Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 10.11.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Die Normalform einer kubischen Gleichung ist z^{3} + pz + q = 0 mit p, q ∈ ℝ.

(a) Rechne nach, dass für D := (\frac{q}{2})^{2} + (\frac{p}{3})^{3} > 0 die Lösungen dieser kubischen Gleichung gegeben sind durch die Cardanischen Formeln

z_{1} = u + v ,  z_{2} = ( − \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})u + ( − \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2})v,
z_{3} = ( − \frac{1}{2} − i\frac{\sqrt{3}}{2})u + ( − \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})v

mit

u = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} + \sqrt{D}} ,  v = \sqrt[3]{−\frac{q}{2} − \sqrt{D}} .

Dabei ist \sqrt[3]{a} = −\sqrt[3]{−a} für a < 0.

(b) Bestimme die Lösungen von z^{3} + 6z + 2 = 0.

Aufgabe 2. Bestimme für die folgenden Mengen, falls vorhanden, jeweils das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum:

(a) \{1 + \frac{(−1)^{n}}{n} : n = 1, 2, 3, …\} , (b) \{2^{(−1)^{n}n} : n = 1, 2, 3, …\} .

Aufgabe 3. Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:

ax + by = e,  cx + dy = f.  (1)

(a) Zeige, dass (1) im Fall ad ≠ bc die folgende eindeutige Lösung besitzt:

x = \frac{ed − bf}{ad − bc} ,  y = \frac{af − ce}{ad − bc}.

(b) Sei ad = bc. Welche Bedingung muss zusätzlich erfüllt sein, damit für jedes x genau ein y existiert, für welches (x, y(x)) das System (1) löst?

Finde die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme (ggf. in der Form (x, y(x))):

(c)  \begin{aligned}2x + 5y & = 8, \\ 3x − 2y & = −7, \end{aligned}  (d)  \begin{aligned}x − 3y & = 4, \\ −2x + 6y & = 8. \end{aligned}

Bitte wenden!

Aufgabe 4. Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme:

(a)  \begin{aligned}x + 2y − 4z & = −4, \\ 5x + 11y − 21z & = −22, \\ 3x − 2y + 3z & = 11, \end{aligned}  (b)  \begin{aligned}2x + y − 2z & = 10, \\ 3x + 2y + 2z & = 1, \\ 5x + 4y + 3z & = 4. \end{aligned}