Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 11/12 Dr. T. Timmermann

Lösungshinweise zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: bis Donnerstag, 26.01.12 bis 10 Uhr, in den Briefkästen Blatt 13

Aufgabe 1. Berechne die Ableitungen f′(x) für

(a) f(x) = \frac{cos^{2} x}{e^{x}},  x ∈ ℝ,
(b) f(x) = ln \sqrt{x^{2} + 1}, x ∈ ℝ,
(c) f(x) = x^{(x^{2})},  x ∈ ]0, ∞[,
(d) f(x) = x artanh x, x ∈ ℝ \ {1, −1},

Aufgabe 2. Berechne die folgenden Grenzwerte:

(a) lim_{x→a} \frac{x^{3} − a^{3}}{x^{2} − a^{2}} , (b) lim_{x→0} \frac{x − sin x}{1 − cos x}, (c) lim_{x→∞} \frac{x ln x}{x^{2} − 1}, (d) lim_{x→0} (\frac{1}{sinh x} − \frac{1}{x}) .

Aufgabe 3. Seien y_{0}, y_{1} ∈ ℝ. Dann gibt es genau eine auf ganz ℝ konvergente Potenzreihe y(x) = ∑_{n=0}^{∞} y_{n}x^{n}, welche das Airy-Anfangswertproblem

y′′(x) − xy(x) = 0 für alle x ∈ ℝ,  y(0) = y_{0},  y′(0) = y_{1}

löst (dabei ist y′′ = (y′)′). Zeige für die Koeffizienten dieser Potenzreihe:

(a) y_{n+2} = \frac{y_{n−1}}{(n + 2)(n + 1)} für alle n ≥ 1.

(b) y_{3n} = \frac{y_{0}}{(2 · 5 · 8 ⋯ (3n − 1)) · 3^{n}(n!)}, y_{3n+1} = \frac{y_{1}}{(4 · 7 ⋯ (3n + 1))3^{n}n!}, y_{3n+2} =

0 für alle n ∈ ℕ.

Aufgabe 4. Sei f: ℝ → ℝ differenzierbar und seien a, b ∈ ℝ mit a < b. Zeige:

(a) Es gibt eindeutig bestimmte stetige Funktionen h, g: [a, b] → ℝ mit

h(x) = \frac{f(x) − f(a)}{x − a},  g(x) = \frac{f(b) − f(x)}{b − x} für alle x ∈]a, b[.

(b) Für jedes γ zwischen f′(a) und f′(b) existiert ein x ∈ [a, b] mit γ = h(x) oder γ = g(x).

(c) Für jedes γ zwischen f′(a) und f′(b) existiert ein ξ ∈ [a, b] mit γ = f′(ξ).

(Bemerkung: Obwohl f′ nicht stetig zu sein braucht, erfüllt f′ also die Aussage des Zwischenwertsatzes.)