Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 15.12.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 9

Aufgabe 1. Sei n ∈ ℕ und P_{n}[x] der Vektorraum aller Polynome vom Grad ≤ n.

(a) Prüfe, ob die folgenden Ausdrücke ein Skalarprodukt und eine Norm auf P_{n}[x] definieren:

⟨f, g⟩ := sup_{k∈\{0,...,n\}} \overline{f (\frac{k}{n})}g (\frac{k}{n})  für alle f, g ∈ P_{n}[x],
∥f∥ := sup_{k∈\{0,...,n\}} |f (\frac{k}{n}) | für alle f ∈ P_{n}[x].

(Hinweis zum Skalarprodukt: Berechne z.B. ⟨1, 1 − x⟩, ⟨1, 1⟩, ⟨1, x⟩.)

(b) Zeige, dass die Teilmenge P_{n}^{0}[x] = {f ∈ P_{n}[x] : f(0) = 0} ein Untervektorraum von P_{0}[x] ist, und bestimme eine Basis für P_{n}^{0}[x].

Aufgabe 2. (a) Bestimme die Partialbruchzerlegung von \frac{z + 2}{(z − 3)(z − 5)}, also

A, B ∈ ℂ mit \frac{z + 2}{(z − 3)(z − 5)} = \frac{A}{z − 3} + \frac{B}{z − 5}.

(b) Bestimme die Partialbruchzerlegung von \frac{1}{(z − 2i)^{n}(z + 3i)} für n ∈ ℕ.

Aufgabe 3. Führe folgende Polynomdivisionen (gegebenenfalls mit Rest) durch:

(a) \frac{x^{4} + 3x^{3} − 4x^{2} + x}{x + 4},  (b) \frac{2x^{4} − 17x^{3} + 26x^{2} − 13x + 2}{2x^{2} − 3x + 1}.

Aufgabe 4. Bestimme die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

(a) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{2^{2n}(k!)^{2}} z^{2n}, (b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}\sqrt{n!}}{2^{n}}z^{n}, (c) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n!}{n^{n}} z^{n},
(d) die hypergeometrische Reihe zu α, β, γ ∈ ℂ \ {0, −1, −2, −3, …} :

∑_{n=0}^{∞} \frac{(α)_{n}(β)_{n}}{n!(γ)_{n}} z^{n}, wobei (δ)_{n} := δ(δ + 1)(δ + 2) ⋯ (δ + n − 1).

(Hinweis: Verwende z.B. das Quotientenkriterium.)