Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 17.11.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 5

Aufgabe 1. Seien a, b ∈ ℝ und

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 2 \\ a \end{matrix}) , u_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ a \\ 1 \end{matrix}) , u_{3} = (\begin{matrix}−1 \\ −2 \\ 1 \\ a \end{matrix}) , u_{4} = (\begin{matrix}3 \\ 0 \\ 4 − a \\ 1 \end{matrix}) , v = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \\ b \end{matrix}) .

(a) Bestimme die Dimension von U = span_{ℝ}(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}) ⊆ ℝ^{4} in Abhängigkeit von a.

(b) Für welche (möglicherweise unendlich viele) Werte von a und b liegt v in U?

Aufgabe 2. (a) Bestimme eine Basis und die Dimension des Untervektorraums U = span_{ℝ}(u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⊆ ℝ^{4}, wobei

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ −4 \\ −2 \\ 1 \end{matrix}) ,  u_{2} = (\begin{matrix}1 \\ −3 \\ −1 \\ 2 \end{matrix}) ,  u_{3} = (\begin{matrix}3 \\ −8 \\ −2 \\ 7 \end{matrix}) .

(b) Seien V, W ⊆ ℝ^{6} zwei verschiedene 4-dimensionale Untervektorräume. Welche Werte kann dann dim(V ∩ W) annehmen?

Aufgabe 3. Sei K ein Körper. Eine Matrix A = (a_{ij}) ∈ M(n × n, K) heißt symmetrisch, falls a_{ij} = a_{ji} für alle i, j = 1, …, n, und schief-symmetrisch, falls a_{ij} = −a_{ji} für alle i, j = 1, …, n.

(a) Zeige, dass alle symmetrischen bzw. alle schief-symmetrischen Matrizen je einen Untervektorraum von M(n × n, K) bilden, und bestimme dessen Dimension.

(b) Zeige, dass es für jede Matrix A ∈ M(n × n, K) genau eine symmetrische Matrix A_{+} und eine schief-symmetrische Matrix A_{−} gibt mit A = A_{+} + A_{−}.

Aufgabe 4. Sei U = span_{ℝ}(u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⊂ ℝ^{4} und V = span_{ℝ}(v_{1}, v_{2}, v_{3}) ⊂ ℝ^{4} mit

u_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix}) , u_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) , u_{3} = (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 3 \\ −1 \end{matrix}) , v_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 2 \\ −2 \end{matrix}) , v_{2} = (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 2 \\ −3 \end{matrix}) , v_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 3 \\ 4 \\ −3 \end{matrix}) .

Bestimme die Dimension von U, V, U + V, U ∩ V.