Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 12/13 Dr. T. Timmermann

Übung zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Ausnahmsweise bis Mi, 17.10.2010, in den Übungen Blatt 1

Aufgabe 1. Sei U := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x ≠ y} und f: U → ℝ definiert durch

f(x, y) = \frac{xy}{x − y} .

(a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂_{j}f und ∂_{i}∂_{j}f für i, j = 1, 2.

(b) Zeigen Sie, dass x^{2}∂_{1}^{2}f(x, y) + 2xy∂_{1}∂_{2}f(x, y) + y^{2}∂_{2}^{2}f(x, y) = 0.

Aufgabe 2. Sei g: ℝ^{2} → ℝ definiert durch

g(x, y) = \begin{cases}\frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}} , & (x, y) ≠ (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0). \end{cases}

(a) Zeigen Sie, dass für g im Punkt (0, 0) jede Richtungsableitung existiert.

(b) Zeige Sie, dass g im Punkt (0, 0) nicht differenzierbar ist.

Aufgabe 3. Sei h: ℝ^{3} → ℝ^{3} definiert durch

h(r, θ, ϕ) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ).

Zeigen Sie, dass h total differenzierbar ist, und berechnen Sie die Jacobi-Matrix (∂_{j}h_{i}) ∈ M(3 × 3, ℝ) sowie deren Determinante.

Aufgabe 4. Sei n ∈ ℕ. Wir identifizieren M(n × n, ℝ) mit ℝ^{n^{2}} mit Hilfe der Abbildung (a_{ij})_{i,j} ↦ (a_{11}, …, a_{1n}, …, a_{n1}, …, a_{nn}). Zeigen Sie:

(a) Die Abbildung f: M(n × n, ℝ) → M(n × n, ℝ), A ↦ A^{t}A, ist differenzierbar mit (Df)(A)B = A^{t}B + B^{t}A für alle A, B ∈ M(n × n, ℝ).

(b) Die Matrix-Exponentialfunktion exp: M(n × n, ℝ) → M(n × n, ℝ), A ↦ ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}A^{n}, ist differenzierbar und für alle A, B ∈ M(n × n, ℝ) gilt

(D exp)(A)B = ∑_{k,l=0}^{∞} \frac{1}{(k + l + 1)!}A^{k}BA^{l}
= exp(A)B, falls AB = BA.

(Hinweis: Berechnen Sie für g = f und g = exp jeweils g(A+B)−g(A) und verwenden Sie die Supremums-Norm auf dem M(n × n, ℝ), gegeben durch ∥(a_{ij})∥_{∞} := sup_{i,j} |a_{i,j}|, sowie die Ungleichung ∥XY ∥_{∞} ≤ ∥X∥_{∞}∥Y ∥_{∞} zur Abschätzung von Restgliedern.)