Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 1.12.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 7

Aufgabe 1. Sei a > 0, x_{0} ∈ ]0, \frac{2}{a}[ beliebig und die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} definiert durch

x_{n+1} := x_{n}(2 − ax_{n}) für alle n ∈ ℕ.

Zeige: (a) x_{n} < x_{n+1} < \frac{1}{a} für alle n ≥ 1, (b) lim_{n→∞} x_{n} = 1/a.

Aufgabe 2. Die Folge (x_{n})_{n∈ℕ} sei rekursiv definiert durch

x_{0} := 2,  x_{n+1} := \frac{15 − 12x_{n} + 4x_{n}^{2}}{4} für alle n ∈ ℕ.

Zeige: (a) \frac{3}{2} ≤ x_{n+1} ≤ x_{n} für alle n ∈ ℕ, (b) lim_{n→∞} x_{n} = \frac{3}{2}. (Hinweis zu (b): Welche Gleichung muss der Grenzwert erfüllen?)

Aufgabe 3. (a) Die Folge der Fibonacci-Zahlen (f_{n})_{n∈ℕ} ist rekursiv definiert durch

f_{0} := 0,  f_{1} := 1,  f_{n+2} := f_{n+1} + f_{n} für alle n ∈ ℕ,

vergleiche Blatt 1, Aufgabe 1. Zeige (z.B. mit den Ergebnissen von Blatt 1):

lim_{n→∞} \frac{f_{n+1}}{f_{n}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} =: Φ (= der goldene Schnitt).

(b) Die Folge der endlichen Kettenbrüche

x_{n} := \underbrace{\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{... 1 + \frac{1}{1}}}}}_{n Bruchstriche}

erfüllt die Rekursionsgleichung x_{0} = 1 und x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_{n}} für alle n ∈ ℕ.

Zeige: |x_{n} − Φ| ≤ Φ^{−(n+1)} für alle n ∈ ℕ und lim_{n→∞} x_{n} = Φ.

Aufgabe 4. Zeige, dass die Folge (x_{n})_{n∈ℕ}, rekursiv definiert durch

x_{0} := 0,  x_{n+1} := \frac{x_{n}^{2} + 8}{6} für alle n ∈ ℕ,

konvergiert, und bestimme den Grenzwert. (Hinweis: Ähnliches Vorgehen wie bei Aufgabe 2.)