_{0} und der Stetigkeit von ϕ in y_{0} = g(x_{0}) die Behauptung. □

Beispiel 22.11 i) arctan′(x) = \frac{1}{1+x^{2}} . Sei y := arctan x, so gilt arctan′(x) = \frac{1}{tan′(y)} = cos^{2} y = \frac{cos^{2} y}{cos^{2} y+sin^{2} y} = \frac{1}{1+tan^{2} y} = \frac{1}{1+x^{2}} .

ii) arcsin′(x) = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} für x ∈ ] − 1, 1[. Mit y = arcsin x und y ∈ ] − \frac{π}{2}, \frac{π}{2}[ gilt arcsin′(x) = \frac{1}{sin′(y)} = \frac{1}{cos y} = \frac{1}{\sqrt{1−sin^{2} y}} = \frac{1}{\sqrt{1−x^{2}}} . ◁

Satz 22.12 Es seien f_{n} : I → ℂ differenzierbare und Lipschitz-stetige Funktionen mit 0 ≤ \frac{|f_{n}(x)−f_{n}(y)|}{|x−y|} ≤ L_{n} < ∞ für alle n ∈ ℕ und alle x, y ∈ I. Wenn

i) ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(x) konvergent ist in jedem Punkt x ∈ I und

ii) ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0}) und ∑_{n=0}^{∞} L_{n} konvergent sind,

dann ist die Funktion f = ∑_{n=0}^{∞} f_{n} in x_{0} differenzierbar, und es gilt f′(x) = ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x).

Insbesondere ist jede Potenzreihe f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} mit Konvergenzradius R > 0 in jedem Punkt x ∈ ] − R, R[ differenzierbar, und es gilt f′(x) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1}.

Beweis. Zu ϵ > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so daß gleichzeitig gilt ∑_{n=N+1}^{∞} L_{n} < \frac{ϵ}{3} und | ∑_{n=N+1}^{∞} f′(x_{0})| < \frac{ϵ}{3}. Dann gilt für beliebige x ∈ I \ \{x_{0}\}

|\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} − ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0})| = | ∑_{n=0}^{∞} (\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0}))|

≤ ∑_{n=0}^{N} |\frac{f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})}{x − x_{0}} − f′_{n}(x_{0})| + ∑_{n=N+1}^{∞} L_{n} + | ∑_{n=N+1}^{∞} f′(x_{0})| .

Wegen der Differenzierbarkeit der f_{n} mit 0 ≤ n ≤ N gibt es ein gemeinsames δ > 0, so daß ∑_{n=0}^{N} |\frac{f_{n}(x)−f_{n}(x_{0})}{x−x_{0}} −f′_{n}(x_{0})| < \frac{ϵ}{3} für alle x ∈ I \\{x_{0}\} mit |x−x_{0}| < δ.

Somit ist |\frac{f(x)−f(x_{0})}{x−x_{0}} − ∑_{n=0}^{∞} f′_{n}(x_{0})| < ϵ für alle x ∈ I mit |x − x_{0}| < δ.

Für Potenzreihen ist f_{n} = a_{n}x^{n}, und für x, y ∈ ] − r, r[ mit 0 < r < R gilt |\frac{a_{n}x^{n}−a_{n}y^{n}}{x−y} | = | ∑_{k=0}^{n−1} a_{n}x^{k}y^{n−1−k}| ≤ n|a_{n}|r^{n−1} =: L_{n}. Nach dem Wurzelkriterium und lim_{n→∞} \sqrt[n]{n} = 1 besitzt die Reihe ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x^{n−1} den gleichen Konvergenzradius R, so daß die Reihen ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x_{0}) = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}x_{0}^{n−1} mit |x_{0}| < r und ∑_{n=1}^{∞} L_{n} = ∑_{n=1}^{∞} na_{n}r^{n−1} konvergieren. Dann folgt die Behauptung aus dem allgemeinen Teil mit I = ] − r, r[, denn jeder Punkt −R < x_{0} < R liegt in I für r = \frac{|x_{0}|+R}{2} < R. □

Beispiel 22.13 Die Funktionen f(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{s}} und g(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{n^{s}} sind für alle s > 2 differenzierbar in ℝ mit f′(x) = − ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{n^{s−1}} und g′(x) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos(nx)}{n^{s−1}}.

Zum Beweis der Lipschitz-Bedingung verwende man |\frac{cos(nx)−cos(ny)}{x−y} | = \frac{2}{|x−y|}| sin \frac{n(x+y)}{2}|| sin \frac{n(x−y)}{2}| ≤ n sup_{r∈ℝ_{+}^{×}} |\frac{sin r}{r} | ≤ n sup_{r∈]0, \frac{π}{2} ]} |\frac{sin r}{r} | = n. Der letzte

Schritt folgt aus lim_{r→0} \frac{sin r}{r} = 1 und 1 > \frac{sin r}{r} > 1 − \frac{r^{2}}{6} für r ∈ ]0, \frac{π}{2}] nach dem Leibniz-Kriterium. Analog für g. ◁

23 Lokale Extrema, Mittelwertsatz

Extrema von Funktionen lassen sich zunächst für beliebige Definitionsbereiche definieren; für Intervalle liefert dann die Differenzierbarkeit ein wichtiges Kriterium.

Definition 23.1 Sei X metrischer Raum. Eine Funktion f : X → ℝ hat in x_{0} ∈ X

i) ein globales Maximum bzw. globales Minimum, wenn f(x) ≤ f(x_{0}) bzw. f(x) ≥ f(x_{0}) für alle x ∈ X,

ii) ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum, wenn es eine Umgebung U von

x_{0} gibt mit f(x) ≤ f(x_{0}) bzw. f(x) ≥ f(x_{0}) für alle x ∈ U ∩ X. Ein lokales/globales Extremum ist ein lokales/globales Minimum oder Maximum. Gilt in i) und ii) das Gleichheitszeichen nur für den Punkt x = x_{0}, so hat f in x_{0} ein strenges Extremum.

Satz 23.2 Eine Funktion f : ]a, b[ → ℝ besitze in x_{0} ∈ ]a, b[ ein lokales Extremum und sei differenzierbar in x_{0}. Dann gilt f′(x_{0}) = 0.

Beweis. (für lokales Maximum) Es gibt eine Umgebung U von x mit f(x) − f(x_{0}) ≤ 0 für alle x ∈ U, und U enthält Punkte x > x_{0} und Punkte y < x_{0}. Somit gilt

\frac{f(x) − f(x_{0})}{x − x_{0}} ≤ 0 für alle x ∈ U mit x > x_{0}
\frac{f(y) − f(x_{0})}{y − x_{0}} ≥ 0 für alle y ∈ U mit y < x_{0}

107 Da f in x_{0} differenzierbar ist, folgt aus beiden Ungleichungen f′(x_{0}) = 0. □

Preliminary version – 31. März 2012

Bemerkungen:

i) Stetige Funktionen f : [a, b] → ℝ nehmen ihr globales Maximum und Minimum an. Als Kandidaten dieser Extremalpunkte kommen die Randpunkte a, b und, falls f differenzierbar ist, die Lösungen von f′(x) = 0 in Frage. Für ein globales Extremum an Randpunkten a oder b muß f′(a) = 0 bzw. f′(b) = 0 nicht gelten.

ii) f′(x) = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend für das Vorliegen eines lokalen Extremums im Punkt x. Z.B. gilt für f(x) = x^{3} zwar f′(0) = 0, aber f besitzt als streng monoton wachsende Funktion kein lokales Extremum.

Beispiel 23.3 (Fermatsches Prinzip und Brechungsgesetz) Gesucht ist der schnellste Weg zwischen einem Punkt (0, h_{1}) und einem Punkt (a, −h_{2}), wenn der Betrag der Geschwindigkeit v_{1} ist in M_{1} := ℝ × ℝ_{+}^{×} und v_{2} in M_{2} := ℝ × ℝ_{−}^{×}, und die Bewegung in M_{1} und M_{2} geradlinig verläuft.

Die Zeit für einen Weg durch (x, 0) ist t(x) = \frac{1}{v_{1}} \sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}+ \frac{1}{v_{2}} \sqrt{h_{1}^{2} + (a − x)^{2}}. Diese Funktion ist in ]0, a[ differenzierbar. Liegt ein lokales Extremum in x ∈ ]0, a[ vor, so gilt dort

0 = t′(x) = \frac{1}{v_{1}} \frac{x}{\sqrt{h_{1}^{2} + x^{2}}} − \frac{1}{v_{2}} \frac{a − x}{\sqrt{h_{1}^{2} + (a − x)^{2}}} ,

also die geometrische Bedingung \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{sin α_{1}}{sin α_{2}} .

[figure: α_{1}; α_{2}; h_{1}; −h_{2}; x; 0; a] ◁

Satz 23.4 (Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Die Funktion f : [a, b] → ℝ sei stetig auf dem kompakten Intervall [a, b] und differenzierbar auf

dem offenen Intervall ]a, b[. Dann gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit \frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f′(ξ).

Ein wichtiger Spezialfall ist der Satz von Rolle: Gilt zusätzlich f(a) = f(b), so gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit f′(ξ) = 0.

Beweis. i) für den Satz von Rolle. Ist f konstant auf [a, b], so ist f′(ξ) = 0 für alle ξ ∈ ]a, b[. Ansonsten nimmt f als stetige Funktion nach dem Extremwertsatz ein Maximum und ein Minimum an, und zumindest eines ist von f(a) = f(b) verschieden. Damit wird dieses Extremum in einem Punkt ξ ∈ ]a, b[ angenommen, und wegen der Differenzierbarkeit von f in ξ gilt f′(ξ) = 0.

ii) Man betrachte die Funktion F (x) = f(x) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}(x − a). Diese ist wie f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf ]a, b[, außerdem gilt F (a) = F (b) = f(a). Nach dem Satz von Rolle gibt es ξ ∈ ]a, b[ mit 0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b)−f(a)}{b−a}. □

Satz 23.5 (Schrankensatz) Es sei f : [a, b] → ℂ stetig und differenzierbar auf ]a, b[ mit beschränkter Ableitung |f′(x)| ≤ L für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist f Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstanten L, d.h. |f(x)−f(y)| ≤ L|x−y| für alle x, y ∈ [a, b].

Für reellwertige differenzierbare Funktionen f : [a, b] → ℝ gilt unter sonst gleichen Voraussetzungen: Ist m ≤ f′(x) ≤ M für alle x ∈ ]a, b[, so gilt m(x_{2} − x_{1}) ≤ f(x_{2}) − f(x_{1}) ≤ M(x_{2} − x_{1}) für alle x_{1}, x_{2} ∈ [a, b] mit x_{1} ≤ x_{2}.

Beweis. ii) Die Aussage für reelle Funktionen ist eine Umformulierung des Mittelwertsatzes, insbesondere werden für m, M nur innere Punkte ξ ∈ ]a, b[ benötigt.

i) Sei f(x) ≠ f(y), insbesondere x ≠ y, sonst ist nichts zu zeigen. Setze c := \frac{|f(x)−f(y)|}{f(x)−f(y)} ∈ ℂ mit |c| = 1 und ϕ := Re(cf). Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu x, y ∈ [a, b] ein ξ ∈ ]x, y[ mit ϕ(x) − ϕ(y) = (x − y)ϕ′(ξ). Somit gilt

|f(x) − f(y)| = cf(x) − cf(y) = ϕ(x) − ϕ(y) = (x − y)ϕ′(ξ)

≤ |x − y| sup_{ξ∈]x,y[} |ϕ′(x)| ≤ L|x − y|

wegen |Re(cf′)(x)| ≤ |f′(x)| ≤ L. □

Satz 23.6 Sei f : [a, b] → ℂ stetig und differenzierbar in ]a, b[ mit f′(x) = 0 für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist f konstant.

Insbesondere gilt: Zwei differenzierbare Funktionen f, g : [a, b] → ℂ mit f′(x) = g′(x) für alle x ∈ ]a, b[ unterscheiden sich nur um eine Konstante, f − g = const.

Beweis. Nach dem Schrankensatz ist f(x) = f(y) für alle x, y ∈ [a, b]. Der zweite Teil folgt aus dem ersten für die Funktion f − g. □

Als Anwendung geben wir eine weitere Charakterisierung der Exponentialfunktion als eindeutige Lösung einer Differentialgleichung zu gegebener Anfangsbedingung:

Satz 23.7 Es sei f : ℝ → ℂ eine differenzierbare Funktion, und es gelte f′(x) = cf(x) für alle x ∈ ℝ und ein c ∈ ℂ. Ist f(0) =: A ∈ ℂ, so gilt f(x) = A e^{cx}.

Beweis. Für F (x) := f(x)e^{−cx} gilt nach Produktregel F′(x) = f′(x)e^{−cx} − cf(x)e^{−cx} = 0 für alle x ∈ ℝ. Dann ist F nach Satz 23.6 eine konstante Funktion, also F (x) = F (0) = f(0) = A für alle x ∈ ℝ. Also gilt f(x) = A e^{cx} für alle x ∈ ℝ. □

Wir können nun eine Lücke im beweis von Satz 20.2 schließen. Für x ∈ ℝ sei f(x) = B_{sx}(z) für s, z ∈ ℂ mit |z| < 1 und s ≠ 0. Dann gilt nach Multiplikationssatz (15.5)

f′(x) = lim_{h→0} \frac{B_{s(x+h)}(z) − B_{sx}(z)}{h} = sB_{sx}(z) lim_{h→0} \frac{B_{sh)}(z) − 1}{sh}

In Satz 20.2 war gezeigt: lim_{s→0} \frac{B_{s)}(z)−1}{s} = L(z). Insbesondere folgt auch lim_{h→0} \frac{B_{sh)}(z)−1}{sh} = L(z), also f′(x) = sL(z)f(x) und damit B_{sx}(z) = exp(sxL(z)) für alle x ∈ ℝ.

Satz 23.8 Für alle x ∈ ] − 1, 1[ gilt

arcsin x = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} .

Beweis: Die Funktionen f(x) = arcsin x und g(x) = \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} sind auf

] − 1, 1[ differenzierbar, und es gilt

f′(x) = \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} = (1 − x^{2})^{− \frac{1}{2}} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−x^{2})^{k} = g′(x) .

Damit ist f(x) − g(x) = f(0) − g(0) = 0 eine Konstante. □

Satz 23.9 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz) Die Funktionen f, g : [a, b] → ℝ seien stetig auf [a, b] und differenzierbar auf ]a, b[, und es gelte g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ ]a, b[. Dann ist g(a) ≠ g(b), und es gibt ein ξ ∈ ]a, b[

mit \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}.

Beweis. Wäre g(b) = g(a), so gäbe es nach dem Satz von Rolle ein ξ ∈ ]a, b[ mit g′(ξ) = 0, Widerspruch. Wir können deshalb den Satz von Rolle auf die Funktion

F (x) = f(x) − \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}(g(x) − g(a)) anwenden. Es gilt F (a) = F (b) = f(a),

also gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ mit 0 = F′(ξ) = f′(ξ) − \frac{f(b) − f(a)}{g(b) − g(a)}g′(ξ). □

Die folgende Rechenregel erlaubt in vielen Fällen eine einfache Berechnung von Grenzwerten:

Satz 23.10 (Regel von de l’Hospital) Die Funktionen f, g : ]a, b[ → ℝ seien differenzierbar, und es gelte g′(x) ≠ 0 für alle x ∈ ]a, b[. In beiden Fällen

i) lim_{x↘a} f(x) = 0 und lim_{x↘a} g(x) = 0
ii) lim_{x↘a} f(x) = ∞ und lim_{x↘a} g(x) = ∞

gilt: Existiert der Grenzwert lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}, so existiert auch lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)}, und es gilt

lim_{x↘a} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)}. Analog für x ↗ a sowie x → ∞ und x → −∞.

Beweis. i) Definieren wir f(a) := 0 und g(a) := 0, so sind die Funktionen f, g stetig in a. Damit sind zu jedem x ∈ ]a, b[ die Voraussetzungen des verallgemeinerten Mittelwertsatzes für f, g : [a, x] → ℝ erfüllt, und es existiert ein ξ ∈ ]a, x[ mit \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f′(ξ)}{g′(ξ)}. Nach Voraussetzung existiert der Limes x ↘ a und hat die behauptete Eigenschaft.

ii) Nach Existenz des rechtsseitigen Grenzwertes A := lim_{x↘a} \frac{f′(x)}{g′(x)} gibt es

zu ϵ > 0 ein δ > 0, so daß für alle x ∈ ]a, a + δ[ gilt |\frac{f′(x)}{g′(x)} − A| < ϵ. Nach

dem verallgemeinerten Mittelwertsatz gilt dann auch |\frac{f(x)−f(y)}{g(x)−g(y)} − A| < ϵ für alle x, y ∈ ]a, a + δ[ mit x ≠ y. Wir betrachten

\frac{f(x)}{g(x)} − \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} = \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}(\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1) .

Wir halten y fest und lassen x gegen a gehen. Wegen lim_{x↘a} f(x) = ∞ und

lim_{x↘a} g(x) = ∞ gibt es ein δ′ mit 0 < δ′ < y − a < δ, so daß |\frac{1− \frac{g(y)}{g(x)}}{1− \frac{f(y)}{f(x)}} − 1| < \frac{ϵ}{|A|+ϵ}

für alle x ∈ ]a, a + δ′[. Damit ergibt sich

|\frac{f(x)}{g(x)} − A| ≤ |\frac{f(x)}{g(x)} − \frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}| + |\frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)} − A|

< |\frac{f(x) − f(y)}{g(x) − g(y)}||\frac{1 − \frac{g(y)}{g(x)}}{1 − \frac{f(y)}{f(x)}} − 1| + ϵ < 2ϵ

für alle x ∈ ]a, a + δ′[. □

Beispiel 23.11 Für α > 0 untersuchen wir Existenz des Grenzwertes lim_{x↘0} x^{α} ln x.

Die Regel von de l’Hospital ist anwendbar für die Funktionen f(x) = − ln x und g(x) = x^{−α} mit lim_{x↘0} f(x) = ∞ und lim_{x↘0} g(x) = ∞, und es gilt

lim_{x↘0} \frac{f′(x)}{g′(x)} = lim_{x↘0} \frac{−\frac{1}{x}}{−αx^{−α−1}} = lim_{x↘0} \frac{x^{α}}{α} = 0 .

Somit erhalten wir lim_{x↘0}(−x^{α} ln x) = 0 für alle α > 0. ◁

24 Monotonie, höhere Ableitungen, Konvexität

Satz 24.1 (Monotoniekriterium) Es sei f : [a, b] → ℝ stetig und in ]a, b[ differenzierbar. Dann gilt:

f′ > 0 in ]a, b[ ⇒ f wächst in ]a, b[ streng monoton,
f′ < 0 in ]a, b[ ⇒ f fällt in ]a, b[ streng monoton,
f′ ≥ 0 in ]a, b[ ⇔ f wächst in ]a, b[ monoton,
f′ ≤ 0 in ]a, b[ ⇔ f fällt in ]a, b[ monoton.

Beweis. (⇒) folgt jeweils aus dem Mittelwertsatz bzw. Schrankensatz. (⇐) folgt aus Definition des Grenzwertes. □

Das Beispiel der streng monoton wachsenden Funktion f(x) = x^{3} mit f′(0) = 0 zeigt, daß in den ersten beiden Implikationen in Satz 24.1 die Umkehrungen (⇐) nicht gelten.

Die Ableitung f′ : I → ℂ einer auf I ⊂ ℝ differenzierbaren Funktion f : I → ℂ kann erneut auf Differenzierbarkeit in x_{0} ∈ I untersucht werden, und gegebenenfalls heißt die Ableitung von f′ in x_{0} die zweite Ableitung von f in x_{0}. Man schreibt f′′(x_{0}) = (f′)′(x_{0}) oder auch (DDf)(x_{0}) oder \frac{d^{2}f}{dx} (x_{0}). Die n-te Ableitung f^{(n)} von f wird dann rekursiv definiert als f^{(n)}(x_{0}) := (f^{(n−1)})′(x_{0}), falls f^{(n−1)} in x_{0} differenzierbar ist. Dabei ist f^{(0)}(x_{0}) := f(x_{0}) und f^{(1)}(x_{0}) := f′(x_{0}). Ist die n-te Ableitung f^{(n)} stetig, so heißt f n-mal stetig differenzierbar.

Existiert f^{(n)} für alle n ∈ ℕ, so heißt f beliebig oft differenzierbar (Stetigkeit ist automatisch). Nach Satz 22.12 ist jede Potenzreihe f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} beliebig oft differenzierbar im Inneren ihres Konvergenzkreises, und dort gilt f^{(k)}(x) =

∑_{n=k}^{∞} \frac{n!}{(n − k)!}a_{n}x^{n−k}. Die Menge der beliebig oft differenzierbare Funktionen ist

“größer” als die Menge der durch Potenzreihen darstellbaren Funktionen. Eine nützliche beliebig oft auf ℝ differenzierbare Funktion ist die Einschaltfunktion

f(x) := \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} für & x > 0 \\ 0 für & x ≤ 0 \end{matrix}

Satz 24.2 Eine in ]a, b[ differenzierbare Funktion f : ]a, b[ → ℝ sei in x_{0} ∈ ]a, b[ zweimal differenzierbar, und es gelte f′(x_{0}) = 0 sowie f′′(x_{0}) ≠ 0. Dann besitzt f in x_{0} ein strenges lokales Extremum, und zwar ein strenges lokales Minimum für f′′(x_{0}) > 0 bzw. ein strenges lokales Maximum für f′′(x_{0}) < 0.

Beweis. (für f′′(x_{0}) > 0). Wegen f′′(x_{0}) = lim_{x→x_{0}} \frac{f′(x) − f′(x_{0})}{x − x_{0}} > 0 gibt es ein

ϵ > 0, so daß unter Verwendung von f′(x_{0}) = 0 gilt \frac{f′(x)}{x − x_{0}} > 0 für alle x ∈ ]a, b[ mit 0 < |x − x_{0}| < ϵ. Nach Satz 24.1 ist f′ in ]x_{0} − ϵ, x_{0}[ streng monoton fallend und in ]x_{0}, x_{0} + ϵ[ streng monoton wachsend, besitzt also in x_{0} ein strenges lokales Minimum. □

Definition 24.3 Eine Funktion f : I → ℝ heißt konvex auf dem Intervall I ⊂ ℝ, wenn für alle x_{1} < x_{2} ∈ I und alle λ ∈ ]0, 1[ gilt

f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}) .

Gilt sogar die Relation ‘<’, so heißt f streng konvex. Eine Funktion f : I → ℝ heißt (streng) konkav, wenn −f (streng) konvex ist.

Setzen wir x = λx_{1} + (1 − λ)x_{2}, dann ist x_{1} < x < x_{2} und λ = \frac{x−x_{2}}{x_{1}−x_{2}} . Somit ist x ↦ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}) = f(x_{2}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{2}) die Sekante durch (x_{1}, f(x_{1})) und (x_{2}, f(x_{2})). Folglich bedeutet Konvexität, daß (x, f(x)) unterhalb der Sekante durch (x_{1}, f(x_{1})) und (x_{2}, f(x_{2})) liegt, und zwar für beliebige x_{1}, x_{2} ∈ I mit x_{1} < x < x_{2}.

[figure: f(x_{1}); f(x_{2}); x_{1}; x; x_{2}; 0]

Die Definition von Konvexität erfordert keine Differenzierbarkeit: Z.B: ist f(x) = |x| in jedem Punkt x ∈ ℝ konvex. Für differenzierbare Funktionen haben wir

Satz 24.4 (Konvexitätskriterium) Eine in [a, b] stetige und in ]a, b[ differenzierbare Funktion f ist genau dann konvex in [a, b], wenn f′ in ]a, b[ monoton wächst.

Beweis. (⇒) Sei f konvex und x_{1} < x_{2} Punkte aus ]a, b[. Dann gilt f(x) ≤ f(x_{2}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{2}) = f(x_{1}) + \frac{f(x_{1})−f(x_{2})}{x_{1}−x_{2}}(x − x_{1}) für alle x ∈ ]x_{1}, x_{2}[, also

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} .

Für x ↘ x_{1} einerseits und x ↗ x_{2} andererseits folgt aus der Differenzierbarkeit

in x_{1}, x_{2} die Relation f′(x_{1}) ≤ \frac{f(x_{2}) − f(x_{1})}{x_{2} − x_{1}} ≤ f′(x_{2}). Da x_{1} < x_{2} beliebig sind,

wächst f′ monoton.

113

Preliminary version – 31. März 2012

(⇐) Sei f′ monoton wachsend und x_{1} < x < x_{2} Punkte aus [a, b]. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte ξ_{1} ∈ ]x_{1}, x[ und ξ_{2} ∈ ]x, x_{2}[ mit

\frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} = f′(ξ_{1}) und \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} = f′(ξ_{2}) .

Es ist ξ_{1} < ξ_{2} und damit f′(ξ_{1}) ≤ f′(ξ_{2}), also \frac{f(x)−f(x_{1})}{x−x_{1}} ≤ \frac{f(x_{2})−f(x)}{x_{2}−x} für alle x ∈ ]x_{1}, x_{2}[. Dann ist x−x_{1} = (1−λ)(x_{2}−x_{1}) und x_{2}−x = λ(x_{2}−x_{1}) für λ ∈ ]0, 1[, also λ(f(x) − f(x_{1})) ≤ (1 − λ)(f(x_{2}) − f(x)) und dann f(λx_{1} + (1 − λ)x_{2}) ≤ λf(x_{1}) + (1 − λ)f(x_{2}). □

Satz 24.5 Es sei f : [a, b] → ℝ stetig und zweimal differenzierbar in ]a, b[. Dann gilt:

i) f′′ ≥ 0 in ]a, b[ ⇔ f ist konvex in [a, b].
ii) f′′ > 0 in ]a, b[ ⇒ f ist streng konvex in [a, b].

Beweis. i) ist Satz 24.1 für f′ zusammen mit Satz 24.4.

ii) f ist zumindest konvex. Wäre f nicht streng konvex, so gibt es x_{1} < x < x_{2} ∈ [a, b] mit \frac{f(x)−f(x_{1})}{x−x_{1}} = \frac{f(x_{2})−f(x_{1})}{x_{2}−x_{1}} = \frac{f(x_{2})−f(x)}{x_{2}−x}. Nach dem Mittelwertsatz gibt es dann Punkte ξ_{1} ∈ ]x_{1}, x[ und ξ_{2} ∈ ]x, x_{2}[ mit

f′(ξ_{1}) = \frac{f(x) − f(x_{1})}{x − x_{1}} = \frac{f(x_{2}) − f(x)}{x_{2} − x} = f′(ξ_{2}) ,

im Widerspruch zur strengen Monotonie von f′ nach Satz 24.1 für f′. □

Beispiel 24.6 Die Funktionen f(x) = x^{2n} mit n ∈ ℕ^{×} sind streng konvex auf ℝ wegen f′′(x) = 2n(2n − 1)x^{2n−2} > 0. Ebenso ist f(x) = e^{x} streng konvex auf ℝ wegen f′′(x) = e^{x} > 0. Schließlich ist f(x) = ln x streng konkav auf ℝ_{+}^{×}, da (− ln x)′′ = \frac{1}{x^{2}} > 0. ◁

Satz 24.7 (Höldersche Ungleichung) Es sei V = 𝕂^{n} für 𝕂 = ℝ oder 𝕂 = ℂ. Für p ∈ ]1, ∞[ werde eine Abbildung ∥ ∥_{p} : V → ℝ definiert durch

∥x∥_{p} := ( ∑_{k=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}} , x = (x_{1}, …, x_{n}) ∈ V .

Dann gilt für beliebige p, q ∈ ]1, ∞[ mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 und beliebige x, y ∈ V die Höldersche Ungleichung

| ∑_{k=1}^{n} x_{k}y_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{n} |x_{k}y_{k}| ≤ ∥x∥_{p} ∥y∥_{q} .

Beweis. i) Wir zeigen zunächst: Für beliebige a, b ∈ ℝ_{+}^{×} und p, q wie oben gilt

a^{\frac{1}{p}} · b^{\frac{1}{q}} ≤ \frac{a}{p} + \frac{b}{q} .  (*)

Die Funktion f(x) = − ln x ist konvex auf ℝ_{+}^{×}, also gilt mit λ = \frac{1}{p} und (1−λ) = \frac{1}{q}

− ln (\frac{a}{p} + \frac{b}{q}) ≤ −\frac{1}{p} ln a − \frac{1}{q} ln b = − ln (a^{\frac{1}{p}} · b^{\frac{1}{q}} ) .

Durch Exponentieren folgt die Behauptung.

ii) Für x = 0 oder y = 0 ist im Satz nichts zu zeigen. Ansonsten sei ξ_{k} := \frac{|x_{k}|^{p}}{∥x∥_{p}^{p}}

und η_{k} := \frac{|y_{k}|^{q}}{∥y∥_{q}^{q}}. Es gilt

ξk^{\frac{1}{p}} · ηk^{\frac{1}{q}} ≤ \frac{ξ_{k}}{p} + \frac{η_{k}}{q}

nach (*) für ξ_{k}, η_{k} ≠ 0 bzw. trivialerweise für ξ_{k} = 0 oder η_{k} = 0. Wegen ∑_{k=1}^{n} ξ_{k} = 1 und ∑_{k=1}^{n} η_{k} = 1 folgt

∑_{k=1}^{n} \frac{|x_{k}| · |y_{k}|}{∥x∥_{p} · ∥y∥_{q}} = ∑_{k=1}^{n} ξk^{\frac{1}{p}} · ηk^{\frac{1}{q}} ≤ ∑_{k=1}^{n} (\frac{ξ_{k}}{p} + \frac{η_{k}}{q} ) = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 .  □

Für p = q = 2 ist das die Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Allgemein ergibt sich

Satz 24.8 (Minkowskische Ungleichung) Für beliebige x, y ∈ V = 𝕂^{n} und p > 1 gilt die Minkowskische Ungleichung ∥x + y∥_{p} ≤ ∥x∥_{p} + ∥y∥_{p}, d.h. (V, ∥ ∥_{p}) ist für alle p > 1 ein normierter Vektorraum.

Beweis. Setze z_{k} := |x_{k} + y_{k}|^{p−1}, dann gilt |z_{k}|^{q} = |x_{k} + y_{k}|^{pq−q} = |x_{k} + y_{k}|^{p}, also ∥z∥_{q}^{q} = ∥x + y∥_{p}^{p}, und |x_{k} + y_{k}||z_{k}| = |x_{k} + y_{k}|^{1+ \frac{p}{q}} = |x_{k} + y_{k}|^{p}. Nach Dreiecksungleichung und Hölderscher Ungleichung gilt

∥x + y∥_{p}^{p} = ∑_{k=1}^{n} |x_{k} + y_{k}|^{p} = ∑_{k=1}^{n} |x_{k} + y_{k}||z_{k}| ≤ ∑_{k=1}^{n} |x_{k}z_{k}| + ∑_{k=1}^{n} |y_{k}z_{k}|
≤ (∥x∥_{p} + ∥y∥_{p})∥z∥_{q} .

Für ∥x+y∥_{p} = 0 ist nichts zu zeigen; ansonsten ist \frac{∥x+y∥_{p}^{p}}{∥z∥_{q}} = ∥x+y∥_{p}^{p− \frac{p}{q}} = ∥x+y∥_{p}. □

Eine weitere wichtige Anwendung der Konvexität ist das Newtonsche Iterationsverfahren zur numerischen Berechnung von Nullstellen.

Satz 24.9 (Newtonsches Iterationsverfahren) Eine stetige und konvexe Funktion f : [a, b] → ℝ mit f(a) < 0 und f(b) > 0 sei zweimal stetig differenzierbar in ]a, b[. Dann gilt:

i) Es gibt genau ein ξ ∈ ]a, b[ mit f(ξ) = 0.

ii) Ist x_{0} ∈ ]a, b[ ein beliebiger Punkt mit f(x_{0}) ≥ 0, dann ist die durch

x_{n+1} := x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})}

rekursiv definierte Folge (x_{n})_{n∈ℕ} wohldefiniert und konvergiert monoton fallend gegen ξ.

Bemerkung: Analoge Aussagen gelten für konkave Funktionen und/oder für f(a) > 0 und f(b) < 0. Man kann zeigen, daß das Verfahren quadratisch konvergiert, d.h. x_{n} approximiert ξ für große n auf 2n Dezimalstellen genau.

Beweis. i) Nach dem Zwischenwertsatz gibt es zumindest eine Nullstelle ξ von f in ]a, b[. Außerdem gibt es nach dem Extremwertsatz in q ∈ [a, b] ein globales Minimum mit f(q) ≤ f(x) für alle x ∈ [a, b]. Damit ist f(q) < 0. Ist q ≠ a, so hat f in q ein lokales Minimum, d.h. es gilt f′(q) = 0. Nach Satz 24.4 und Satz 24.5 ist f′ monoton wachsend in ]a, b[, also gilt f′(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, q]. Somit liegen alle Nullstellen von f in ]q, b[.

Angenommen, es gäbe zwei Nullstellen ξ_{1} < ξ_{2}. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein t ∈ ]q, ξ_{1}[ mit f′(t) = \frac{f(ξ_{1})−f(q)}{ξ_{1}−q} = \frac{−f(q)}{ξ_{1}−q} > 0. Daraus folgt f′(x) > 0 für alle x ∈ [t, b[, insbesondere ist f in [ξ_{1}, b] streng monoton wachsend und kann keine zweite Nullstelle besitzen.

ii) Für den Anfangspunkt der Folge gilt x_{0} ≥ ξ. Wir zeigen durch vollständige Induktion f(x_{n}) ≥ 0 und ξ ≤ x_{n} ≤ x_{n−1} für alle n ≥ 1.

a) Aus x_{n} ≥ ξ folgt f′(x_{n}) ≥ f′(ξ) > 0, also \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})} ≥ 0 und somit x_{n+1} =

x_{n} − \frac{f(x_{n})}{f′(x_{n})} ≤ x_{n}.

b) Die Funktion ϕ_{n}(x) := f(x)−f(x_{n})−f′(x_{n})(x−x_{n}) beschreibt die Differenz von f(x) zur ihrer Tangenten in x_{n}. Es gilt ϕ′_{n}(x) = f′(x)−f′(x_{n}), also ϕ′_{n}(x) ≤ 0 für x ≤ x_{n}. Aus ϕ_{n}(x_{n}) = 0 folgt dann ϕ_{n}(x) ≥ 0 für x ≤ x_{n}, insbesondere

0 ≤ ϕ_{n}(x_{n+1}) = f(x_{n+1}) − f(x_{n}) − f′(x_{n})(x_{n+1} − x_{n}) = f(x_{n+1}) .

Damit ist x_{n+1} ≥ ξ, so daß (x_{n})_{n∈ℕ} eine monoton fallende und durch ξ nach unten beschränkte Folge ist. Sei x^{∗} := lim_{n→∞} x_{n} ihr Grenzwert, dann folgt aus

der Stetigkeit von f und f′ in ]a, b[ die Gleichung x^{∗} = x^{∗} − \frac{f(x^{∗})}{f′(x^{∗})}, also f(x^{∗}) = 0

und damit x^{∗} = ξ. □

Beispiel 24.10 Für k ∈ ℕ mit k ≥ 2 und a ∈ ℝ_{+}^{×} betrachten wir die durch f(x) = x^{k} − a definierte Funktion f : ℝ_{+} → ℝ. Diese ist konvex auf ℝ_{+} mit f(0) = −a < 0 und f(1 + a) > 0. Das Newtonsche Iterationsverfahren zur Berechnung der Nullstellen ist damit anwendbar und liefert die Folge

x_{n+1} := x_{n} − \frac{x_{n}^{k} − a}{kx_{n}^{k−1}} = \frac{1}{k}((k − 1)x_{n} + \frac{a}{x_{n}^{k−1}} ) ,

die für einen beliebigen Startwert x_{0} mit x_{0}^{k} ≥ a monoton fallend gegen \sqrt[k]{a} konvergiert. (Wählt man 0 < x_{0}^{k} < a, dann ist x_{1}^{k} > a, und das Verfahren konvergiert ebenfalls. Siehe Satz 9.14. ◁

25 Taylor-Polynome und Taylor-Reihen

Nach Satz 22.4 liefern Funktionswert f(x_{0}) und Ableitung f′(x_{0}) einer differenzierbaren Funktion f : I → ℂ eine lineare Approximation der Funktion in der Nähe des Punktes x_{0} mit Kontrolle des Fehlers. Die Taylorsche Formel beschreibt eine polynomiale Approximation der Funktion:

Satz 25.1 (Taylorsche Formel) Es sei f : I → ℂ eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann gibt es zu jedem x ∈ I ein ξ ∈ ]a, x[ bzw. ξ ∈ ]x, a[, so daß

f(x) = f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x−a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n} + R_{n+1}(x) ,
R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n + 1)!}(x − a)^{n+1} .

Beweis. Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil können wir uns auf reellwertige Funktionen beschränken. Für n = 0 handelt es sich um den Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Sei also n ≥ 1 und z.B. x > a fest gewählt. Wir definieren eine Funktion g : I → ℝ durch

g(t) = f(t) − f(a) − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(t − a)^{k} − M(t − a)^{n+1} .

Wählen wir

M = \frac{1}{(x − a)^{n+1}} (f(x) − f(a) − ∑_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x − a)^{k}) ,

dann gilt g(x) = 0. Nach Voraussetzung ist g eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion auf I, und es gilt g(a) = 0 und g^{(k)}(a) = 0 für alle k = 1, …, n.

Nach dem Satz von Rolle gibt es ein ξ_{1} ∈ ]x, a[ mit g′(ξ_{1}) = 0. Im nächsten Schritt gibt es wieder nach Rolle wegen g′(a) = 0 ein ξ_{2} ∈ ]ξ_{1}, a[ mit g′′(ξ_{2}) = 0. Schließlich gibt es ein ξ = ξ_{n+1} ∈ ]ξ_{n}, a[ ⊂ ]x, a[ mit

0 = g^{(n+1)}(ξ) = f^{(n+1)}(ξ) − (n + 1)!M

Also ist M = \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!} für ein ξ ∈ ]x, a[. □

Für eine mindestens (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion f heißt

(T_{n}f)(x; a) := f(a) + \frac{f′(a)}{1!}(x−a) + \frac{f′′(a)}{2!}(x−a)^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x−a)^{n}

das Taylor-Polynom n-ter Ordnung von f mit Entwicklungspunkt a, und R_{n+1}(x)

heißt das Restglied (n + 1)-ter Ordnung. Für Potenzreihen f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n}

mit Konvergenzradius R > 0 stimmt wegen f^{(k)}(0) = k!a_{k} das Taylor-Polynom N-ter Ordnung von f mit der bei N abgebrochenen Potenzreihe überein, d.h.

(T_{N}f)(x; 0) = ∑_{n=0}^{N} a_{n}x^{n} für |x| < R.

Damit liefert die Taylorsche Formel Fehlerabschätzungen der folgenden Art:

Beispiel 25.2 Für f(x) = sin x gilt f^{(2k)}(x) = (−1)^{k} sin x und f^{(2k+1)}(x) = (−1)^{k} cos x, d.h. |f^{(n)}(ξ)| ≤ 1 für alle ξ ∈ ℝ und alle n ∈ ℕ. Unter Verwendung der Sinus-Reihe gilt somit für alle x ∈ ℝ und n ∈ ℕ

| sin x − ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{(2k + 1)!} | ≤ \frac{|x|^{2n+3}}{(2n + 3)!} .  ◁

Satz 25.3 (hinreichendes Kriterium für lokale Extrema) Es sei f : I → ℝ eine (n+1)-mal stetig differenzierbare Funktion. In einem inneren Punkt a ∈ I gelte f′(a) = ⋯ = f^{(n)}(a) = 0, aber f^{(n+1)}(a) ≠ 0. Dann hat f im Punkt a

i) ein strenges lokales Minimum, falls n ungerade ist und f^{(n+1)}(a) > 0;

ii) ein strenges lokales Maximum, falls n ungerade ist und f^{(n+1)}(a) < 0;

iii) kein lokales Extremum, falls n gerade ist.

Beweis. Einsetzen der Voraussetzungen in die Taylorsche Formel mit ergibt f(x) = f(a) + \frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x − a)^{n+1} für ein ξ zwischen x und a. Wegen der Stetigkeit von f^{(n+1)} gibt es nach Satz 17.12.ii) eine Umgebung U ⊂ I von a, in der f^{(n+1)}(ξ) das gleiche Vorzeichen wie f^{(n+1)}(a) hat. Ist n + 1 gerade und f^{(n+1)}(a) > 0, so folgt f(x) > f(a) für alle x ∈ U \ {a}, d.h. f hat in a ein strenges lokales Minimum. Analog für ii). Ist dagegen n + 1 ungerade und z.B. f^{(n+1)}(a) > 0, so folgt f(x) < f(a) für x < a und f(x) > f(a) für x > a, d.h. f hat in a kein lokales Extremum. □

Satz 25.4 Es sei f : I → ℂ eine n-mal stetig differenzierbare Funktion und a ∈ I. Dann gibt es eine stetige Funktion r : I → ℂ mit r(a) = 0 und f(x) = (T_{n}f)(x; a) + (x − a)^{n}r(x).

Beweis. Stetigkeit von r in x ≠ a folgt aus der Definition, so daß nur lim_{x→a} r(x) = 0 zu zeigen ist. Nach Zerlegung in Real- und Imaginärteil genügt der Beweis für reellwertige Funktionen. Mit der Taylorschen Formel gilt

(f(x) − (T_{n−1}f)(x; a)) − \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n} = \frac{f^{(n)}(ξ)}{n!}(x − a)^{n} − \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x − a)^{n}

für ein ξ zwischen x und a, d.h. r(x) = \frac{f^{(n)}(ξ(x)) − f^{n}(a)}{n!} für x ≠ a. Mit x → a

geht auch ξ(x) → a, so daß aus der Stetigkeit von f^{(n)} folgt lim_{x→a} r(x) = 0. □

Für diese Eigenschaft ist das Landau-Symbol “o” gebräuchlich, f(x) = (T_{n}f)(x; a) + o((x − a)^{n}). Darunter versteht man

f(x) = o(g(x)) für x → a  ⇔  lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 .

Definition 25.5 Es sei f : I → ℂ eine beliebig oft differenzierbare Funktion. Die

Potenzreihe (T f)(x; a) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x−a)^{k} heißt die Taylor-Reihe von f im Punkt

a ∈ I. Konvergiert (T f)(x; a) gegen f(x) für alle x aus einer Umgebung U ⊂ I von a, so sagt man: f besitzt in U eine Taylor-Entwicklung um a.

Warnung: Die Taylor-Reihe ist ein formaler Ausdruck! Während die Taylorsche Formel mit Restglied exakt gilt, muß die Taylor-Reihe für x ≠ a nicht konvergieren (der Konvergenzradius ist dann 0), und selbst wenn die Taylor-Reihe konvergiert, muß (T f)(x; a) nicht gleich f(x) sein!

Beispiel 25.6 Wir erinnern an die schon in Abschnitt 24 eingeführte Einschaltfunktion

f(x) := \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} für & x > 0 \\ 0 für & x ≤ 0 \end{matrix}

Die Ableitungen in x > 0 sind von der Form f^{(n)}(x) = P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x}}) für ein Polynom P_{n} vom Grad 2n in \frac{1}{x}, denn nach Produkt- und Kettenregel ist

f^{(n+1)}(x) = (P_{n}(\frac{1}{x})e^{− \frac{1}{x}} )′ = ( − P′_{n}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} + P_{n}(\frac{1}{x})\frac{1}{x^{2}} )e^{− \frac{1}{x}} .

Dabei ist die Ableitung P′ des Polynoms ein Polynom (2n − 1)-ter Ordnung. Somit ist lim_{x↘0} f^{(n+1)}(x) = 0 für alle n ∈ ℕ und folglich (T f)(x; 0) = 0 ≠ f(x). ◁

Ist eine Funktion f durch eine Potenzreihe darstellbar, so stimmt die Taylor-Reihe (innerhalb des Konvergenzkreises) mit f überein. Insbesondere lassen sich die im Laufe des Semesters hergeleiteten Potenzreihen reproduzieren:

e^{x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k}}{k!} ,  x ∈ ℝ ,

cos x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k}}{(2k)!} ,  x ∈ ℝ ,

sin x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{(2k + 1)!} ,  x ∈ ℝ ,

cosh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k}}{(2k)!} ,  x ∈ ℝ ,

sinh x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{2k+1}}{(2k + 1)!} ,  x ∈ ℝ ,

(1 + x)^{α} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{α}{k}x^{k} ,  x ∈ ℝ für α ∈ ℕ , x ∈ ] − 1, 1[ für α ∈ ℂ ,

ln(1 + x) = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}x^{k}}{k} ,  x ∈ ] − 1, 1] ,

arctan x = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}x^{2k+1}}{2k + 1} ,  x ∈ [−1, 1] ,

arcsin x = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−\frac{1}{2}}{k}(−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} ,  x ∈ ] − 1, 1[ .

Zu beachten ist, daß einige dieser Potenzreihen sogar für komplexe Zahlen x ∈ ℂ \ ℝ gelten, während wir die Differentiation nur im Reellen eingeführt hatten.

Beispiel 25.7 Man kann zeigen, daß die Funktion \frac{z}{e^{z−1}} in einer Umgebung von 0 in eine Potenzreihe entwickelbar ist,

\frac{z}{e^{z} − 1} = \frac{1}{1 + ∑_{n=1}^{∞} \frac{z^{n}}{(n+1)!}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} z^{k} .

Die Entwicklungskoeffizienten B_{k} Bernoulli-Zahlen. Offenbar ist B_{0} = 1 und B_{1} = −\frac{1}{2}. Ferner gilt

\frac{z}{e^{z} − 1} − B_{1}z = \frac{z}{2} \frac{e^{z} + 1}{e^{z} − 1} = \frac{z}{2} coth \frac{z}{2} ,

d.h. \frac{z}{e^{z}−1} − B_{1}z ist eine gerade Funktion, so daß alle ungeraden Koefizienten B_{2k+1} = 0 mit k ≥ 1 verschwinden. Ersetzt man z ↦ 2iz, so folgt die Cotangens-Reihe

cot z = \frac{1}{z} + ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k} \frac{4^{k}}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1} .

Mittels tan x − cot x = \frac{sin^{2} x−cos^{2} x}{sin x cos x} = −2 cot(2z) folgt daraus die Tangens-Reihe

tan z = ∑_{k=1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{4^{k}(4^{k} − 1)}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1} .  ◁

Wiederholung

• Produkt- und Kettenregel, Differentiation der Umkehrfunktion, Differentiation von Potenzreihen

• Mittelwertsatz der Differentialrechnung, Schrankensatz

• Regel von de l’Hospital

• Konvexität: Höldersche Ungleichung

• Taylorsche Formel: Approximation mit Fehlerabschätzung

• Kurvendiskussion: lokale Extrema, notwendige und hinreichende Kriterien dafür; Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen

• Überblick über wichtige Potenzreihen