Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 12/13 Dr. T. Timmermann

Übung zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 27.11.2012, 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 7 Achtung: Aufgabe 4 befindet sich auf der Rückseite!

Aufgabe 1. Sei A(t) := (\begin{matrix}1 & 1 − t \\ 0 & 0 \end{matrix}) und b(t) := (\begin{matrix}t \\ e^{t} \end{matrix}).

(a) Bestimmen Sie ein Lösungs-Fundamentalsystem der DGL x′(t) = A(t)x(t).

(b) Lösen Sie das Anfangswertproblem x′(t) = A(t)x(t) + b(t) mit x(0) = (\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}).

Aufgabe 2. Sei I ein Intervall, A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}) : I → M(2, ℂ) stetig und x: I → ℂ^{2} eine Lösung der homogenen DGL x′(t) = A(t)x(t) mit x_{1}(t) ≠ 0 für alle t ∈ I.

(a) Zeigen Sie: Eine Funktion y: I → ℂ^{2} der Form y(t) = ϕ(t)x(t) + z(t) mit ϕ: I → ℂ und z(t) = (\begin{matrix}0 \\ z_{2}(t) \end{matrix}) erfüllt y′(t) = A(t)y(t) genau dann, wenn

a_{12}(t)z_{2}(t) − ϕ′(t)x_{1}(t) = 0 und z′_{2}(t) = (a_{22}(t) − a_{12}(t)\frac{x_{2}(t)}{x_{1}(t)}) z_{2}(t).

(b) Die Funktion y der Form wie in (a) ist linear unabhängig von x.

(c) Finden Sie ein Lösungs-Fundamentalsystem für

x′(t) = (\begin{matrix}t^{−1} & −1 \\ t^{−2} & 2t^{−1} \end{matrix}) x(t), t ≠ 0.

(Hinweis: Eine Lösung ist gegeben durch x(t) = (t^{2}, −t).) Aufgabe 3. Sei n ∈ ℕ. Wir versehen M(n, ℝ) mit der Supremumsnorm ∥ ∥_{∞}, gegeben durch ∥(a_{ij})_{i,j}∥_{∞} := sup_{i,j} |a_{ij}|. Sei B = (b_{ij})_{i,j} ∈ M(n, ℝ). Zeigen Sie:

(a) | ∏_{i=1}^{n}(1 + b_{ii}) − 1 − Spur(B)| ≤ 2^{n}∥B∥_{∞}^{2}, falls ∥B∥_{∞} ≤ 1.

(b) | ∏_{k=1}^{n}(δ_{k,σ(k)} + b_{kσ(k)})| ≤ 2^{n}∥B∥_{∞}^{2}, falls σ ∈ S_{n} eine Permutation ist mit σ(i) ≠ i für ein i sowie ∥B∥_{∞} ≤ 1.

(c) det: M(n, ℝ) → ℝ ist an der Stelle E_{n} ∈ M(n, ℝ) differenzierbar und (D det(E_{n}))(B) = Spur(B). (Hinweis: Zeigen Sie, dass det(E_{n} + B) = det(E_{n}) + Spur(B) + o(∥B∥_{∞}).)

(d) det: M(n, ℝ) → ℝ ist an jeder Stelle A ∈ GL(n, ℝ) differenzierbar und (D det(A))(B) = det(A)Spur(A^{−1}B). (Hinweis: ∥A^{−1}B∥_{∞} ≤ n∥A^{−1}∥_{∞}∥B∥_{∞}.)

Aufgabe 4. (a) Sei A ∈ GL(n, ℝ). Zeigen Sie, dass die Funktion x(t) := det(exp(tA)) die Differentialgleichung x′(t) = x(t)Spur(A) für alle t ∈ ℝ erfüllt, und folgern Sie, dass det(exp(A)) = exp(Spur(A)).

(b) Sei Φ: I → GL(n, ℝ) ein Lösungs-Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung x′(t) = A(t)x(t) und W := det ∘Φ: I → ℝ die zugehörige Wronski-Determinante. Zeigen Sie, dass dann W′(t) = W (t)Spur(A(t)).

(Hinweis: Beachten Sie, dass Spur(XY) = Spur(Y X).)