Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 12/13 Dr. T. Timmermann

Übung zu Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 04.12.2012, 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 8

Aufgabe 1. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme:

(a) x′′(t) − 4x′(t) + 3x(t) = 0, x(0) = −1, x′(0) = −5;

(b) x′′(t) + x′(t) + \frac{1}{4}x(t) = 0, x(1) = 1, x′(1) = 0.

Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme:

(a) x′′(t) + 2x′(t) + x(t) = t, x(0) = 0, x′(0) = 1;

(b) x′′(t) − x(t) = te^{2t}, x(0) = −4/9, x(1) = 0.

Aufgabe 3. Eine Kette der Masse m hängt zum Zeitpunkt t = 0 über einem (glatten, unendlich dünnen) Rundholz c Meter auf der einen und d > c Meter auf der anderen Seite herab und gleitet reibungsfrei infolge der Erdanziehung g herunter.

(a) Stelle eine Differentialgleichung für die Länge x(t) der Kette, die bis zum Zeitpunkt t über das Rundholz geglitten ist, auf. (Hinweis: Verwende den Parameter υ := \sqrt{\frac{2g}{c+d}}.)

(b) Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

(c) Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems x(0) = 0, x′(0) = 0.

(d) Zu welchem Zeitpunkt ist die Kette heruntergeglitten?

Aufgabe 4. Gegeben sei eine DGL der Form x′′(t) + ax′(t) + bx(t) = f(t). Seien x_{(1)}, x_{(2)} zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen DGL. Überführung in eine lineare DGL erster Ordnung für c(t) = (x(t), x′(t))^{t} liefert die DGL

c′(t) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −b & −a \end{matrix}) c(t) + (\begin{matrix}0 \\ f(t) \end{matrix})

mit dem Lösungs-Fundamentalsystem Φ = (\begin{matrix}x_{(1)} & x_{(2)} \\ x′_{(1)} & x′_{(2)} \end{matrix}) der homogenen DGL.

(a) Zeigen Sie: Eine Funktion y: I → ℝ^{2} erfüllt Φ(t)y′(t) = (\begin{matrix}0 \\ f(t) \end{matrix}) genau dann, wenn

y′_{1}(t) = −\frac{f(t)x_{(2)}(t)}{W (t)} und y′_{2}(t) = \frac{f(t)x_{(1)}(t)}{W (t)},

wobei W (t) = x_{(1)}(t)x′_{(2)}(t) − x′_{(1)}(t)x_{(2)}(t).

(b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL zweiter Ordnung x′′(t) + x(t) = 1/ cos t durch Überführung in eine DGL erster Ordnung und Variation der Konstanten. (Hinweis: Wählen Sie x_{1}, x_{2} reell!)