Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 12/13 Dr. T. Timmermann

Übung zur Mathematik für Physiker III

Abgabe: Bis 18.12.2012, 12 Uhr in den Briefkästen Blatt 10

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) res_{1} \frac{e^{2z}}{(z − 1)^{2}} = 2e^{2}, (b) res_{0} \frac{z^{2} + 2}{sin z} = 2, (c) res_{0} \frac{z}{1 − cos z} = 2,
(d) res_{z_{k}} \frac{1}{1 + z^{4}} = −\frac{1}{4}z_{k}, wobei z_{k} für k = 1, …, 4 die Wurzeln von 1 + z^{4} seien.

(Hinweis: Benutzen Sie für (d) die Formel für Residuen von Quotienten und für (c) die Formel res_{a} f = \frac{1}{(k−1)!} lim_{z→a} \frac{d^{(k−1)}}{dz^{k−1}} (z − a)^{k}f(z) für Residuen an k-fachen Polen.)

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{x^{4} + 5x^{2} + 4} = \frac{π}{6} , (b) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + x + 1)^{2}} = \frac{4π}{3\sqrt{3}}, (c) ∫_{−∞}^{∞} \frac{dx cos x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{π}{e} .

Aufgabe 3. Der Kotangens ist definiert als cot(z) := cos(z)/ sin(z) für alle z ∈ ℂ. Zeigen Sie:

(a) res_{k} (\frac{cot(πz)}{z^{2}}) = \frac{1}{πk^{2}} für k ∈ ℤ \ \{0\}.

(b) res_{0} (\frac{cot(πz)}{z^{2}}) = −\frac{π}{3}.

(Hinweis: Berechnen Sie die ersten Glieder der Laurent-Reihe von cot(πz) bei z = 0 mit Hilfe der Gleichung cot(πz) sin(πz) = cos(πz).)

(c) ∫_{γ_{N}} dz \frac{π cot(πz)}{z^{2}} = 2πi( − \frac{π^{2}}{3} + ∑_{n=1}^{N} \frac{2}{n^{2}} ), wobei N ∈ ℕ und γ_{N} die Kur-

ve bezeichnet, die das achsenparallele Quadrat mit Mittelpunkt 0 und Seitenlänge 2N + 1 im positiven Drehsinn mit konstanter Geschwindigkeit 1 (d.h. |γ′_{N}| ≡ 1) durchläuft.

(d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = \frac{π^{2}}{6} , wobei Sie die Relation lim_{N→∞} ∫_{γ_{N}} dz \frac{π cot(πz)}{z^{2}} = 0 ohne Beweis

(eine Kette von Standard-Abschätzungen) benutzen dürfen.

Aufgabe 4. Sei U ⊆ ℂ offen und f: U → ℂ holomorph. Zeigen Sie (beide Teilaufgaben sind unabhängig voneinander):

(a) Für jedes z ∈ U ist |f^{(k)}(z)| ≤ \frac{k!}{d^{k}} sup_{ζ∈U} |f(ζ)|, wobei d := inf_{w∈ℂ\U} |w − z|.

(b) (Maximumprinzip) Die Funktion |f| besitzt keine lokalen Maxima in U. Ist |f| stetig auf den Abschluss \overline{U} fortsetzbar, so nimmt |f| sein Maximum auf dem Rand ∂U = \overline{U} \ U an, also sup_{z∈\overline{U}} |f(z)| = sup_{z∈∂U} |f(z)|. (Hinweis: Verwenden Sie die Cauchysche Integralformel.)