Prof. Dr. R. Wulkenhaar WS 13/14

Übungen zu Mathematik für Physiker I

Abgabe: Donnerstag, 31.10.2013 bis 10h00 in den Briefkästen Blatt 2

Aufgabe 1. Es sei M eine endliche Menge aus n ≥ 1 Elementen. Zeigen Sie:

(a) Es gibt n! = 1 · 2 ⋯ (n − 1) · n verschiedene injektive=surjektive=bijektive Abbildungen f : M → M. Bemerkung: Solche Selbstabbildungen nennt man Permutationen. Die Zahl der Permutationen entspricht der Menge der verschiedenen n-Tupel, die sich aus der n-elementigen Menge bilden lassen.

(b) Für k ∈ \{0, …, n\} gibt es genau \binom{n}{k} verschiedene k-elementige Teilmengen von M.

(c) M besitzt 2^{n} verschiedene Teilmengen (einschließlich ∅ und M selbst).

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) Es gibt \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!···n_{k}!} verschiedene Zerlegungen einer n-elementigen Menge in k Teilmengen, so daß die i-te Teilmenge n_{i} ≥ 0 Elemente enthält. Dabei ist n_{1} +⋯+n_{k} = n.

(b) Es gibt \binom{n+k−1}{k−1} verschiedende Zerlegungen von n = n_{1} + n_{2} + ⋯ + n_{k} ∈ ℕ als Summe von k ≥ 1 natürlichen Zahlen (n_{1}, n_{2}, …, n_{k}).

Aufgabe 3. Eine Untergruppe H ⊆ G einer Gruppe (G, ∗) heißt Normalteiler, falls für alle g ∈ G und h ∈ H gilt g^{−1} ∗ h ∗ g ∈ H.

(a) Zeigen Sie: Durch g_{1} ∼ g_{2} ⇔ g_{2}^{−1} ∗ g_{1} ∈ H wird eine Äquivalenzrelation auf G definiert.

(b) Zeigen Sie: Die Quotientenmenge G/H := G/ ∼ ist selbst wieder eine Gruppe, die Quotientengruppe (oder Faktorgruppe), mit Produkt [g_{1}] ∗ [g_{2}] := [g_{1} ∗ g_{2}]. Vorsicht: Diese Konstruktion funktioniert nur für Untergruppen, die Normalteiler sind! Hier muß gezeigt werden, daß für andere Repräsentanten g̃_{1} ∼ g_{1} und g̃_{2} ∼ g_{2} ebenfalls gilt g̃_{1} ∗ g̃_{2} ∼ g_{1} ∗ g_{2}.

(c) Zeigen Sie: Für m ∈ ℕ \ {0, 1} ist mℤ := {m · a : a ∈ ℤ} (mit Verknüpfung +) eine Untergruppe von (ℤ, +), und diese ist Normalteiler. Bemerkung: Die zugehörige Quotientengruppe ℤ/mℤ heißt zyklische Gruppe der Ordnung m. Die Elemente dieser Gruppe sind die Restklassen modulo m.

Aufgabe 4. Für a, b ∈ ℝ_{+}^{×} heißt

i) A(a, b) := \frac{a+b}{2} das arithmetische Mittel,
ii) G(a, b) := \sqrt{ab} das geometrische Mittel,
iii) H(a, b) := \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} das harmonische Mittel.

Zeigen Sie: H(a, b) ≤ G(a, b) ≤ A(a, b), mit Gleichheit nur für a = b.