Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 08.12.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Prüfe die folgenden Reihen auf Konvergenz:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{a^{n}}{1 + a^{n}} (a > 0),  (b) ∑_{n=5}^{∞} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{3} + 1}},

(c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{\sqrt{n(n + 1)}},  (d) ∑_{n=1}^{∞} (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}} .

Aufgabe 2. Berechne die folgenden Reihen:

(a) ∑_{n=1}^{∞} Re\frac{(3 + 4i)^{n}}{(\sqrt{11 + |3 + 4i|^{2}})^{n}} ,

(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(n + a)(n + b)} (0 ≤ a < b und b − a ∈ ℕ).

Aufgabe 3. Berechne die folgenden Reihen unter Verwendung der Gleichung ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} :

(a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{(2n + 1)^{2}} ,  (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} ,  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}(n + 1)}.

Aufgabe 4. Seien (a_{n})_{n} und (b_{n})_{n} zwei Folgen positiver Zahlen, die asymptotisch gleich sind in dem Sinn, dass lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} = 1.

(a) Zeige: Es gibt ein N ∈ ℕ mit ∑_{n=N}^{∞} a_{n} ≤ 2 ∑_{n=N}^{∞} b_{n} und ∑_{n=N}^{∞} b_{n} ≤ 2 ∑_{n=N}^{∞} a_{n}.

(b) Zeige: ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konvergiert genau dann, wenn ∑_{n=1}^{∞} b_{n} konvergiert.

(c) Prüfe, für welche s ∈ ℚ die Reihe ∑_{n=1}^{∞} (\sqrt{1 + \frac{1}{n^{s}}} − 1) konvergiert.

Aufgabe N. (4 Zusatzpunkte) Zeichne einen Nikolaus unter ausschließlicher Verwendung von Ziffern, griechischen Buchstaben und mathematischen Symbolen.