Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 12/13 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis Dienstag, den 23.10.2010, 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Seien c: ℝ → ℝ^{3}, v: ℝ^{3} → ℝ^{3} und f: ℝ^{3} → ℝ gegeben durch

c(t) = (t, t sin t, t cos t), v(x, y, z) = (2yz, x + z, y), f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} − z^{2}.

Berechnen Sie die totalen Differentiale Dc, Dv, Df, D(v ∘ c), D(f ∘ v).

Aufgabe 2. (a) Sei m ∈ ℝ und f: ℝ^{n} → ℝ differenzierbar und homogen vom Grad m in dem Sinne, dass f(tx) = t^{m}f(x) für alle x ∈ ℝ^{n} und t > 0. Zeigen Sie, dass dann ⟨x, (grad f)(x)⟩ = mf(x) für alle x ∈ ℝ^{n}.

(b) Sei y ∈ ℝ^{n} und g, h: ℝ^{n} → ℝ gegeben durch g(x) = cos⟨y, x⟩ und h(x) = sin⟨y, x⟩. Zeigen Sie, dass dann gilt:

(grad g)(x) = −h(x) y,  (grad h)(x) = g(x) y,
(Δu)(x) + ∥y∥^{2}u(x) = 0 für u = g, h.

Aufgabe 3. Die Rotation eines differenzierbaren Vektorfeldes v: U → ℝ^{3} auf einer offenen Teilmenge U ⊆ ℝ^{3} ist definiert als das Vektorfeld

rot v = (∂_{2}v_{3} − ∂_{3}v_{2}, ∂_{3}v_{1} − ∂_{1}v_{3}, ∂_{1}v_{2} − ∂_{2}v_{1}) : U → ℝ^{3}.

(a) Berechnen Sie rot v für v: ℝ^{3} → ℝ^{3}, x ↦ (e^{x_{1}+x_{2}}, sin(x_{2}x_{3}), x_{1} + x_{3}).

(b) Sei U ⊆ ℝ^{3} offen und seien f: U → ℝ und u, v: U → ℝ^{3} zweimal differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann gilt:

rot grad f = 0,  rot(fu) = f rot u + (grad f) × u,
div rot u = 0,  div(u × v) = ⟨rot u, v⟩ − ⟨u, rot v⟩,

wobei x × y = (x_{2}y_{3} − x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} − x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1})^{t} für x, y ∈ ℝ^{3}.

(Bemerkung: Man schreibt auch suggestiv ∇ = (∂_{1}, ∂_{2}, ∂_{3}) als Vektor von Operatoren und erhält dann symbolisch ∇f = grad f, ⟨∇, f⟩ = div f, ∇ × v = rot v. Dann gilt zum Beispiel ∇ × (fu) = (∇f) × u + f(∇ × u).)

Aufgabe 4. Sei f: ℝ^{3} → ℝ zweimal differenzierbar, Q: ℝ_{+}^{×} × ℝ^{2} → ℝ^{3} die Transformation auf Kugelkoordinaten

Q(r, θ, ϕ) = (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)

von Blatt 1 sowie g(r, θ, ϕ) = f(Q(r, θ, ϕ)). Zeigen Sie:

(a) (DQ)^{−1}(r, θ, ϕ) = (\begin{matrix}sin θ cos ϕ & r^{−1} cos θ cos ϕ & −(r sin θ)^{−1} sin ϕ \\ sin θ sin ϕ & r^{−1} cos θ sin ϕ & (r sin θ)^{−1} cos ϕ \\ cos θ & −r^{−1} sin θ & 0 \end{matrix})^{t} ,

(b) (grad f)∘Q = ∂_{r}g·(\begin{matrix}sin θ cos ϕ \\ sin θ sin ϕ \\ cos θ \end{matrix})^{t}+\frac{∂_{θ}g}{r} (\begin{matrix}cos θ cos ϕ \\ cos θ sin ϕ \\ − sin θ \end{matrix})^{t}+\frac{∂_{ϕ}g}{r sin θ} (\begin{matrix}− sin ϕ \\ cos ϕ \\ 0 \end{matrix})^{t}.