Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 12.01.12 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 11

Aufgabe 1. Sei ϵ = \frac{1}{2011}. Bestimme ein δ > 0 so, dass für alle x ∈ ℝ gilt:

|x − 1| < δ ⇒ |\frac{x}{x^{2} − x + 1} − 1| < ϵ.

Aufgabe 2. Sei (V, ⟨ , ⟩) ein euklidischer Vektorraum, aufgefaßt als metrischer Raum mit dem Abstand d(v, w) = ∥v − w∥ = \sqrt{⟨v − w, v − w⟩}. Zeige:

(a) Für jedes w ∈ V ist die Abbildung ⟨w, . ⟩: V → ℝ, gegeben durch v ↦ ⟨w, v⟩, stetig.

(b) Für jede Teilmenge M ⊂ V ist das orthogonale Komplement

M^{⊥} := {v ∈ V : ⟨m, v⟩ = 0 für alle m ∈ M}

ein abgeschlossener Untervektorraum von V, d.h. M^{⊥} ⊂ V ist Untervektorraum und als Teilmenge M^{⊥} ⊂ V abgeschlossen bezüglich der Metrik d. (Hinweis: Beweise zunächst den Fall M = {w} für ein w ∈ V. Für die Abgeschlossenheit verwende (a).)

Aufgabe 3. Untersuche, ob folgende folgende Funktionslimites existieren, und bestimme sie gegebenenfalls:

(a) lim_{x→∞} x (1 − \sqrt{\frac{x}{1 + x}}) ,  (b) lim_{x→1} \frac{\sqrt{x} − 1}{\sqrt{x − 1}},  (c) lim_{x→1} \frac{x^{3} − 1}{x − 1}.

Aufgabe 4. (a) Seien a, b ∈ ℝ, a < b und f : [a, b] → [a, b] stetig. Zeige, dass es ein x_{0} ∈ [a, b] gibt mit f(x_{0}) = x_{0}.

(b) Seien a, b ∈ ℝ, a ≤ b und f, g: [a, b] → ℝ stetig. Es gelte f(a) ≤ g(a) und f(b) ≥ g(b). Zeige, dass es ein x_{0} ∈ [a, b] gibt mit f(x_{0}) = g(x_{0}).