Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 19.01.12 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 12

Aufgabe 1. (a) Sei a ∈]0, 1[∪]1, ∞[. Zeige, dass die Abbildung f: ℝ →]0, ∞[, x ↦ a^{x}, eine Umkehrabbildung log_{a} := f^{−1} : ]0, ∞[→ ℝ besitzt, und dass log_{a} y = \frac{ln y}{ln a} für alle y ∈]0, ∞[.

(b) Gib eine Reihenentwicklung der Funktion x ↦ ln \frac{1+x}{1−x} für x ∈] − 1, 1[ an.

(c) Zeige unter Verwendung von (b):

ln 2 = ∑_{n=0}^{∞} \frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} ,

ln 3 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{2}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{5(2n + 1)25^{n}} ) ,

ln 5 = ∑_{n=0}^{∞} (\frac{4}{3(2n + 1)9^{n}} + \frac{2}{9(2n + 1)81^{n}} ) .

Aufgabe 2. Wir definieren zwei Folgen von Polynomen (T_{n})_{n} und (U_{n})_{n} rekursiv durch

T_{n+1}(y) = 2yT_{n}(y) − T_{n−1}(y),  T_{0}(y) = 1,  T_{1}(y) = y,
U_{n+1}(y) = 2yU_{n}(y) − U_{n−1}(y),  U_{0}(y) = 1,  U_{1}(y) = 2y.

für alle y ∈ ℝ. Zeige, dass dann für alle n ∈ ℕ, x ∈ ℝ gilt:

cos(nx) = T_{n}(cos x),  sin(nx) = sin x · U_{n−1}(cos x).

Aufgabe 3. Zeige, dass für alle ϕ ∈ ℝ \ 2πℤ und n ∈ ℕ gilt:

∑_{k=0}^{n} cos(kϕ) = \begin{matrix}sin & ((n + 1)\frac{ϕ}{2}) \\ sin & \frac{ϕ}{2} \end{matrix} cos (n\frac{ϕ}{2}) , ∑_{k=0}^{n} sin(kϕ) = \begin{matrix}sin & ((n + 1)\frac{ϕ}{2}) \\ sin & \frac{ϕ}{2} \end{matrix} sin (n\frac{ϕ}{2}) .

Aufgabe 4. Zeige:

(a) arsinhx = ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) für alle x ∈ ℝ;

(b) artanh z = \frac{1}{2} ln \frac{1+z}{1−z} für alle z ∈] − 1, 1[;

(c) tan(α + β) = \frac{tan α+tan β}{1−tan α tan β} für alle α, β ∈ ℝ;

(d) arctan x + arctan y = arctan (\frac{x+y}{1−xy}) für alle x, y ∈ ℝ.