Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 24.10.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 1

Aufgabe 1. Man zeige: Ist X eine endliche Menge (d.h. X besteht aus endlich vielen Elementen), dann gilt für eine Abbildung f : X → X:

f injektiv ⇔ f surjektiv

Bemerkung: Das Beispiel f(n) := n + 1 einer injektiven, aber nicht surjektiven, Abbildung f : ℕ → ℕ zeigt, daß das für unendliche Mengen nicht gilt!

Aufgabe 2. Es seien X, Y Mengen, M_{1}, M_{2} ⊆ X sowie N_{1}, N_{2} ⊆ Y Teilmengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) X \ (M_{1} ∪ M_{2}) = (X \ M_{1}) ∩ (X \ M_{2}) sowie X \ (M_{1} ∩ M_{2}) = (X \ M_{1}) ∪ (X \ M_{2})

(b) f(M_{1} ∪ M_{2}) = f(M_{1}) ∪ f(M_{2})

(c) f(M_{1} ∩ M_{2}) ⊆ f(M_{1}) ∩ f(M_{2}), im allgemeinen aber keine Gleichheit.

(d) f^{−1}(N_{1} ∩ N_{2}) = f^{−1}(N_{1}) ∩ f^{−1}(N_{2}) und f^{−1}(N_{1} ∪ N_{2}) = f^{−1}(N_{1}) ∪ f^{−1}(N_{2})

Aufgabe 3. Zeigen Sie für n ∈ ℕ:

(a) ∑_{k=0}^{n} k^{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}

(b) ∑_{k=0}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}

(c) ∑_{k=0}^{n}(2k + 1) = (n + 1)^{2}

(d) ∑_{k=1}^{2n} \frac{(−1)^{k−1}}{k} = ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{n + k} , n ≥ 1

Aufgabe 4. Beweisen Sie:

(a) 2^{n+1} + 3 · 7^{n} ist für alle n ∈ ℕ durch 5 teilbar.

(b) Es sei n ∈ ℕ ungerade. Dann ist die Summe von n aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch n teilbar.