Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 03.11.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 3

Aufgabe 1. Bestimme Real- und Imaginärteil sowie Betrag von

(a) \frac{1}{1 − i},  (b) \frac{2 + i}{3 − 4i},  (c) (1 + i)^{n},  (d) (\frac{1 − i}{1 + i})^{n}

für n ∈ ℕ. Hinweis: Arbeite gegebenenfalls mit Polarkoordinaten.

Aufgabe 2. (a) Sei z = x + iy mit x, y ∈ ℝ und definiere

w := \frac{1}{\sqrt{2}} (ϵ\sqrt{|z| + x} + i\sqrt{|z| − x}) , wobei ϵ := \begin{cases}y/|y|, & y ≠ 0, \\ 1, & y = 0. \end{cases}

Zeige, dass ±w die beiden Wurzeln aus z sind, also w^{2} = (−w)^{2} = z gilt.

(b) Zeige, dass die Gleichung z^{2} + pz + q = 0 mit p, q ∈ ℂ die Lösungen

z_{1,2} = −\frac{p}{2} ± \frac{1}{2}\sqrt{p^{2} − 4q}

besitzt, wobei ±\sqrt{p^{2} − 4q} die beiden Wurzeln (nach (a)) aus p^{2} − 4q bezeichne.

Aufgabe 3. Skizziere die folgenden Mengen:

(a) {z ∈ ℂ : |z − 1| ≤ |iz − 1|}, (b) {z ∈ ℂ : 0 < |z − 1 − i| ≤ 1}.

Bitte wenden!

Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal

1. Konstruiere in der Gaußschen Zahlenebene den Einheitskreis S mit Mittelpunkt 0 und Radius 1. Die Schnittpunkte des Kreises mit der x-Achse seien A = 1 ∈ ℂ und B = −1 ∈ ℂ.

2. Konstruiere das Lot L auf \overline{AB} durch 0 (y-Achse). Sei D einer der Schnittpunkte mit dem Einheitskreis S. Konstruiere den Mittelpunkt G von \overline{0D}.

3. Zeichne um G einen Kreisbogen mit Radius |\overline{GB}|. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit L(= y-Achse), welcher innerhalb S liegt, sei H.

4. Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius |\overline{0H}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{2} und A_{3}.

5. Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius |\overline{A_{2}A_{3}}|. Die beiden Schnittpunkte mit S seien A_{1} und A_{4}, wobei A_{1}, A_{2} auf der gleichen Seite von \overline{AB} liegen.

Dann sind (A, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}) die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks.

A_{2} A_{3}  0 B  A A_{1} A_{4} D G H

Aufgabe 4. (a) Zeige, dass die Länge h := |\overline{0H}| das Inverse des goldenen

Schnittes ist, also h = \frac{\sqrt{5}−1}{2} gilt.

(b) Zeige, dass die Koordinaten z_{n} = x_{n} + iy_{n} der Eckpunkte A_{n}, mit n = 1, 2, 3, 4, gegeben sind durch

z_{1} = \overline{z_{4}} = \frac{h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{3 + h} , z_{2} = \overline{z_{3}} = −\frac{1 + h}{2} + \frac{i}{2}\sqrt{2 − h} .

(Hinweis: Für das Inverse des goldenen Schnittes gilt h^{2} = 1 − h.)

(c) (Zusatzaufgabe, 2 Zusatzpunkte) Beweise die Identitäten z_{1}^{n} = z_{n} für n = 2, 3, 4 und z_{1}^{5} = 1. (Hinweis: Es genügt, z_{1}^{2} = z_{2}, z_{2}^{2} = z_{4}, z_{1}z_{4} = 1 zu zeigen — warum?)