Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 24.11.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 6

Aufgabe 1. Prüfe, ob die Folgen (a_{n})_{n} und (b_{n})_{n}, gegeben durch

a_{n} = (\frac{12 + 5i}{13})^{n} ,  b_{n} = \frac{2n + (−i)^{n}n^{2}}{n^{2} + 1}

konvergieren, und bestimme im Konvergenzfall den Grenzwert. Aufgabe 2. Prüfe, ob die Folgen (a_{n})_{n}, (b_{n})_{n}, (c_{n})_{n}, (d_{n})_{n}, gegeben durch

a_{n} = \frac{1}{2^{n}} \binom{n}{k}, b_{n} = \sqrt[n]{3^{n} + (−2)^{n}}, c_{n} = \frac{3^{n} − n^{2}}{2^{n} + n^{3}} , d_{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^{2}2^{n}}

konvergieren, und bestimme im Konvergenzfall den Grenzwert. Aufgabe 3. Sei a > 0 und

a_{n} := \sqrt{n + a} − \sqrt{n}, b_{n} := \sqrt{n + \sqrt{n}} − \sqrt{n}, c_{n} := \sqrt{n + n/a} − \sqrt{n}

für alle n ∈ ℕ. Zeige:

(a) Für alle n < a^{2} gilt c_{n} < b_{n} < a_{n}.

(b) Es gilt lim_{n→∞} a_{n} = 0, lim_{n→∞} b_{n} = \frac{1}{2}, während (c_{n})_{n∈ℕ} nicht nach oben beschränkt ist.

(Hinweis: Erweitere jeweils mit \sqrt{x} + \sqrt{y} für geeignete x und y.) Aufgabe 4. Zeige, dass für alle p, q ∈ ℕ ungleich 0 gilt:

lim_{n→∞} (1 + \frac{p}{qn})^{n} = \sqrt[q]{e^{p}}, wobei e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} .