Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 22.12.11 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Sei (f_{n})_{n} die Folge der Fibonacci-Zahlen, siehe Blatt 1 und Blatt 7.

(a) Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe F (z) := ∑_{n=0}^{∞} f_{n}z^{n}.

(b) Zeige, dass für alle z ∈ ℂ im obigen Konvergenzbereich gilt:

F (z) = z + F (z)(z + z^{2}).

(c) Gegen welche rationale Funktion konvergiert F (z) im Inneren des Konvergenzkreises?

Aufgabe 2. (a) Zeige, dass durch

d(x, y) := \begin{cases}0, & x = y, \\ 1, & x ≠ y. \end{cases}

eine Metrik d auf ℝ^{2} definiert wird.

(b) Bestimme die offenen und die abgeschlossenen Teilmengen von (ℝ^{2}, d).

(c) Prüfe, ob die Identität auf ℝ^{2} als Abbildung (ℝ^{2}, d) → (ℝ^{2}, d_{2}) oder als Abbildung (ℝ^{2}, d_{2}) → (ℝ^{2}, d) stetig ist, wobei d_{2} die euklidische Metrik (Beispiel 16.4 mit p = 2) bezeichne.

Aufgabe 3. (a) Zeige, dass durch

d(x, y) := \begin{cases}0, & x = y, \\ ∥x∥_{2} + ∥y∥_{2}, & x ≠ y, \end{cases}

eine Metrik d auf ℝ^{2} definiert wird.

(b) Zeichne K_{2}((3, 3)) und K_{2}((0, 1)) in (ℝ^{2}, d).

(c) Zeige, dass eine Folge (x_{n})_{n} in (ℝ^{2}, d) genau dann konvergiert, wenn (∥x_{n}∥_{2})_{n} eine Nullfolge ist oder (x_{n})_{n≥N} konstant ist für ein N ∈ ℕ.

Aufgabe 4. Prüfe die folgenden Funktionen f, g: ℝ^{2} → ℝ auf Stetigkeit:

f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy^{2}}{x^{2} + y^{2}} , & (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{cases} g(x, y) = \begin{cases}\frac{xy}{x^{2} + y^{2}} , & (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases}

(Hinweis: Verwende eventuell Polarkoordinaten (x = r cos φ, y = r sin φ) oder untersuche die Bilder der Geraden y = λx bzw. x = λy unter f, g.)