Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 12/13 Dr. T. Timmermann

Übungen zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 06.11.2012, 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 4

Aufgabe 1. Sei 0 < r < R und T ⊆ ℝ^{3} die Menge aller Punkte, die man von (r + R, 0, 0) aus durch Nacheinanderausführung

• einer Drehung um die Achse x = R, z = 0 um einen Winkel θ ∈ [0, 2π[ und

• einer Drehung um die z-Achse um einen Winkel ϕ ∈ [0, 2π[

erreichen kann.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe der Funktion f: ℝ^{3} → ℝ, (x, y, z) ↦ (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} − r^{2}, dass T ⊆ ℝ^{3} eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 2 ist.

(b) Beschreiben Sie (x, y, z) ∈ T als Funktionen von ϕ und θ.

(c) Bestimmen Sie eine möglichst einfache Basis für den Tangentialraum an T an dem durch ϕ = θ = π/4 bestimmten Punkt.

Aufgabe 2. (a) Wir betrachten einen rechtwinkligen Quader mit den Seitenlängen x, y, z > 0. Bestimmen Sie Oberfläche und Volumen in Abhängigkeit der Seitenlägen, und zeigen Sie, dass bei konstanter Oberfläche das Volumen genau im Fall eines Würfels maximal wird.

(b) Wir betrachten ein Ellipsoid {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2}/a^{2}+y^{2}/b^{2}+z^{2}/c^{2} = 1} mit festen a, b, c > 0. Bestimmen Sie das maximale Volumen eines rechtwinkligen Quaders mit achsenparallelen Kanten, dessen Eckpunkte auf dem Ellipsoid liegen. (Hinweis: Schreiben Sie das Volumen als Funktion der Koordinaten (x, y, z) des Eckpunktes mit x, y, z > 0.)

Aufgabe 3. Sei n ∈ ℕ. Wir identifizieren M(n × n, ℝ) mit ℝ^{n^{2}} wie in Aufgabe 4 von Blatt 1. Sei f: M(n × n, ℝ) → M(n × n, ℝ) definiert durch A ↦ A^{T} A − E_{n}. Dann ist O(n) = f^{−1}(0) die Gruppen der orthogonalen n × n-Matrizen (vgl. Satz 48.5). Zeigen Sie:

(a) (Df)(A)(BA) = A^{t}(B + B^{t})A für alle A, B ∈ M(n × n, ℝ). (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 4(a) von Blatt 1.)

(b) rang((Df)(A)) = n(n + 1)/2 für alle A ∈ O(n).

(Hinweis: Zeigen und benutzen Sie, dass die Abbildung C ↦ A^{t}CA injektiv ist.)

(c) O(n) ist eine Untermannigfaltigkeit von M(n × n, ℝ) mit Dimension n(n − 1)/2 und Kodimension n(n + 1)/2.

(d) Für 𝔬(n) := T_{E_{n}}(O(n)) gilt 𝔬(n) = {X ∈ M(n × n, ℝ) : X^{t} = −X}.

(Bemerkung: Ähnlich zeigt man, dass U(n) und SU(n) Untermannigfaltigkeiten von M(n × n, ℂ) sind. Gruppen von Matrizen, die gleichzeitig Untermannigfaltigkeiten sind, spielen eine wichtige Rolle in der Physik.)

Aufgabe 4. Bestimmen Sie Koordinaten und Wert des Maximums und Minimums der Funktion F (x, y, z) = x + y + z auf der Menge K = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + z^{2} = 4, x + y = 2}.